Name: Arten von Vektoren
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Kapitel

Vektoren - wichtige Definitionen
Beispielaufgaben zu Vektoren

Vektoren - wichtige Definitionen

Äquivalente Vektoren

Beispiel für gleiche Vektoren

Zwei Vektoren sind äquivalent, wenn sie den gleichen Betrag und die gleiche Orientierung haben und in die gleiche Richtung zeigen.

Freie Vektoren

Beispiele für freie Vektoren

Die Menge aller äquivalenten Vektoren wird als freier Vektor bezeichnet. Das heißt, die freien Vektoren haben denselben Betrag, dieselbe Richtung und dieselbe Orientierung.

Gebundene Vektoren

Gebundener Vektor

Ein gebundener Vektor ist ein Repräsentant des freien Vektors. Das heißt, gebundene Vektoren haben denselben Betrag, dieselbe Richtung, dieselbe Orientierung und denselben Ursprung.

Äquivalente Vektoren auf einer Geraden

Vektoren auf einer Geraden

Diese Vektoren sind äquivalent und liegen auf derselben Geraden. Das heißt, dass die gebundenen Vektoren denselben Betrag, dieselbe Richtung und dieselbe Orientierung haben und auf derselben Geraden liegen.

Gegenvektoren

Ejemplo de vectores opuestos

Gegenvektoren haben den gleichen Betrag, die gleiche Richtung, aber entgegengesetzte Orientierung.

Einheitsvektoren

Vector unitario

Der Betrag von Einheitsvektoren ist die Einheit. Das heißt, ein Vektor $\displaystyle \vec{v}$ ist ein Einheitsvektor, wenn

$\displaystyle || \vec{v}|| = 1$

Um einen Einheitsvektor mit derselben Richtung und derselben Orientierung wie der gegebene Vektor zu erhalten, teilt man den gegebenen Vektor durch seinen Betrag.

Vektoren, die denselben Anfangspunkt haben

Ejemplo de vectores concurrentes

Diese Vektoren haben denselben Anfangspunkt.

Ortsvektor

Vector posición

Der Vektor $\displaystyle \overrightarrow{OP}$ hat seinen Anfangspunkt im Ursprung $\displaystyle O = (0, 0)$ und seinen Endpunkt im Punkt $\displaystyle P = (P_1, P_2)$ . Dieser Vektor wird Ortsvektor des Punktes $\displaystyle P$ genannt.

Linear unabhängige Vektoren

Mehrere linear unabhängige Vektoren

Es gibt zwei Hauptarten, diese zu definieren. Die erste Definition besagt, dass mehrere freie Vektoren in der Ebene linear unabhängig sind, wenn sich keiner von ihnen als Linearkombination der anderen ausdrücken lässt. Die zweite Defintion besagt, dass mehrere freie Vektoren der Ebene linear unabhängig sind, wenn es eine Linearkombination von ihnen gibt, die gleich dem Nullvektor ist, ohne dass alle Koeffizienten der Linearkombination null sind. Das bedeutet, dass die Vektoren $\displaystyle \vec{v_1}, \vec{v_2}, \dots, \vec{v_n}$ linear unabhängig sind, wenn es reelle Zahlen $\displaystyle a_1, a_2, \cdots, a_n$ gibt, die nicht alle null sind (mindestens eine $\displaystyle a_i \neq 0$ )

$\displaystyle a_1 \vec{v_1} + a_2 \vec{v_2} + \cdots + a_n \vec{v_n} = \vec{0}$

Linear abhängige Vektoren

Auch hier gibt es zwei wesentliche Definitionsmöglichkeiten. Die erste Möglichkeit besagt, dass mehrere freie Vektoren der Ebene linear abhängig sind, wenn einer als Linearkombination der anderen ausgedrückt werden kann. Zum anderen sind mehrere freie Vektoren der Ebene linear abhängig, wenn eine Linearkombination von ihnen nur dann gleich dem Nullvektor sein kann, wenn alle Koeffizienten gleich dem Skalar null sind. Das heißt, dass

$\displaystyle a_1 \vec{v_1} + a_2 \vec{v_2} + \cdots + a_n \vec{v_n} = \vec{0}$

Dies gilt nur, wenn

$\displaystyle a_1 = a_2 = \cdots = a_n$

Orthogonale Vektoren

Vectores ortogonales

Zwei Vektoren sind zueinander orthogonal oder senkrecht, wenn deren Skalarprodukt null ist. Das heißt, die Vektoren $\vec{v} = (v_1, v_2)$ und $\vec{u} = (u_1, u_2)$ sind nur dann orthogonal, wenn