1Bestimme den Spiegelpunkt von {A(3, -2)} in Bezug auf {M(-2, 5)}.

1 Wir berechnen den Spiegelpunkt A'(x, y). Hierfür gilt {\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MA'}}

 

{\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AM} & = & \overrightarrow{MA'} \\\\ (-2 - 3, 5 + 2) & = & (x + 2, y - 5) \end{array}}

 

2 Wir setzen die Koordinaten gleich und bestimmen die Variablen x, y

 

Für die erste Koordinate gilt

 

{\begin{array}{rcl}x + 2 & = & -5 \\\\ x & = & -7 \end{array}}

 

Für die zweite Koordinate gilt

 

{\begin{array}{rcl}y - 5 & = & 7 \\\\ y & = & 12 \end{array}}

 

3 Der SpiegelpunktA' hat die Koordinaten

 

{A'(-7, 12)}

 

 

2Gegeben sind die Eckpunkte {A(2, 1), B(1, 0)} eines Dreiecks und der Schwerpunkt {G(2/3, 0)}. Berechne den dritten Eckpunkt.

1 Die Formel für den Schwerpunkt eines Dreiecks mit den Eckpunkten A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) lautet

 

{\left ( \displaystyle \cfrac{x_1 + 1x_2+ x_3}{3},\frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right )}

 

2 Wir berechnen den Schwerpunkt mithilfe des dritten Eckpunktes {C=(x, y)}}. Hierzu setzen wir in die vorhergehende Formel ein

 

{\left(\displaystyle\frac{2}{3}, 0\right) = \left(\displaystyle\frac{2 + 1 + x}{3},\frac{1 + 0 + y}{3}\right)}

 

3 Wir setzen die Koordinaten gleich und lösen nach den Variablen x, y auf

 

Für die erste Koordinate gilt

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{ 2 + 1 + x}{3} & = & \displaystyle\frac{2}{3} \\\\ \displaystyle 3 \left ( \frac{ 3 + x}{3} \right ) & = & \displaystyle 3 \left ( \frac{2}{3} \right ) \\\\ 3 + x & = & 2 \\\\ x & = & -1 \end{array}}

 

Für die zweite Koordinate gilt

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{1 + 0 + y}{3} & = & 0 \\\\ 3 \left ( \cfrac{1 + y}{3} \right ) & = & 3 (0) \\\\ 1 + y & = & 0 \\\\ y & = & -1 \end{array}}

 

4 Der dritte Eckpunkt lautet

 

{C(-1,-1)}

 

 

3Gegeben sind die Punkte {A (3, 2)} und {B(5, 4)}. Bestimme einen Punkt {C} anhand der Punkte {A} und {B}, sodass wir {\displaystyle\frac{CA}{CB}=\frac{3}{2}} erhalten

1 Da  {\displaystyle\frac{CA}{CB}=\frac{3}{2}}, setzen wir die Werte für A, B und C(x, y) ein und erhalten

 

{\begin{array}{rcl} CA & = &\displaystyle\frac{3}{2} CB \\\\ 2 CA & = & 3 CB \\\\ 2 (3-x,2-y) & = & \displaystyle 3 (5-x,4-y) \\\\ (6 - 2x, 4 - 2y) & = & (15 - 3x, 12 - 3y) \end{array}}

 

2 Wir setzen die Koordinaten gleich und lösen nach den Variablen x, y auf

 

Für die erste Koordinate gilt

 

{\begin{array}{rcl} 6 - 2x & = & 15 - 3x \\\\ 3x - 2x & = & 15 - 6 \\\\ x & = & 9 \end{array}}

 

Für die zweite Koordinate gilt

 

{\begin{array}{rcl} 4 - 2y & = & 12 - 3y \\\\ 3y - 2y & = & 12 - 4 \\\\ y & = & 8 \end{array}}

 

3 Der gesuchte Punkt ist {C(9,8)}

 

 

4Berechne die Koordinaten von {D} für das Viereck mit den Eckpunkten: {A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2)} und {D} bilden ein Parallelogramm.

1 Um die Koordinaten von D(x, y) zu bestimmen, nutzen wir die Tatsache, dass es sich um die gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms handelt. Seine Vektoren sind daher

 

{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}}

 

2 Wir setzen ein und erhalten

 

{\begin{array}{rcl} (4+1,-1+2) & = & (5 - x, 2 - y) \\ && \\ (5,1)& = &(5 - x, 2 - y) \end{array}}

 

3 Wir setzen die Koordinaten gleich und lösen nach den Variablen x, y auf

 

Für die erste Koordinate gilt

 

{\begin{array}{rcl} 5 - x & = & 5 \\\\ -x & = & 5 - 5 \\\\ x & = & 0 \end{array}}

 

Für die zweite Koordinate gilt

 

{\begin{array}{rcl} 2 - y & = & 1 \\\\ -y & = & 1 - 2 \\\\ y & = & 1 \end{array}}

 

4 Der gesuchte Punkt ist {D(0,1)}

 

 

5{\vec{u}, \vec{v}} bilden eine Orthonormalbasis. Berechne:

 

a {\vec{u} \cdot \vec{u}}

 

b{\vec{u} \cdot \vec{v}}

 

c{\vec{v} \cdot \vec{u}}

 

d {\vec{v} \cdot \vec{v}}

1 Da \vec{u}, \vec{v} zueienander orthonormal sind, stehen sie senkrecht aufeinander. Sie bilden deshalb einen Winkel von  90^o und ihre Länge ist 1. Somit gilt |\vec{u}| = |\vec{v}| = 1

 

2 Um die gewünschten Produkte zu bestimmen, wenden wir die Formel an

 

{\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \theta}

 

\theta entspricht dem Winkel zwischen \vec{u} und \vec{v}

 

3 Wir setzen in die Formel ein und verwenden den entsprechenden Wert \theta: \, 0^o, wenn die Vektoren gleich sind und 90^o, wenn sie unterschiedlich sind

 

a {\vec{u} \cdot \vec{u} = (1)(1)cos\; 0^{o} = 1}

 

b {\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(1)cos\; 90^{o} = 0}

 

c {\vec{v} \cdot \vec{u} = (1)(1)cos\; 90^{o} = 0}

 

d {\vec{v} \cdot \vec{v} = (1)(1)cos \; 0^{o} = 1}

 

 

6 Gegeben sind die Vektoren {\vec{u}=(2,k), \; \vec{v}=(3,-2)}. Berechne {k} so, dass die Vektoren {\vec{u}, \; \vec{v}} folgende Eigenschaften besitzen:

 

a Sie stehen senkrecht zueinander.

 

b Sie sind parallel.

 

c Sie bilden einen {60^{o}}-Winkel.

a Senkrecht: Zwei Vektoren stehen zueinander senkrecht, wenn ihr Produkt null ist

 

Wir multiplizieren aus und bestimmen die Variable k

 

{\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 0 \\\\ (2,k) \cdot (3,-2) & = & 0 \\\\ 2 \cdot 3 +k(-2) & = & 0 \\\\ k & = & 3 \end{array}}

 

b Parallel: Zwei Vektoren sind parallel, wenn ihre Elemente proportional sind. Das heißt,

 

\cfrac{u_1}{v_1} = \cfrac{u_2}{v_2}

 

Wir setzen gleich und bestimmen die Variable k

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{2}{3} & = & \cfrac{k}{-2} \\\\ (-2) \cdot \left ( \cfrac{2}{3} \right ) & = & (-2) \cdot \left (\cfrac{k}{-2} \right ) \\\\ -\cfrac{4}{3} & = & k \end{array}}

 

c Sie bilden einen {60^{o}}-Winkel: Wir setzen die Werte in die Formel ein

 

{\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \theta}

 

mit \theta = 60^o

 

{\begin{array}{rcl} (2, k)\cdot (3, -2) & = & \sqrt{4 + k^{2}} \cdot \sqrt{13} \cdot cos\; 60^{o} \\\\ 2 \cdot 3 - 2k & = & \cfrac{1}{2}\sqrt{13} \cdot \sqrt{4 + k^2} \end{array}}

 

Wir quadrieren beide Seiten und vereinfachen

 

{\begin{array}{rcl} (6 - 2k)^2 & = & \left ( \cfrac{1}{2}\sqrt{13} \cdot \sqrt{4 + k^2} \right )^2 \\\\ 36 - 24k + 4k^2 & = & \cfrac{52 + 13k^2}{4} \\\\ 144 - 96k + 16k^2 & = & 52 + 13k^2 \\\\ 3k^2 - 96k + 92 & = & 0 \end{array}}

 

Wir lösen mithilfe der Formel zur Bestimmung der Nullstellen der quadratischen Gleichung

 

\begin{array}{rcl} k & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(-96) \pm \sqrt{(-96)^2 - 4(3)(92)}}{2(3)} \\\\ & = & \cfrac{96 \pm \sqrt{8 112}}{6} \\\\ & = & \cfrac{96 \pm 90.07}{2} \end{array}

 

Die Nullstellen der quadratischen Gleichung sind {k=31,01, \ \ \ k=0, 99}. Allerdings erfüllt nur k=0,99 die Gleichung und ist somit der gesuchte Wert für k.

 

 

7Berechne den Wert für {k}. {\vec{a}=(-2,k), \; \vec{b}=(5,-3)} und {\vec{a} \cdot \vec{b}=-6} sind dabei bekannt.

1Wir berechnen das Produkt der Vektoren

 

{\begin{array}{rcl} \vec{a}\cdot \vec{b} & = & (-2) \cdot 5 + (-3)k \\\\ & = & -10 - 3k \end{array}}

 

2Wir setzen das Ergebnis gleich {-6} und lösen nach {k} auf

 

{\begin{array}{rcl} -10 - 3k & = & -6 \\\\ -3k & = & -6 + 10 \\\\ k & = & -\cfrac{4}{3} \end{array}}

 

 

8Gegeben ist die Orthonormalbasis {\{\vec{u}, \vec{v}\}} der Ebene. Berechne den Wert für {k} so, dass die Vektoren {\vec{a}=-3\vec{u}+k\vec{v}} und {\vec{b}=\vec{u}-5\vec{v}} zueinander orthogonal sind.

1Da die Basis orthonormal ist, gilt

 

{\begin{array}{rcl}\vec{u} \cdot \vec{v} & = & 0, \\\\ \vec{u} \cdot \vec{u} & = & 1, \\\\ \vec{v} \cdot \vec{v} & = & 1 \end{array}}

 

2Wir berechnen das Skalarprodukt aus \vec{a} und \vec{b}

 

{\begin{array}{rcl} \vec{a} \cdot \vec{b} & = & (-3\vec{u}+k\vec{v}) \cdot (\vec{u}-5\vec{v}) \\\\ & = & -3 \vec{u} \cdot \vec{u} + (-3)(-5)\vec{u} \cdot \vec{v} + k\vec{v} \cdot \vec{u} + (-5)k \vec{v} \cdot \vec{v} \\\\ & = & -3 - 5k \end{array}}

 

3 Zwei Vektoren sind zueinander orthogonal, wenn ihr Produkt null ist. Wir setzen ein und bestimmen k

 

{\begin{array}{rcl} \vec{a} \cdot \vec{b} & = & 0 \\\\ -3 - 5k & = & 0 \\\\ -5k & = & 3 \\\\ k & = & -\cfrac{3}{5} \end{array}}

 

 

9Berechne die Projektion des Vektors {\vec{u}=(2,-5)} auf den Vektor {\vec{v}=(5,1)}.

1Die Formel der Projektion des Vektors \vec{u} auf den Vektor \vec{v} ist gegeben durch

 

{OA' = \displaystyle\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}}

 

2Wir berechnen das Produkt der Vektoren

 

{\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 2 \cdot 5 + (-5) \cdot 1 \\\\ & = & 10 - 5 \\\\ & = & 5 \end{array} }

 

3Wir berechnen die Länge des Vektors\vec{v}

 

{\begin{array}{rcl} |\vec{v}| & = & \sqrt{5^2 + 1^2} \\\\ & = & \sqrt{26} \end{array} }

 

4Wir setzen die Werte in die Formel der Projektion ein

 

{OA' = \displaystyle\frac{5}{\sqrt{26}}}

 

 

10Bestimme einen Einheitsvektor {\vec{u}}, der in dieselbe Richtung zeigt wie der Vektor {\vec{v} = (8,-6)} .

1Die Formel eines Einheitsvektors ist gegeben durch

 

{\vec{u} = \displaystyle\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}}

 

2Wir berechnen die Länge des Vektors \vec{v}

 

{\begin{array}{rcl} |\vec{v}| & = & \sqrt{8^2 + (-6)^2} \\\\ & = & \sqrt{100} \\\\ & = & 10 \end{array}}

 

3Wir setzen in die Formel des Einheitsvektors ein

 

{\begin{array}{rcl} \vec{u} & = & \cfrac{1}{10}(8, -6) \\\\ & = & \left(\cfrac{4}{5}, - \cfrac{3}{5} \right)\end{array}}

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.