Kapitel

 

Definition des Punktprodukts

 

Das Punktprodukt oder Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine mathematische Verknüpfung, deren Ergebnis eine reelle Zahl ist. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diese Verknüpfung zu definieren. Eine davon ist die Multiplikation des Produkts der Beträge der Vektoren mit dem Kosinus des Winkels, den sie bilden, d. h.

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos{\alpha}

 

Die gebräuchlichste Art, das Punktprodukt zu definieren, ist jedoch nicht diese, sondern die Summe der Produkte ihrer jeweiligen Koordinaten, d. h, wenn \vec{u} = (u_1, u_2, \dots, u_n) und \vec{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n), können wir das Punktprodukt wie folgt definieren

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \cdots + u_nv_n = \sum_{i=1}^{n}{u_iv_i}

 

Beispiel

 

Bestimme das Punktprodukt der zwei Vektoren mit den folgenden Koordinaten:

 

\displaystyle \vec{v} = \left( 1, \frac{1}{2}, 3\right), \qquad \vec{u} = \left(4, -4, 1\right).

 

Wir wenden die Definition an und erhalten

 

    \begin{align*} \vec{v} \cdot \vec{u} &= \left( 1, \frac{1}{2}, 3\right) \cdot \left(4, -4, 1\right)\\&= (1)(4) + \left( \frac{1}{2}\right) (-4) + (3)(1)\\&= 4 - 2 + 3\\&= 5\end{align*}

 

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Los geht's

Eigenschaften des Punktprodukts

 

Für das Punktprodukt gelten die folgenden Regeln:

 

1 Kommutativgesetz.

 

\displaystyle \vec{v} \cdot \vec{u} = \vec{u} \cdot \vec{v}

 

2 Assoziativgesetz in Verbindung mit reellen Zahlen.

 

\displaystyle k (\vec{v} \cdot \vec{u}) = (k\vec{v})\cdot \vec{u} = \vec{v} \cdot (k\vec{u})

 

3 Distributivgesetz.

 

\displaystyle \vec{v} \cdot (\vec{u} + \vec{w})= \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{w}

 

4 Wenn \vec{v} \neq 0, gilt

 

\displaystyle \vec{v} \cdot \vec{v} > 0

 

Betrag eines Vektors in Bezug auf das Punktprodukt

 

Wir können den Betrag eines Vektors durch das Punktprodukt ausdrücken, indem wir beachten, dass

 

\displaystyle |\vec{v}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + \cdots + u_n^2} = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}.

 

Einfach ausgedrückt ist der Betrag eines Vektors die Wurzel aus dem Punktprodukt des Vektors mit sich selbst.

 

Beispiel

 

Wir berechnen den Betrag des folgenden Vektors

 

\displaystyle \vec{v} = \left( -3, 2, 5\right)

 

Wir wenden die vorher genannte Regel an und erhalten

 

    \begin{align*} |\vec{v}| &= \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}\\&= \sqrt{\left( -3, 2, 5\right) \cdot \left( -3, 2, 5\right)}\\&= \sqrt{(-3)^2 + (2)^2 + (5)^2}\\&= \sqrt{9 + 4 + 25}\\&= \sqrt{38}\\\end{align*}

 

Winkel zwischen zwei Vektoren in Bezug auf das Punktprodukt

 

Wir können den Winkel zwischen zwei Vektoren als ihr Punktprodukt definieren. Zunächst beachten wir, dass der Kosinus des Winkels, den die zwei Vektoren \vec{u} und \vec{v} bilden, gegeben ist durch

 

\displaystyle \cos{\alpha} = \frac{u_1v_1 + u_1v_1 + \cdot + u_nv_n}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + \cdots + u_n^2} \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}

 

Sobald wir den Kosinus haben, können wir den Winkel berechnen, indem wir einfach die trigonometrische Umkehrfunktion Arkuskosinus anwenden, also

 

\displaystyle \alpha = \text{arccos}{\left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} \right)}

 

Beispiel

 

Wir berechnen den Winkel, den die Vektoren bilden

 

\displaystyle \vec{v} = \left( 1, 2, -3\right), \qquad \vec{u} = \left(-2, 4, 1\right).

 

Mit der vorhergehenden Formel erhalten wir

 

    \begin{align*} \alpha &= \text{arccos}{\left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} \right)}\\&= \text{arccos}{\left(\frac{(1)(-2) + (2)(4) + (-3)(1)}{\sqrt{(1)^2 + (2)^2 + (-3)^2} \sqrt{(-2)^2 + (4)^2 + (1)^2}} \right)}\\&= \text{arccos}{\left(\frac{-2 + 8 + -3}{\sqrt{1 + 4 + 9} \sqrt{4 + 16 + 1}} \right)}\\&= \text{arccos}{\left(\frac{3}{\sqrt{14} \sqrt{21}} \right)}\\&= \text{arccos}{\left(\frac{3}{\sqrt{(7)(2)} \sqrt{(7)(3)}} \right)}\\&= \text{arccos}{\left(\frac{3}{\sqrt{(7)^2(2)(3)}}\right)}\\&= \text{arccos}{\left(\frac{3}{7\sqrt{6}}\right)}\\&= 79,92^{\circ}\end{align*}

 

Orthogonale Vektoren

 

Zwei Vektoren \vec{u} und \vec{v} sind zueinander orthogonal, wenn ihr Punktprodukt null (gleich 0) ist. Wenn also gilt, dass

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = 0

 

Es ist also zu beachten, dass die Orthogonalität durch das Punktprodukt definiert ist.

 

Beispiel

 

Beweise, dass die Vektoren

 

\displaystyle \vec{v} = \left( 2, -3, 1\right), \qquad \vec{u} = \left(3, 2, 0\right).

 

zueinander orthogonal sind.

 

Wir berechnen das Punktprodukt der Vektoren

 

    \begin{align*} \vec{v} \cdot \vec{u} &= (2, -3, 1) \cdot (3, 2, 0)\\&= (2)(3) + (-3)(2) + (1)(0)\\&= 6 - 6 + 0\\&= 0\end{align*}

 

Da das Punktprodukt 0 ist, sind die Vektoren zueinander orthogonal.

 

Geometrische Interpretation des Punktprodukts

 

Das Punktprodukt zweier Vektoren, die nicht null sind (außer dem Nullvektor), ist gleich dem Betrag des einen Vektors mal dem Betrag der Projektion des anderen Vektors auf ihn. Wir sehen uns folgende Abbildung an

 

Projektion eines Vektors auf einen anderen Vektor

 

Wir stellen fest, dass \vec{u} = OA, \vec{v} = OB und OA' die Projektion von \vec{u} auf \vec{u} ist. Somit gilt:

 

\displaystyle \cos{\alpha} = \frac{|OA'|}{|\vec{u}|}

 

Wie wir jedoch bereits gesehen haben, ist der Kosinus ebenfalls gegeben durch

 

\displaystyle \cos{\alpha} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}

 

Wir setzen gleich und erhalten

 

    \begin{align*} \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} &= \frac{|OA'|}{|\vec{u}|}\\\vec{u} \cdot \vec{v} &= \frac{|OA'| |\vec{u}||\vec{v}|}{|\vec{u}|}\\\vec{u} \cdot \vec{v} &= |OA'| |\vec{v}|\end{align*}

 

Wie gegeben, wird die skalare Projektion von \vec{u} auf \vec{u} mit der folgenden Formel berechnet

 

\displaystyle OA' = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|} \vec{v}

 

Es ist klar, dass wir einen Einheitsvektor mit der Richtung \vec{v} erhalten und ihm dann eine Länge gleich \vec{u} \cdot \vec{v} zuweisen.

 

Aufgaben

 

Die folgenden Übungsaufgaben dienen dazu, das Punktprodukt und seine Eigenschaften besser zu verstehen.

 

1 Gegeben sind die Vektoren

 

\displaystyle \vec{u} = \left( 2, -3, 5\right), \qquad \vec{v} = \left(6, -1, 0\right),

 

Berechne ihre Beträge.

 

Wir berechnen die Beträge

 

    \begin{align*} |\vec{u}| &= \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}\\&= \sqrt{\left( 2, -3, 5\right) \cdot \left( 2, -3, 5\right)}\\&= \sqrt{(2)^2 + (-3)^2 + (5)^2}\\&= \sqrt{4 + 9 + 25}\\&= \sqrt{38}\\\end{align*}

 

    \begin{align*} |\vec{v}| &= \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}\\&= \sqrt{\left(6, -1, 0\right) \cdot \left(6, -1, 0\right)}\\&= \sqrt{(6)^2 + (-1)^2 + (0)^2}\\&= \sqrt{36 + 1 + 0}\\&= \sqrt{37}\\\end{align*}

 

2 Gegeben sind die Vektoren

 

\displaystyle \vec{u} = \left( 2, -3, 5\right), \qquad \vec{v} = \left(6, -1, 0\right),

 

Berechne das Skalarprodukt.

 

Wir berechnen das Skalarprodukt

 

    \begin{align*} \vec{u} \cdot \vec{v} &= \vec{u} \cdot \vec{v}\\&= \left( 2, -3, 5\right) \cdot \left(6, -1, 0\right)\\&= (2)(6) + (-3)(-1) + (5)(0)\\&= 12 + 3 + 0\\&= 15\\\end{align*}

 

3 Gegeben sind die Vektoren

 

\displaystyle \vec{u} = \left( 2, -3, 5\right), \qquad \vec{v} = \left(6, -1, 0\right),

 

Berechne den Winkel, den sie bilden.

 

Wir wenden die uns bereits bekannte Formel an und nutzen den Arkuskosinus

 

    \begin{align*} \alpha &= \text{arccos}{\left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} \right)}\\&= \text{arccos}{\left(\frac{15}{\sqrt{38} \sqrt{37}} \right)}\\&= \text{arccos}{\left(\frac{15}{\sqrt{1406}} \right)}\\&= \text{arccos}{\left( 0.4 \right)}\\&= 66,42^{\circ}\end{align*}

 

4 Gegeben sind die Vektoren

 

\displaystyle \vec{u} = \left( 2, -3, 5\right), \qquad \vec{v} = \left(m, 2, 3\right),

 

Bestimme den Wert für m, sodass die Vektoren zueinander orthogonal sind.

 

Damit zwei Vektoren zueinander orthogonal sind, muss ihr Punktprodukt gleich null sein, also

 

    \begin{align*} \vec{u} \cdot \vec{v} &= 0\\\left( 2, -3, 5\right) \cdot \left(m, 2, 3\right) &= 0\\2m + (-3)(2) + (5)(3) &= 0\\2m -6 + 15 &= 0\\2m + 9 &= 0\\2m &= -9\\m &= \frac{-9}{2}\end{align*}

 

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.