Kapitel

Die Definition des Skalarprodukts scheint auf den ersten Blick schwer zu verstehen, da sie häufig komplexe mathematische Gleichungen beinhaltet, aber dennoch ist es wichtig, sie zu kennen, um Konzepte der Physik verstehen zu können. Zum Beispiel findet es bei der Untersuchung von Randbedingungen in der Atmosphäre Anwendung, wie der Untersuchung von tief hängenden Wolken oder Regenschauern. Dort erleichtert die Einbeziehung des Skalarprodukts die Lösung von Rechenaufgaben.

Ein Skalarprodukt ist eine Skalar- oder Vektorgröße, die einen positiv definiten Wert hat, der größer oder gleich Null sein kann. Mit anderen Worten stellt das Skalarprodukt die Änderung einer messbaren Größe dar, z.B. eines Vektors, nicht aber unbedingt die tatsächliche Position oder Richtung, in die der Vektor zeigt. Die Skalarprodukte aus zwei oder mehr Vektoren sind in der Regel als die Summe aller entsprechenden Vektorgrößen definiert.

 

Das Skalarprodukt aus zwei Vektoren zu bilden, ist ein Rechenvorgang, bei dem eine reelle Zahl erzeugt wird:

 

\displaystyle k = \vec{u} \cdot \vec{v}

 

Das Skalarprodukt wird in der Regel als Punkt \vec{u} \cdot \vec{v} notiert. Ebenfalls ist die Darstellung als \displaystyle \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle bekannt. Bei Superprof verwenden wir immer die Schreibweise des Skalarprodukts anhand eines Punktes.

 

Das Skalarprodukt darf nicht mit der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar verwechselt werden.

 

Berechnungsarten des Skalarprodukts

 

Es gibt mehrere Möglichkeiten, um das Skalarprodukt aus zwei Vektoren \vec{u} und \vec{v} zu berechnen. Diese zeigen wir dir im Folgenden:

 

1 Wenn das Modul beider Vektoren sowie der Winkel \alpha, der zwischen ihnen liegt, feststehen, berechnet sich das Skalarprodukt wie folgt:

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = \left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right| \cos \alpha

 

2 Wenn die Komponenten der Vektoren \vec{u} = (u_1, u_2) und \vec{v} = (v_1, v_2) feststehen, berechnet sich das Skalarprodukt wie folgt:

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2

 

Beispiele

 

1 Gegeben seien die Vektoren \vec{u} = (3, 0) und \vec{v} = (5, 5). Der Winkel zwischen den Vektoren beträgt \alpha = 45^{\circ}.

 

Um das Skalarprodukt berechnen zu können, müssen wir zuerst das Modul von \vec{u} und \vec{v} ermitteln:

 

\displaystyle \left| \vec{u} \right| = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3, \qquad \left| \vec{v} \right| = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}

 

Das Skalarprodukt erhält man dann wie folgt:

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \cos\left( 45^{\circ} \right) = 15\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 15

 

2 Wir wiederholen den vorhergehenden Rechenprozess mit \vec{u} = (3, 0) und \vec{v} = (5, 5). Dieses mal verwenden wir die Formel

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 5 + 0 \cdot 5 = 15

 

Man sieht, dass man mit beiden Formeln dasselbe Ergebnis erhält.

 

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Los geht's

Berechnung des Moduls und des Winkels zwischen Vektoren

 

Wie wir bereits gesehen haben, kann das Skalarprodukt auf zwei Arten berechnet werden. Es kann verwendet werden, um das Modul eines Vekors oder den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen.

 

Wie berechnet man das Modul eines Vektors mithilfe des Skalarprodukts?

 

Gegeben sei der Vektor \vec{u}:

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{u} = \left| \vec{u} \right| \cdot \left| \vec{u} \right| \cos\left( 0^{\circ} \right) = \left| \vec{u} \right|^2

 

Das heißt,

 

\displaystyle \left| \vec{u} \right| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}

 

Mit dieser Formel kann das Modul des Vektors \vec{u} ermittelt werden, indem man das Skalarprodukt von \vec{u} mit dem Vektor selbst berechnet.

Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren mithilfe des Skalarprodukts?

 

Gegeben seien die Vektoren \vec{u} = (u_1, u_2) und \vec{v} = (v_1, v_2).

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = \left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right| \cos \alpha

 

Löse nach \cos \alpha auf und du erhältst

 

\displaystyle \cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right|}

 

Setze den Wert in die andere Formel für das Skalarprodukt ein und du erhältst

 

\displaystyle \cos \alpha = \frac{u_1 v_1 + u_2 v_2}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2} \sqrt{v_1^2 + v_2^2} }

 

Mit dieser Formel kann der Winkel \alpha zwischen zwei Vektoren mithilfe der Arcus-Cosinus-Funktion berechnet werden.

 

Beispiele

 

1 Gegeben seien die Vektoren \vec{u} = (3, 0) und \vec{v} = (5, 5). Das Modul dieser Vektoren ist:

 

\displaystyle \left| \vec{u} \right| = \sqrt{ \vec{u} \cdot \vec{u} } = \sqrt{9} = 3

 

\displaystyle \left| \vec{v} \right| = \sqrt{ \vec{v} \cdot \vec{v} } = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}

 

2 Nun berechnen wir den Winkel zwischen \vec{u} = (3, 0) und \vec{v} = (5, 5). Wir erhalten

 

\displaystyle \cos \alpha = \frac{3 \cdot 5 + 0 \cdot 5}{\sqrt{3^2 + 0^2} \sqrt{5^2 + 5^2} } = \frac{15}{3 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

 

Folglich ist

 

\displaystyle \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}

 

Wir erhalten

 

\displaystyle \alpha = 45^{\circ}

 

Orthogonalität zweier Vektoren

 

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn der Winkel zwischen ihnen \alpha = 90^{\circ} oder \alpha = -90^{\circ} beträgt. In beiden Fällen erhalten wir \cos \alpha = 0. Wenn zwei Vektoren orthogonal sind, gilt also:

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = \left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right| \cos \alpha = 0

 

Das heißt, zwei Vektoren \vec{u} \neq 0 und \vec{v} \neq 0 sind immer dann orthogonal, wenn folgendes erfüllt ist:

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = 0

 

Beispiel

 

Ermittle, ob die Vektoren \vec{u} = (3, 0) und \vec{v} = (5, 5) aus den vorherigen Rechenbeispielen orthogonal sind. Man kann erkennen, dass

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 5 + 0 \cdot 5 = 15 \neq 0

 

Folglich sind die Vektoren \vec{u} und \vec{v} nicht orthogonal.

 

Geometrische Veranschaulichung des Skalarprodukts

 

Wie du auf der Grafik sehen kannst, kann \left| \vec{u} \right| \cos \alpha als Länge der Abbildung des Vektors \vec{u} auf \vec{v} gesehen werden (solange -90^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ} ist). Die Abbildung wäre ein Vektor mit Ursprungspunkt O und Endpunkt A'.

 

skalarprodukt grafik
Geometrische Veranschaulichung des Skalarprodukts

 

Wie wir wissen, ist

 

\displaystyle \cos \alpha = \frac{\text{\text{CA}}}{\text{HI}} = \frac{\overline{OA'}}{\left| \vec{u} \right|}

 

Daher erhalten wir beim Auflösen nach \overline{OA'}

 

\displaystyle \overline{OA'} = \left|\vec{u} \right| \cos \alpha

 

Um die Abbildung visualisieren zu können, stelle dir vor, dass es eine Lichtquelle gibt und die Abbildung der Schatten des Vektors \vec{u} auf dem Vektor \vec{v} ist. Die Lichtquelle muss außerdem so aufgestellt werden, dass ein zu \vec{v} orthogonaler Vektor keinen Schatten wirft.

 

Das Produkt \left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right| \cos \alpha ist also als Modul einer der Vektoren multipliziert mit dem Modul der Abbildung des anderen Vektors. Durch Einsetzen von \overline{OA'} = \left|\vec{u} \right| \cos \alpha in die Formel für das Skalarprodukt erhalten wir also

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = \left| \vec{v} \right| \cdot \overline{OA'}

 

Wir berechnen das Modul der Abbildung des Vektors \vec{u} auf dem Vektor \vec{v} wie folgt:

 

\displaystyle \overline{OA'} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v} }{\left| \vec{v} \right| }

 

Bemerke: Wenn \left| \vec{u} \right| \cos \alpha negativ ist, bedeutet das, dass die Abbildung entgegen der Richtung des Vektors \vec{v} verläuft. Das ist der Fall, wenn \alpha > 90^{\circ} oder \alpha < - 90^{\circ} ist. In diesem Fall ist das Modul der Abbildung durch | \overline{OA'} | gegeben.

 

Beispiel

 

Wir wollen die Abbildung des Vektors \vec{u} = (2, 1) auf dem Vektor \vec{v} = (-3, 4) bilden. Dafür berechnen wir

 

\displaystyle P(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{2 \cdot (-3) + 1 \cdot 4}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2}} = -\frac{2}{5}

 

P(\vec{u}, \vec{v}) hat ein negatives Vorzeichen. Daher verläuft die Abbildung in die entgegengesetzte Richtung zu \vec{v} und sein Modul ist 2/5.

 

Eigenschaften des Skalarprodukts

 

Das Skalarprodukt weist eine Vielzahl von Eigenschaften auf. Die wichtigsten sind die folgenden:

 

1 Das Skalarprodukt folgt dem Kommutativgesetz. In anderen Worten: die Reihenfolge der Faktoren hat keinen Einfluss auf das Produkt. Es spielt also keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren miteinander multipliziert werden.

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}

 

2 Die Multiplikation mit einem Skalar folgt dem Assoziativgesetz. Wenn wir \vec{u} mit \vec{v} multiplizieren und dann mit einem Skalar k, erhalten wir dasselbe Ergebnis wie wenn wir zuerst k\vec{u} berechnen und dann das Skalarprodukt mit \vec{v} bilden. Das heißt,

 

\displaystyle k \left(\vec{u} \cdot \vec{v} \right) = \left(k\vec{u} \right) \cdot \vec{v}

 

3 Das Skalarprodukt folgt dem Distributivgesetz in Bezug auf die Summe. Das heißt,

 

\displaystyle \left(\vec{u} + \vec{v} \right) \cdot \vec{w} =\vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w}

 

Bemerke: Die Eigenschaften 2 und 3 zusammen werden als Linearität des Skalarprodukts in Bezug auf die erste Variable bezeichnet.

 

Nota: Da das Skalarprodukt auch dem Kommutativgesetz folgt, gilt, dass es auch linear in Bezug auf die zweite Variable ist. Das heißt,

 

\displaystyle k \left(\vec{u} \cdot \vec{v} \right) = \vec{u} \cdot \left(k\vec{v} \right)

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \left(\vec{v} + \vec{w} \right) =\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}

 

4 Das Skalarprodukt ist positiv definit. Das heißt, das Skalarprodukt eines Vektors, der ungleich Null ist, mit sich selbst ist immer positiv.

 

\displaystyle \vec{u} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{u} \cdot \vec{u} \geq 0

 

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Melanie S

Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan bringe ich die Lernartikel von echten Mathe-Profis logisch und verständlich ins Deutsche, damit du als Mathelerner bei Superprof deine Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden kannst.