1 Ein Vektor {\overrightarrow{AB}} hat die Komponenten {(5,-2)}. Bestimme die Koordinaten von {A}, wenn sein Endpunkt {B=(12,-3)} ist.

 

Ein Vektor {\overrightarrow{AB}} hat die Komponenten {(5,-2)}. Bestimme die Koordinaten von {A}, wenn sein Endpunkt {B=(12,-3)} ist.

1 Da wir die Koordinaten von {A} nicht kennen, notieren wir sie in dieser Form:

 

{A=(x_A, y_A)}.

 

2 Wie wir wissen, berechnet man die Koordinaten eines Vektors, indem man den Startpunkt vom Endpunkt abzieht.

 

{\begin{array}{rcl} B-A &=& \overrightarrow{AB} \\ &&\\ (12-x_{A}, -3-y_{A})&=& (5,-2)  \end{array}}

 

3 Wir erhalten zwei Gleichungen

 

{12-x_{A}=5, \ \ \ \ \ \ -3-y_{A}=-2}

 

4 Wir lösen die beiden Gleichungen auf und erhalten folgende Koordinaten von {A}:

 

{A=(7,-1)}

 

2 Gegeben sei der Vektor {\overrightarrow{u}=(2,-1)} und zwei gleichwertige Vektoren {\overrightarrow{u}, \overrightarrow{AB}} und {\overrightarrow{CD}}. Bestimme {B} und {C}. Dabei ist {A=(1,-3)} und {D=(2,0)}.

 

Gegeben sei der Vektor {\overrightarrow{u}=(2,-1)} und zwei gleichwertige Vektoren {\overrightarrow{u}, \overrightarrow{AB}} und {\overrightarrow{CD}}. Bestimme {B} und {C}. Dabei ist {A=(1,-3)} und {D=(2,0)}.

1 Da {\overrightarrow{u}, \overrightarrow{AB}} gleichwertig sind, ist {\overrightarrow{u} =\overrightarrow{AB}}.

 

2 Da wir die Koordinaten von {B} nicht kennen, notieren wir sie als:

{A=(x_B, y_B)}.

 

3 Die Koordinaten eines Vektors berechnet man, indem man den Startpunkt vom Endpunkt abzieht.

 

{\begin{array}{rcl} B-A &=& \overrightarrow{AB} \\ &&\\ B-A &=& \overrightarrow{u} \\ &&\\  (x_{B}-1, y_{B}+3)&=& (2,-1)  \end{array}}

 

4 Wir erhalten zwei Gleichungen

 

{x_{B}-1=2, \ \ \ \ \ \ y_{B}+3=-1}

 

5 Wir lösen die beiden Gleichungen auf und erhalten folgende Koordinaten von {B}

 

{B=(3,-4)}

 

6 Wir lösen die Gleichung für {B} nach demselben Schema auf und erhalten {C=(0,1)}.

 

3 Bestimme den Abstand zwischen den Punkten {A=(2,1)} und {B=(-3,2)}.

 

Bestimme den Abstand zwischen den Punkten {A=(2,1)} und {B=(-3,2)}.

1 Die Formel zur Berechnung des Abstands zwischen zwei Punkten ist

 

{d(AB)=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}

 

2 Setze die Werte von {A} und {B} in die Abstandsformel ein und du erhältst

 

{d(AB)=\sqrt{(-3-2)^{2}+(2-1)^{2}}=\sqrt{(-5)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{26}}

 

4 {\vec{v}} ist ein Vektor mit den Komponenten {(3,4)}. Bestimme einen Einheitsvektor mit derselben Richtung und Orientierung.

 

{\vec{v}} ist ein Vektor mit den Komponenten {(3,4)}. Bestimme einen Einheitsvektor mit derselben Richtung und Orientierung.

1 Die Formel für den Einheitsvektor ist

 

{\vec{u}=\displaystyle\frac{1}{|\vec{v}|}\vec{v}}

 

2 Berechne den Betrag von {\vec{v}}

 

{\vec{v}=\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}=\sqrt{25}=5}

 

3 Setze den Wert in die Formel zur Berechnung des Einheitsvektors ein

 

{\vec{u}=\displaystyle\frac{1}{5}(3,4)=\left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)}

 

5 Bestimme einen Einheitsvektor, der dieselbe Richtung wie der Vektor {\vec{v}=(8,-6)} besitzt.

 

Bestimme einen Einheitsvektor, der dieselbe Richtung wie der Vektor {\vec{v}=(8,-6)} besitzt.

1 Die Formel für den Einheitsvektor ist

 

{\vec{u}=\displaystyle\frac{1}{|\vec{v}|}\vec{v}}

 

2 Berechne den Betrag von {\vec{v}}

 

{\vec{v}=\sqrt{(8)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{100}=10}

 

3 Setze den Wert in die Formel zur Berechnung des Einheitsvektors ein

 

{\vec{u}=\displaystyle\frac{1}{10}(8,-6)=\left( \frac{10}{8}, \frac{-6}{10}\right)=\left( \frac{4}{5}, \frac{-3}{5}\right)}

 

6 Berechne die Koordinaten von {D} so, dass das Viereck mit den Scheitelpunkten {A=(-1,-2), B=(4,-1), C=(5,2)} und {D} ein Parallelogramm ist.

 

Berechne die Koordinaten von {D} so, dass das Viereck mit den Scheitelpunkten {A=(-1,-2), B=(4,-1), C=(5,2)} und {D} ein Parallelogramm ist

Ansicht Parallelogramm
Abb. 1: Parallelogramm im Koordinatensystem

1 Die gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms haben dieselbe Länge und Richtung, daher erhalten wir

 

{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}}

 

2 Da wir die Koordinaten von {D} nicht kennen, notieren wir sie als

{D=(x_D, y_D)}.

 

3 Setze die Werte der Scheitelpunkte des Parallelogramms in die Vektorgleichung ein

 

{\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB}&=&\overrightarrow{DC} \\ &&\\ (4+1, -1+2) & = & (5-x_{D},2-y_{D}) \end{array}}

 

4 Wir erhalten zwei Gleichungen

 

{5=5-x_{D}, \ \ \ \ \ \ 1=2-y_{D}}

 

5 Wir lösen die Gleichungen auf und erhalten folgende Koordinaten

 

{D=(0,1)}

 

7 Finde den Mittelpunkt der Strecke {AB} mit den Endpunkten {A=(3,9)} und {B=(-1,5)}.

 

Finde den Mittelpunkt der Strecke {AB} mit den Endpunkten {A=(3,9)} und {B=(-1,5)}.

1 Die Formeln zur Berechnung der Koordinaten des Mittelpunkts sind

 

{x_{m}=\displaystyle\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \ \ \ \ \ \ \ y_{m}=\displaystyle\frac{y_{1}+y_{2}}{2}}

 

2 Setze die Werte von {A} und {B} in die beiden Formeln ein

 

{\begin{array}{l} x_{m}=\displaystyle\frac{3-1}{2}=1\\\\ y_{m}=\displaystyle\frac{9+5}{2}=7 \end{array}}

 

3 Der Mittelpunkt ist {P_{m}=(1,7)}.

 

8 Bestimme die Koordinaten des Punktes {C}, wenn {B=(2,-2)} der Mittelpunkt von {AC} ist, und {A=(-3,1)}.

 

Bestimme die Koordinaten des Punktes {C}, wenn {B=(2,-2)} der Mittelpunkt von {AC} ist, und {A=(-3,1)}.

1 Die Formeln zur Berechnung der Koordinaten des Mittelpunkts sind

 

{x_{m}=\displaystyle\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \ \ \ \ \ \ \ y_{m}=\displaystyle\frac{y_{1}+y_{2}}{2}}

 

2 Setze die Werte von {A} und {B} in die beiden Formeln ein und berechne die erste Koordinate von {C}

 

{\begin{array}{rcl} 2 &=&\displaystyle\frac{-3+x_{C}}{2}\\ && \\ 4&=& -3+x_{C}  \\ && \\ 7 &=& x_{C} \end{array}}

 

3 Die zweite Koordinate von {C} ist

 

{\begin{array}{rcl} -2 &=&\displaystyle\frac{1+y_{C}}{2}\\ && \\ -4&=& 1+y_{C}  \\ && \\ -5 &=& y_{C} \end{array}}

 

4 {C=(7,-5)} ist

 

9 Finde heraus, ob die Punkte {A=(-2,-3), B=(1,0)} und {C=(6,5)} kolinear sind.

 

Finde heraus, ob die Punkte {A=(-2,-3), B=(1,0)} und {C=(6,5)} kolinear sind.

1 Die Punkte {A, B, C} sind kolinear, wenn die Steigungen der Geraden {AB} und {BC} gleich sind.

 

{m_{AB}=\displaystyle\frac{0-(-3)}{1-(-2)}=1, \ \ \ \ \ \ \ m_{BC}=\displaystyle\frac{5-0}{6-1}=1}

 

2 Da beide Steigungen gleich sind, sind die drei Punkte kolinear.

 

10 Berechne den Wert von {a}, für den die Punkte {A=(2,1), B=(4,2), C=(6,a)} kolinear sind.

 

Berechne den Wert von {a}, für den die Punkte {A=(2,1), B=(4,2), C=(6,a)} kolinear sind

1 Die Punkte {A, B, C} sind kolinear, wenn die Steigungen der Geraden {AB} und {BC} gleich sind.

 

{m_{AB}=\displaystyle\frac{2-1}{4-2}=\frac{1}{2}, \ \ \ \ \ \ \ m_{BC}=\displaystyle\frac{a-2}{6-4}=\frac{a-2}{2}}

 

2 Da beide Steigungswerte gleich sind, setzen wir die Terme miteinander gleich und lösen nach {a} auf

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{a-2}{2} &=&\displaystyle\frac{1}{2}\\ && \\ a-2&=& 1  \\ && \\ a &=& 3 \end{array}}

 

11 Gegeben seien die Punkte {A=(3,2)} und {B=(5,4)}. Bestimme einen Punkt {C}, der kolinear zu {A} und{B} ist und mit dem man {\displaystyle\frac{CA}{CB}=\displaystyle\frac{3}{2}} erhält.

 

Gegeben seien die Punkte {A=(3,2)} und {B=(5,4)}. Bestimme einen Punkt {C}, der kolinear zu {A} und{B} ist und mit dem man {\displaystyle\frac{CA}{CB}=\displaystyle\frac{3}{2}} erhält.

1 Aus den vorherigen Konditionen erhalten wir folgende Gleichung

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{\overrightarrow{CA}}{\overrightarrow{CB}}&=&\displaystyle\frac{3}{2} \\ && \\ \overrightarrow{CA}&=& \displaystyle\frac{3}{2} \overrightarrow{CB} \\ && \\ (3-x,2-y) & = & \displaystyle\frac{3}{2} (5-x,4-y) \end{array}}

 

2 Setze beide Ausdrücke Koordinate für Koordinate gleich und du erhältst

 

{3-x=\displaystyle\frac{3}{2} (5-x) \ \ \ \ \ \ 2-y=\displaystyle\frac{3}{2} (4-y)}

 

3 Löse die beiden Gleichungen, um die Koordinaten von {C} zu erhalten

 

{\begin{array}{rcl} 3-x &=&\displaystyle\frac{3}{2}(5-x)\\ && \\ 2(3-x)&=& 3(5-x) \\ && \\ 6-2x &=& 15-3x \\ && \\ 3x-2x & = & 15-6 \\ && \\ x &=& 9 \end{array}}

 

{\begin{array}{rcl} 2-y &=&\displaystyle\frac{3}{2}(4-y)\\ && \\ 2(2-y)&=& 3(4-y) \\ && \\ 4-2y &=& 12-3y \\ && \\ 3y-2y & = & 12-4 \\ && \\ y &=& 8 \end{array}}

 

12 Gegeben sei ein Dreieck mit den Scheitelpunkten {A=(1,2), B=(-3,4)} und {C=(-1,6)}. Bestimme die Koordinaten seines Schwerpunkts.

 

Gegeben sei ein Dreieck mit den Scheitelpunkten {A=(1,2), B=(-3,4)} und {C=(-1,6)}. Bestimme die Koordinaten seines Schwerpunkts.

1 Die Formel, um den Schwerpunkt zu berechnen, ist

 

{G=\left( \displaystyle\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},\displaystyle\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)}

 

2 Setze die Werte der Scheitelpunkte in die Formel ein und du erhältst

 

{G=\left( \displaystyle\frac{1-3-1}{3},\displaystyle\frac{2+4+6}{3}\right)=(-1,4)}

 

13 Gegeben sei ein Dreieck mit zwei Scheitelpunkten {A=(2,1), B=(1,0)} und dem Schwerpunkt {G=(2/3,0)}. Berechne den dritten Scheitelpunkt.

 

Gegeben sei ein Dreieck mit zwei Scheitelpunkten {A=(2,1), B=(1,0)} und dem Schwerpunkt {G=(2/3,0)}. Berechne den dritten Scheitelpunkt.

1 Die Formel, um den Schwerpunkt zu berechnen, ist

 

{G=\left( \displaystyle\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},\displaystyle\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)}

 

2 Setze die Werte des Schwerpunkts und der Scheitelpunkte in die Formel ein und du erhältst zwei Gleichungen

 

{\displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{2+1+x}{3}, \ \ \ \ \ \ \ 0=\displaystyle\frac{1+0+y}{3}}

 

3 Löse beide Gleichungen auf und du erhältst den dritten Scheitelpunkt {(-1,-1)}.

 

14 Finde den Spiegelpunkt des Punktes {A=(4,-2)} an {M=(2,6)}.

 

Finde den Spiegelpunkt des Punktes {A=(4,-2)} an {M=(2,6)}.

1 Den Spiegelpunkt von {A} notieren wir als {B=(x,y)}. Es gilt außerdem: {\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}}

 

2 Durch Einsetzen der Werte der Punkte erhalten wir zwei Gleichungen, die den Koordinaten der Vektoren entsprechen

 

{-2=x-2, \ \ \ \ \ \ \ 8=y-6}

 

3 Löse beide Gleichungen auf und du erhältst {B=(0,14)}.

 

15 Finde den Spiegelpunkt des Punktes {A=(3,-2)} an {M=(-2,5)}.

 

Finde den Spiegelpunkt des Punktes {A=(3,-2)} an {M=(-2,5)}.

1 Den Spiegelpunkt von {A} notieren wir als {B=(x,y)}. Es gilt außerdem: {\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}}

 

2 Durch Einsetzen der Werte der Punkte erhalten wir zwei Gleichungen, die den Koordinaten der Vektoren entsprechen

 

{-5=x+2, \ \ \ \ \ \ \ 7=y-5}

 

3 Löse beide Gleichungen auf und du erhältst {B=(-7,12)}.

 

16 Welche Punkte {P} und {Q} teilen eine Strecke mit den Endpunkten {A=(-1,-3)} und {B=(5,6)} in drei gleich lange Segmente?

 

Welche Punkte {P} und {Q} teilen eine Strecke mit den Endpunkten {A=(-1,-3)} und {B=(5,6)} in drei gleich lange Segmente

punkte im koordinatensystem
Abb. 2: Darstellung im Koordinatensystem

1 In Vektorschreibweise erhalten wir

 

{\overrightarrow{AP}=\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}}

 

2 Durch Einsetzen der Werte der Punkte erhalten wir zwei Gleichungen, die den Koordinaten der Vektoren entsprechen

 

{x_{P}+1=2, \ \ \ \ \ \ \ y_{P}+3=3}

 

3 Löse beide Gleichungen auf und du erhältst {P=(1,0)}.

 

4 Um die Koordinaten von {Q} zu finden, notieren wir

 

{\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{AP}}

 

5Durch Einsetzen der Werte der Punkte erhalten wir zwei Gleichungen, die den Koordinaten der Vektoren entsprechen

 

{x_{P}+1=4, \ \ \ \ \ \ \ y_{P}+3=6}

 

6 Löse beide Gleichungen auf und du erhältst {P=(3,3)}.

 

17 Die Strecke {AB} mit den Endpunkten {A=(1,3), B=(7,5)} wird in vier gleich lange Segmente geteilt. Welche sind die Koordinaten der Punkte, die sie teilen?

 

Die Strecke {AB} mit den Endpunkten {A=(1,3), B=(7,5)} wird in vier gleich lange Segmente geteilt. Welche sind die Koordinaten der Punkte, die sie teilen?

punkte im koordinatensystem
Abb. 3: Darstellung im Koordinatensystem

1 Man kan erkennen, dass {Q} der Mittelpunkt der Strecke {AB} ist

 

{Q=\left(\displaystyle\frac{1+7}{2}, \frac{3+5}{2} \right)=(4,4)}

 

2 {P} ist der Mittelpunkt der Strecke {AQ}

 

{P=\left(\displaystyle\frac{1+4}{2}, \frac{3+4}{2} \right)=\left(\displaystyle\frac{5}{2}, \frac{7}{2} \right)}

 

3 {R} ist der Mittelpunkt der Strecke {QB}

 

{R=\left(\displaystyle\frac{4+7}{2}, \frac{4+5}{2} \right)=\left(\displaystyle\frac{11}{2}, \frac{9}{2} \right)}

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Melanie S

Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan bringe ich die Lernartikel von echten Mathe-Profis logisch und verständlich ins Deutsche, damit du als Mathelerner bei Superprof deine Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden kannst.