Optimierungsaufgaben unter Verwendung von Ableitungen.
Aufgaben mit Lösungen
Der Wert eines Rubins ist proportional zum Quadrat seines Gewichts. Teile einen Rubin mit einem Gewicht von 
g in zwei Teile mit einem Gewicht von 
g bzw. 
g, sodass die Summe der Werte der beiden entstandenen Rubine minimal ist.
Der Wert von zwei Rubinen hängt vom Gewicht eines der beiden ab:
Wir berechnen die Ableitung und setzen sie gleich 0, um die kritischen Werte zu ermitteln:
Wir berechnen die 2. Ableitung und setzen ein:
Daher muss der Rubin in zwei gleiche Teile zu je 
g geteilt werden.
Unter allen Geraden, die durch den Punkt 
verlaufen, soll jene gefunden werden, die mit den positiven Abschnitten der Koordinatenachsen ein Dreieck mit minimaler Fläche bildet.
Aus der Punkt-Steigungs-Form der Geraden folgt, dass die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt verläuft, lautet: 
Da wir möchten, dass die Eckpunkte im positiven Bereich der Koordinatenachsen liegen, benötigen wir den Wert von , wenn 
ist, sowie den Wert von 
, wenn 
ist
Somit sind 
und 
Eckpunkte des Dreiecks.
Nun wollen wir aber, dass die Fläche des Dreiecks, das durch die Gerade gebildet wird, möglichst klein ist. Wir denken daran, dass die Fläche des Dreiecks 
ist, in diesem Fall bleibt 
Wir berechnen die Ableitung und setzen sie gleich 0, um kritische Werte zu ermitteln: 
Wir stellen fest, dass sich mit 
kein Dreieck bilden würde, da die Koordinaten von A und B mit dem Koordinatenursprung zusammenfallen, also nehmen wir 
Wir berechnen die 2. Ableitung und setzen ein:
Por tanto, la recta es la que tiene pendiente
Eine Boje, die aus zwei geraden Eisenkegeln besteht, die an ihren Grundflächen miteinander verbunden sind, soll aus zwei kreisförmigen Platten mit einem Radius von 
m konstruiert werden. Berechne die Maße der Boje, damit ihr Volumen maximal ist.
Die Formel für das Volumen des Kegels lautet: 
In diesem Fall ergibt sich aus der Abbildung, dass die zu optimierende Funktion wie folgt lautet: 
Wir setzen die Variablen miteinander in Beziehung: 
Wir setzen in die Funktion ein: 
Wir leiten ab, setzen gleich null und berechnen die Nullstellen.
Wir berechnend die 2. Ableitung, um das Ergebnis zu überprüfen: 
Finde zwei Zahlen, deren Summe 20 ergibt und deren Produkt maximal ist.
und sollen die gesuchten Zahlen sein. Die zu lösende Aufgabe lautet wie folgt:
Es soll 
gelten und da 
, ist 
. Wir setzen ein und erhalten: 
Wir berechnen das (oder die) Maximum(a) der Funktion 
Wie lauten die Maße eines rechteckigen Feldes mit einer Fläche von 
, damit es mit einem Zaun von möglichst geringer Länge umzäunt werden kann?
sollen die Seiten des Rechtecks sein. Anhand der Formel für die Fläche eines Quadrats ergibt sich
Andererseits ist die Fläche, die wir umzäunen müssen, 
, d. h., dies ist die zu minimierende Funktion. Wir haben 
Wir nehmen 
und setzen ein: 
. So erhalten wir:
Wir minimieren 
: 
Wir berechnen die 2. Ableitung und setzen ein 
Also lauten die Maße 
Zerlege die Zahl 
in zwei Summanden, sodass das Fünffache des Quadrats des ersten Summanden plus das Sechsfache des Quadrats des zweiten Summanden ein Minimum ergibt.
Wir möchten die Zahl in zwei Summanden zerlegen, also 
, und wir möchten, dass das Fünffache des Quadrats des ersten Summanden plus das Sechsfache des Quadrats des zweiten Summanden ein Minimum ergibt. Also gilt 
Da 
, setzen wir "" ein: 
Wir leiten ab und setzen gleich 0: 
Wir berechnen die 2. Ableitung 
Das Minimum und die Zahlen lauten
Der monatliche Nettogewinn eines Unternehmens, das Busse herstellt, in Millionen Euro, lässt sich durch folgende Funktion berechnen:
, wobei die Anzahl der hergestellten Busse in einem Monat ist. Berechne die monatliche Produktionsmenge, bei der der Gewinn maximal ist.
Wir leiten die Funktion des monatlichen Gewinns ab und setzen sie gleich 0 
Wir berechnen die 2. Ableitung und setzen ein 
Also ein Maximum.
Finde zwei Zahlen, bei denen das Produkt aus dem Quadrat der einen und der anderen Zahl maximal ist, wenn die Summe dieser Zahlen 
beträgt.
sollen die gesuchten Zahlen sein und wir haben 
Wir nehmen 
.
Da 
, haben wir 
und somit:
Wir maximieren die Funktion 
Mit KI zusammenfassen:
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