Kapitel

 

Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren

 

Der Winkel, den zwei Vektoren \vec{u} = (u_1, u_2) und \vec{v} = (v_1, v_2) bilden, ist durch folgenden Ausdruck gegeben:

 

\cos \alpha = \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}

 

Der Ausdruck in Abhängigkeit der Koordinaten lautet

 

\cos \alpha = \cfrac{u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2} \cdot \sqrt{v_1^2 + v_2^2}}

 

Beispiel: Bestimme den Winkel zwischen den Vektoren \vec{u} = (3, 0) und \vec{v} = (5, 5)

 

1Um die Formel zur Bestimmung des Winkels zwischen zwei Vektoren anzuwenden, berechnen wir zunächst das Produkt der beiden Vektoren

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 3 \cdot 5 + 0 \cdot 5 \\\\ & = & 15 \end{array}

 

2Wir berechnen den Betrag des ersten Vektors

 

\begin{array}{rcl} | \vec{u} | & = & \sqrt{3^2 + 0^2 \\\\ & = & 3 \end{array}

 

3Wir berechnen den Betrag des zweiten Vektors

 

\begin{array}{rcl} | \vec{v} | & = & \sqrt{5^2 + 5^2 \\\\ & = & \sqrt{50} \\\\ & = & 5 \sqrt{2} \end{array}

 

4Wir setzen die erhaltenen Werte in die Formel für die Berechnung des Winkels \alpha zwischen zwei Vektoren ein

 

\begin{array}{rcl} \cos \alpha & = & \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} \\\\ & = & \cfrac{15}{3 \cdot 5 \sqrt{2}} \\\\ & = & \cfrac{1}{\sqrt{2}} \\\\ & = & \cfrac{\sqrt{2}}{2} \end{arry}

 

5Der Wert \alpha, der die vorherige Gleichung erfüllt, ist \alpha = 45^o

 

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Los geht's

Aufgaben

 

 

1 Berechne das Skalarprodukt und den Winkel, den die Vektoren  \vec{u} = (3, 4), \ \vec{v} = (-8, 6) bilden.

1Um die Formel zur Bestimmung des Winkels zwischen zwei Vektoren anzuwenden, berechnen wir zunächst das Produkt der beiden Vektoren

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 3 \cdot (-8) + 4 \cdot 6 \\\\ & = & 0 \end{array}

 

2Wir berechnen den Betrag des ersten Vektors

 

\begin{array}{rcl} | \vec{u} | & = & \sqrt{3^2 + 4^2 \\\\ & = & \sqrt{25} \\\\ & = & 5 \end{array}

 

3Wir berechnen den Betrag des zweiten Vektors

 

\begin{array}{rcl} | \vec{v} | & = & \sqrt{(-8)^2 + 6^2 \\\\ & = & \sqrt{100} \\\\ & = & 10 \end{array}

 

4Wir setzen die vorher ermittelten Werte in die Formel des Winkels \alpha zwischen zwei Vektoren ein

 

\begin{array}{rcl} \cos \alpha & = & \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} \\\\ & = & \cfrac{0}{5 \cdot 10} \\\\ & = & \cfrac{0}{50} \\\\ & = & 0 \end{array}

 

5Der Wert\alpha, der die vorhergehende Gleichung erfüllt, ist \alpha = 90^o

 

 

2Berechne das Skalarprodukt und den Winkel, den die Vektoren \vec{u} = (5, 6), \ \vec{v} = (-1, 4) bilden.

1Um die Formel zur Bestimmung des Winkels zwischen zwei Vektoren anzuwenden, berechnen wir zunächst das Produkt der beiden Vektoren

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 5 \cdot (-1) + 6 \cdot 4 \\\\ & = & 19 \end{array}

 

2Wir berechnen den Betrag des ersten Vektors

 

\begin{array}{rcl} | \vec{u} | & = & \sqrt{5^2 + 6^2 \\\\ & = & \sqrt{61} \end{array}

 

3Wir berechnen den Betrag des zweiten Vektors

 

\begin{array}{rcl} | \vec{v} | & = & \sqrt{(-1)^2 + 4^2 \\\\ & = & \sqrt{17} \end{array}

 

4Wir setzen die vorher ermittelten Werte in die Formel des Winkels \alpha zwischen zwei Vektoren ein

 

\begin{array}{rcl} \cos \alpha & = & \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} \\\\ & = & \cfrac{19}{\sqrt{61} \cdot \sqrt{17}} \\\\ & = & 0,59 \end{array}

 

5Der Wert \alpha, der die vorhergehende Gleichung erfüllt, ist \alpha = 53^o \, 50'

 

 

3Berechne das Skalarprodukt und den Winkel, den die Vektoren \vec{u} = (3, 5), \ \vec{v} = (-1, 6) bilden.

1Um die Formel zur Bestimmung des Winkels zwischen zwei Vektoren anzuwenden, berechnen wir zunächst das Produkt der beiden Vektoren

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 3 \cdot (-1) + 5 \cdot 6 \\\\ & = & 27 \end{array}

 

2Wir berechnen den Betrag des ersten Vektors

 

\begin{array}{rcl} | \vec{u} | & = & \sqrt{3^2 + 5^2 \\\\ & = & \sqrt{34} \end{array}

 

3Wir berechnen den Betrag des zweiten Vektors

 

\begin{array}{rcl} | \vec{v} | & = & \sqrt{(-1)^2 + 6^2 \\\\ & = & \sqrt{37} \end{array}

 

4Wir setzen die vorher ermittelten Werte in die Formel des Winkels \alpha zwischen zwei Vektoren ein

 

\begin{array}{rcl} \cos \alpha & = & \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} \\\\ & = & \cfrac{27}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{37}} \\\\ & = & 0,7612 \end{array}

 

5Der Wert \alpha, der die vorhergehende Gleichung erfüllt, ist \alpha = 40^o \, 26'

 

 

4Gegeben sind die Vektoren \vec{u} = (2, k), \ \vec{v} = (3, -2). Berechne k so, dass die Vektoren \vec{u} und \vec{v} senkrecht aufeinander sind.

1Mithilfe der Formel zur Berechnung den Winkels zwischen zwei Vektoren erhalten wir

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} & = & \cos \alpha \\\\ \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \end{array}

 

2Wir berechnen das Skalarprodukt

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 2 \cdot 3 + (-2)k \\\\ & = & 6 - 2k} \end{array}

 

3Zwei Vektoren sind senkrecht aufeinander, wenn der Winkel zwischen ihnen 90^o beträgt; der Kosinus dieses Winkels ist null

 

4Wir berechnen den Betrag des ersten Winkels

 

\begin{array}{rcl} | \vec{u} | & = & \sqrt{2^2 + k^2 \\\\ & = & \sqrt{4 + k^2} \end{array}

 

5Wir berechnen den Betrag des zweiten Winkels

 

\begin{array}{rcl} | \vec{v} | & = & \sqrt{3^2 + (-2)^2 \\\\ & = & \sqrt{13} \end{array}

 

6Wir setzen in unsere ursprüngliche Formel die vorher erhaltenen Werte ein und lösen nach k auf

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \\\\ 6 - 2k & = & \sqrt{4 + k^2} \cdot \sqrt{13} \cdot 0 \\\\ 6 - 2k & = & 0 \\\\ -2k & = & -6 \\\\ k & = & \cfrac{-6}{-2} \\\\ k & = & 3 \end{array}

 

Der gesuchte Wert ist also k = 3

 

 

5Gegeben sind die Vektoren \vec{u} = (2, k), \ \vec{v} = (3, -2). Bereche k so, dass die Vektoren \vec{u} und \vec{v} parallel sind.

1Mithilfe der Formel zur Berechnung den Winkels zwischen zwei Vektoren erhalten wir

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} & = & \cos \alpha \\\\ \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \end{array}

 

2Wir berechnen das Skalarprodukt der Vektoren

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 2 \cdot 3 + (-2)k \\\\ & = & 6 - 2k} \end{array}

 

3Zwei Vektoren sind parallel, wenn der Winkel zwischen ihnen 0^o ist; der Kosinus dieses Winkels ist eins

 

4Wir berechnen den Betrag des ersten Vektors

 

\begin{array}{rcl} | \vec{u} | & = & \sqrt{(2^2 + k^2 \\\\ & = & \sqrt{4 + k^2} \end{array}

 

5Wir berechnen den Betrag des zweiten Vektors

 

\begin{array}{rcl} | \vec{v} | & = & \sqrt{3^2 + (-2)^2 \\\\ & = & \sqrt{13} \end{array}

 

6Wir setzen in unsere ursprüngliche Formel die vorher erhaltenen Werte ein und lösen nach k auf

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \\\\ 6 - 2k & = & \sqrt{4 + k^2} \cdot \sqrt{13} \cdot 1 \\\\ 6 - 2k & = & \sqrt{4 + k^2} \cdot \sqrt{13} \\\\ (6 - 2k)^2 & = & \left ( \sqrt{4 + k^2} \cdot \sqrt{13} \right )^2 \\\\ 36 - 24k + 4k^2 & = & 13 \left ( 4 +k^2 \right ) \\\\ -9k^2 - 24k - 16 & = & 0 \\\\ -(3k + 4)^2 & = & 0 \\\\ 3k + 4 & = & 0 \\\\ k & = & -\cfrac{4}{3} \end{array}

 

Der gesuchte Wert ist also k = -\cfrac{4}{3}

 

Eine andere Möglichkeit, die Aufgabe zu lösen, besteht darin, die Proportionalität der Komponenten zu berücksichtigen

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{2}{3} & = & \cfrac{k}{-2} \\\\ k & = & -\cfrac{4}{3} \end{array}

 

 

6Gegeben sind die Vektoren \vec{u} = (2, k), \ \vec{v} = (3, -2). Berechne k so, dass die Vektoren \vec{u} und \vec{v} einen Winkel von 60^o bilden.

1Mithilfe der Formel zur Berechnung den Winkels zwischen zwei Vektoren erhalten wir

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} & = & \cos \alpha \\\\ \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \end{array}

 

2Wir berechnen das Skalarprodukt der Vektoren

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 2 \cdot 3 + (-2)k \\\\ & = & 6 - 2k} \end{array}

 

3Der Winkel zwischen den zwei Vektoren beträgt 60^o; der Kosinus dieses Winkels ist

 

\cos 60^o = \cfrac{1}{2}

 

4Wir berechnen den Betrag des ersten Vektors

 

\begin{array}{rcl} | \vec{u} | & = & \sqrt{(2^2 + k^2 \\\\ & = & \sqrt{4 + k^2} \end{array}

 

5Wir berechnen den Betrag des zweiten Vektors

 

\begin{array}{rcl} | \vec{v} | & = & \sqrt{3^2 + (-2)^2 \\\\ & = & \sqrt{13} \end{array}

 

6Wir setzen in unsere ursprüngliche Formel die vorher erhaltenen Werte ein und lösen nach k auf.

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \\\\ 6 - 2k & = & \sqrt{4 + k^2} \cdot \sqrt{13} \cdot \cfrac{1}{2} \\\\ 2(6 - 2k) & = & \sqrt{4 + k^2} \cdot \sqrt{13} \\\\ 4(6 - 2k)^2 & = & \left ( \sqrt{4 + k^2} \cdot \sqrt{13} \right )^2 \\\\ 144 - 96k + 16k^2 & = & 13 \left ( 4 +k^2 \right ) \\\\ 3k^2 - 96k + 92 & = & 0 \end{array}

 

7Wir lösen mithilfe der Formel zur Bestimmung der Nullstellen der quadratischen Gleichung

 

\begin{array}{rcl} k & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(-96) \pm \sqrt{(-96)^2 - 4(3)(92)}}{2(3)} \\\\ & = & \cfrac{96 \pm \sqrt{8112}}{6} \\\\ & = & \cfrac{96 \pm 90.07}{6} \end{array}

 

Die Nullstellen sind k = 31,01, \ k = 0,99. Aber nur k = 0,99 ist die Lösung von 6 - 2k = \sqrt{4 + k^2} \cdot \sqrt{13} \cdot \cfrac{1}{2}, da wir bereits quadriert haben, um die Lösungen zu erhalten. Der gesuchte Werte ist also k = 0,99.

 

 

7Bestimme k, wenn der Winkel, den \vec{u} = (3, k) und \vec{v} = (2, -1) bilden, \alpha = 90^o beträgt.

1Mithilfe der Formel zur Berechnung den Winkels zwischen zwei Vektoren erhalten wir

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} & = & \cos \alpha \\\\ \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \end{array}

 

2Wir berechnen das Skalarprodukt der Vektoren

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 3 \cdot 2 + (-1)k \\\\ & = & 6 - k} \end{array}

 

3Der Kosinus von 90^o ist null

 

4Wir berechnen den Betrag des ersten Vektors

 

\begin{array}{rcl} | \vec{u} | & = & \sqrt{(3^2 + k^2 \\\\ & = & \sqrt{9 + k^2} \end{array}

 

5Wir berechnen den Betrag des zweiten Vektors

 

\begin{array}{rcl} | \vec{v} | & = & \sqrt{2^2 + (-1)^2 \\\\ & = & \sqrt{5} \end{array}

 

6Wir setzen in unsere ursprüngliche Formel die vorher erhaltenen Werte ein und lösen nach k auf

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \\\\ 6 - k & = & \sqrt{9 + k^2} \cdot \sqrt{5} \cdot 0 \\\\ 6 - k & = & 0 \\\\ -k & = & -6 \\\\ k & = & 6 \\\\ k & = & 3 \end{array}

 

Der gesuchte Wert ist also k = 3

 

 

8Bestimme k, wenn der Winkel, den die Vektoren \vec{u} = (3, k) und \vec{v} = (2, -1) bilden, \alpha = 0^o beträgt.

1Mithilfe der Formel zur Berechnung den Winkels zwischen zwei Vektoren erhalten wir

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} & = & \cos \alpha \\\\ \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \end{array}

 

2Wir berechnen das Skalarprodukt der Vektoren

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 2 \cdot 3 + (-1)k \\\\ & = & 6 - k} \end{array}

 

3Der Kosinus von 0^o ist eins

 

4Wir berechnen den Betrag des ersten Vektors

 

\begin{array}{rcl} | \vec{u} | & = & \sqrt{(3^2 + k^2 \\\\ & = & \sqrt{9 + k^2} \end{array}

 

5Wir berechnen den Betrag des zweiten Vektors

 

\begin{array}{rcl} | \vec{v} | & = & \sqrt{2^2 + (-1)^2 \\\\ & = & \sqrt{5} \end{array}

 

6Wir setzen in unsere ursprüngliche Formel die vorher erhaltenen Werte ein und lösen nach k auf

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \\\\ 6 - k & = & \sqrt{9 + k^2} \cdot \sqrt{5} \cdot 1 \\\\ 6 - k & = & \sqrt{9 + k^2} \cdot \sqrt{5} \\\\ (6 - k)^2 & = & \left ( \sqrt{9 + k^2} \cdot \sqrt{5} \right )^2 \\\\ 36 - 12k + k^2 & = & 5 \left ( 9 + k^2 \right ) \\\\ -4k^2 - 12k - 9 & = & 0 \\\\ -(2k + 3)^2 & = & 0 \\\\ 2k + 3 & = & 0 \\\\ k & = & -\cfrac{3}{2} \end{array}

 

Der gesuchte Wert ist also k = -\cfrac{3}{2}

 

 

9Bestimme k, wenn der Winkel, den die Vektoren \vec{u} = (3, k) und \vec{v} = (2, -1) bilden, \alpha = 45^o beträgt.

1Mithilfe der Formel zur Berechnung den Winkels zwischen zwei Vektoren erhalten wir

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} & = & \cos \alpha \\\\ \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \end{array}

 

2Wir berechnen das Skalarprodukt der Vektoren

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 2 \cdot 3 + (-1)k \\\\ & = & 6 - k} \end{array}

 

3Der Winkel zwischen den zwei Vektoren beträgt 45^o; der Kosinus dieses Winkels ist

 

\cos 45^o = \cfrac{\sqrt{2}}{2}

 

4Wir berechnen den Betrag des ersten Vektors

 

\begin{array}{rcl} | \vec{u} | & = & \sqrt{3^2 + k^2 \\\\ & = & \sqrt{9 + k^2} \end{array}

 

5Wir berechnen den Betrag des zweiten Vektors

 

\begin{array}{rcl} | \vec{v} | & = & \sqrt{2^2 + (-1)^2 \\\\ & = & \sqrt{5} \end{array}

 

6Wir setzen in unsere ursprüngliche Formel die vorher erhaltenen Werte ein und lösen nach k auf

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \\\\ 6 - k & = & \sqrt{9 + k^2} \cdot \sqrt{5} \cdot \cfrac{\sqrt{2}}{2} \\\\ (6 - k)^2 & = & \left ( \sqrt{9 + k^2} \cdot \sqrt{5} \cdot \cfrac{\sqrt{2}}{2} \right )^2 \\\\ 2(36 - 12k +k^2) & = & \left (9 + k^2 \right ) \cdot 5 \\\\ 72 - 24k + 2k^2 & = & 45 + 5k^2 \\\\ -3k^2 - 24k + 27 & = & 0 \\\\ -3(k^2 + 8k - 9) & = & 0 \\\\ -3 (k + 9)(k - 1) & = & 0 \end{array}

 

Die Nullstellen sind k = -9, \ k = 1

 

 

10Überprüfe, ob das Segment, das die Mittelpunkte der Seiten AB und AC des Dreiecks: A(3,5), B(-2,0), C(0,-3) verbindet, parallel zur Seite BC und gleich ihrer Hälfte ist.

1Wir stellen grafisch dar

 

Segment parallel zu einer Seite des Dreiecks

 

2Wir berechnen den Mittelpunkt der Seite AB

 

M \left ( \cfrac{3 - 2}{2}, \cfrac{5 + 0}{2} \right ) = M \left ( \cfrac{1}{2}, \cfrac{5}{2} \right )

 

3Wir berechnen den Mittelpunkt der Seite AC

 

N \left ( \cfrac{3 + 0}{2}, \cfrac{5 - 3}{2} \right ) = N \left ( \cfrac{3}{2}, 1 \right )

 

4Wir berechnen den Vektor \overrightarrow{BC}

 

\begin{array}{rcl} \overrightarrow{BC} & = & (0 - (-2), -3 - 0) \\\\ & = & (2, -3) \end{array}

 

5Wir berechnen den Vektor \overrightarrow{MN}

 

\begin{array}{rcl} \overrightarrow{MN} & = & \left (\cfrac{3}{2} - \cfrac{1}{2}, 1 - \cfrac{5}{2} \right ) \\\\ & = & \left (1, -\cfrac{3}{2} \right ) \end{array}

 

6Wir berechnen den Betrag des ersten Vektors

 

\begin{array}{rcl} | \overrightarrow{BC} | & = & \sqrt{2^2 + (-3)^2 \\\\ & = & \sqrt{13} \end{array}

 

7Wir berechnen den Betrag des zweiten Vektors

 

\begin{array}{rcl} | \overrightarrow{MN} | & = & \sqrt{1^2 + \left (-\cfrac{3}{2} \right )^2 \\\\ & = & \cfrac{1}{2} \sqrt{13} \end{array}

 

8Um herauszufinden, ob die zwei Vektoren parallel sind, überprüfen wir die Proportionalität ihrer Komponenten

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{1}{2} & = & \cfrac{-\cfrac{3}{2}}{-3} \\\\ \cfrac{1}{2} & = & \cfrac{1}{2} \end{array}

 

Da die Komponenten proportional sind, sind die Vektoren parallel

 

 

11Berechne die Winkels des Dreiecks mit den Eckpunkten: A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).

1Wir stellen grafisch dar

 

Innenwinkel eines Dreiecks

 

2Wir berechnen den Vektor \overrightarrow{AB}

 

\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB} & = & (3 - 6, 5 - 0) \\\\ & = & (-3, 5) \end{array}

 

3Wir berechnen den Vektor \overrightarrow{AC}

 

\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AC} & = & (-1 - 6, -1 - 0) \\\\ & = & (-7, -1) \end{array}

 

4Wir berechnen den Betrag von \overrightarrow{AB}

 

\begin{array}{rcl} | \overrightarrow{AB} | & = & \sqrt{(-3)^2 + 5^2 \\\\ & = & \sqrt{34} \end{array}

 

5Wir berechnen den Betrag von \overrightarrow{AC}

 

\begin{array}{rcl} | \overrightarrow{AC} | & = & \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2 \\\\ & = & \sqrt{50} \end{array}

 

6Wir berechnen das Skalarprodukt der beiden Vektoren

 

\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} & = & (-3) \cdot (-7) + 5 \cdot (-1) \\\\ & = & 16 \end{array}

 

7Wir setzen die vorher ermittelten Werte in die Formel des Winkels \alpha zwischen zwei Vektoren ein

 

\begin{array}{rcl} \cos \alpha & = & \cfrac{16}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{50}} \\\\ & = & 0,388 \end{array}

 

Der Wert \alpha, der zum Eckpunkt A gehört und die vorherige Gleichung erfüllt, ist \alpha = 67^o \, 10'

 

8Wir berechnen den Vektor \overrightarrow{BA}

 

\begin{array}{rcl} \overrightarrow{BA} & = & (6 - 3, 0 - 5) \\\\ & = & (3, -5) \end{array}

 

9Wir berechnen den Vektor \overrightarrow{BC}

 

\begin{array}{rcl} \overrightarrow{BC} & = & (-1 - 3, -1 - 5) \\\\ & = & (-4, -6) \end{array}

 

10Wir berechnen den Betrag von \overrightarrow{BA}

 

\begin{array}{rcl} | \overrightarrow{BA} | & = & \sqrt{3^2 + (-5)^2 \\\\ & = & \sqrt{34} \end{array}

 

11Wir berechnen den Betrag von \overrightarrow{BC}

 

\begin{array}{rcl} | \overrightarrow{BC} | & = & \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 \\\\ & = & \sqrt{52} \end{array}

 

12Wir berechnen das Skalarprodukt der beiden Vektoren

 

\begin{array}{rcl} \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} & = & 3 \cdot (-4) + (-5) \cdot (-6) \\\\ & = & 18 \end{array}

 

13Wir setzen die vorher ermittelten Werte in die Formel des Winkels \beta zwischen zwei Vektoren ein

 

\begin{array}{rcl} \cos \beta & = & \cfrac{18}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{52}} \\\\ & = & 0.428 \end{array}

 

Der Wert \beta, der zum Eckpunkt B gehört und die vorherige Gleichung erfüllt, ist \alpha = 64^o \, 39'

 

14Da die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180^o ist, beträgt der Winkel \gamma des Eckpunktes C

 

\begin{array}{rcl} \gamma & = & 180^o - \alpha - \beta \\\\ & = & 180^o - 67^o \, 10' - 64^o \, 39' \\\\ & = & 48^o \, 11' \end{array}

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.