Interaktive Übungen zu quadratischen Funktionen

Der gegebene Graph ist eine Streckung der Parabel , da er "flacher" ist als diese.

Daraus lässt sich also ableiten, dass es sich um die dritte Option handelt, das heißt, . Wir können die richtige Antwort auch erkennen, indem wir einfach einige Werte einsetzen. Die Grafik zeigt beispielsweise, dass die Funktion durch den Punkt verlaufen muss, und wir können feststellen, dass die dritte Option die einzige ist, die diese Bedingung erfüllt.

Es handelt sich um eine nach unten geöffnete Parabel, weshalb der Koeffizient des quadratischen Terms negativ sein muss. Somit können wir die erste Option ausschließen. Um herauszufinden, welche der beiden verbleibenden Optionen die richtige ist, genügt es, einen der Punkte auf dem Graphen zu überprüfen.

Beispielsweise muss der Punkt ein Punkt dieser sein.

Wenn wir bei der zweiten Option nehmen, erhalten wir , sodass wir auch diese Funktion ausschließen können. 

Die Lösung der Aufgabe ist daher der dritte angegebene Ausdruck, das heißt,

Der gegebene Graph ist eine Verschiebung der Parabel .

Da um eine Einheit nach oben verschoben wurde, folgt daraus, dass das unabhängige Glied lauten muss, womit die erste Antwortmöglichkeit die richtige ist, d. h., .

Wir können die Aufgabe auch lösen, indem wir einen (oder mehrere) Punkt(e) auf dem Graphen nehmen und prüfen, für welchen Ausdruck die Gleichung gilt.

Der gegebene Graph verläuft beispielsweise durch den Punkt , und wenn wir nehmen, erhalten wir nur mit der ersten Funktion , woraus folgt, dass diese die richtige ist.

Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel , daher muss der Koeffizient des quadratischen Terms positiv sein. Somit scheidet der letzte Ausdruck aus.

Wenn wir uns den Graphen ansehen, stellen wir fest, dass wir haben und sein muss, was nur für die zweite Option () gilt. Diese ist also die richtige Option.

Da der Koeffizient des Terms zweiten Grades positiv ist, handelt es sich um eine nach oben geöffnete Parabel, womit die dritte Option ausgeschlossen ist. Andererseits gilt für , und wir können feststellen, dass zwar ein Punkt des ersten Graphen, nicht aber des zweiten ist. Somit ist die 1. Option richtig.

Wie wir gesehen haben, lässt sich die Aufgabe leicht lösen, wenn man nur auf bestimmte relevante Details achtet. Wenn wir jedoch ausgehend vom analytischen Ausdruck eine Parabel zeichnen wollen, sollten wir im Allgemeinen wie folgt vorgehen:

Zunächst ist festzustellen, dass der Koeffizient des quadratischen Terms positiv ist (), sodass die Parabel nach oben geöffnet ist, d. h., der Graph hat folgende Form:

 Scheitelpunkt

Anhand der uns vorliegenden Daten können wir uns ein Bild davon machen, wie der Graph unserer Parabel aussehen wird:

 Schnittpunkte mit den Achsen.

Schnittpunkt mit der Achse

Wenn wir uns die Skizze ansehen, die wir bereits angefertigt haben, können wir daraus schließen, dass diese Parabel keine Schnittpunkte mit der Koordinatenachse hat. Wir können dies aber auch durch das Lösen der quadratischen Gleichung nachweisen, wie im Folgenden gezeigt wird:

Es gibt also keinen Schnittpunkt mit der Achse .

Schnittpunkt mit der Achse

Schnittpunkt

Wir kennen bereits einen weiteren Punkt, durch den der Graph verläuft:

 Wertetabelle.

Wir haben nun genügend Punkte, um den Graphen der Parabel zu zeichnen:

Somit lautet der Graph der Parabel :

Da der Koeffizient des Terms zweiten Grades positiv ist, handelt es sich um eine nach oben geöffnete Parabel, womit die zweite Möglichkeit ausgeschlossen ist. Andererseits gilt für , und wir können feststellen, dass zwar ein Punkt des ersten Graphen, nicht aber des dritten ist. Somit ist die 1. Option richtig.

Allgemeine Vorgehensweise:

Zunächst ist festzustellen, dass der Koeffizient des quadratischen Terms positiv ist , sodass die Parabel nach oben zeigt, d. h., der Graph hat folgende Form:

 Scheitelpunkt

Anhand der uns vorliegenden Daten können wir uns ein Bild davon machen, wie der Graph unserer Parabel aussehen wird:

 Schnittpunkte mit den Achsen.

Schnittpunkt mit der Achse

Schnittpunkt

Schnittpunkt mit der Achse

Schnittpunkt

Und wir kennen weitere Punkte des Graphen:

 Wertetabelle.

Wir haben nun genügend Punkte, um den Graphen der Parabel zu zeichnen:

Somit lautet der Graph der Parabel :

Es handelt sich um eine Streckung der Parabel . Somit scheidet die zweite Option aus, da es sich zwar um eine Streckung, aber auch um eine Verschiebung handelt. Da es sich zudem um eine Streckung handelt (der Koeffizient von ist eine Zahl zwischen 0 und 1), muss sie "weiter" sein als die Parabel . Somit ist die 1. Option richtig.

Allgemeine Vorgehensweise:

Zunächst ist festzustellen, dass der Koeffizient des quadratischen Terms positiv ist , weshalb die Parabel nach oben geöffnet ist. Der Graph hat also die Form:

 Scheitelpunkt

Anhand der uns vorliegenden Daten können wir uns ein Bild davon machen, wie der Graph unserer Parabel aussehen wird:

Schnittpunkte mit den Achsen.

Schnittpunkt mit der Achse

Schnittpunkt

Schnittpunkt mit der Achse

Schnittpunkt

 Wertetabelle.

Wir haben nun genügend Punkte, um den Graphen der Parabel zu zeichnen:

Somit lautet der Graph der Parabel :

Da es sich um einen negativen Koeffizienten handelt, der vor dem quadratischen Term steht, haben wir eine nach oben geöffnete Parabel. Die erste Option kann also ausgeschlossen werden. Andererseits gilt für und wir stellen fest, dass ein Punkt auf dem zweiten, jeoch nicht auf dem dritten Graphen ist. Also ist die 2. Option richtig.

Allgemeine Vorgehensweise:

Zunächst ist festzustellen, dass der Koeffizient des quadratischen Terms negativ ist , sodass die Parabel nach unten geöffnet ist, d. h., der Graph hat folgende Form:

 Scheitelpunkt

Anhand der uns vorliegenden Daten können wir uns ein Bild davon machen, wie der Graph unserer Parabel aussehen wird:

 Schnittpunkte mit den Achsen.

Schnittpunkt mit der Achse

Corte

Schnittpunkt mit der Achse

Schnittpunkt

 Wertetabelle.

Wir haben nun genügend Punkte, um den Graphen der Parabel zu zeichnen:

Somit lautet der Graph der Parabel :