Satz von Rolle, Lagrange und Regel von de L’Hospital – Aufgaben

1 Zunächst überprüfen wir, ob die Funktion bei stetig ist. Hierfür berechnen wir die seitlichen Grenzwerte

Da die seitlichen Grenzwerte gleich sind, gilt .

Wir berechnen . Da der Grenzwert bei mit seiner Auswertung übereinstimmt, ist die Funktion bei stetig.

2 Anschließend überprüfen wir, ob die Funktion in ableitbar ist. Dazu leiten wir die Funktion ab

Da , schließen wir daraus, dass sie bei nicht ableitbar ist. Sie ist dann auf dem Intervall nicht ableitbar und der Satz von Rolle ist nicht erfüllt.

1 Als Erstes berechnen wir die Definitionsmenge der Funktion

2 Die Funktion ist auf dem Intervall stetig und bei ableitbar, da die Intervalle in enthalten sind.

Außerdem gilt , weshalb der Satz von Rolle anwendbar ist.

1 Da es sich um ein Polynom handelt, ist die Funktion stetig und ableitbar im gesamten Bereich

2 Wir überprüfen den Satz von Bolzano auf dem Intervall . Hierzu werten wir das Intervall an den Extremwerten aus

und , Daher gilt der Satz von Bolzano und es gibt eine Nullstelle auf dem Intervall .

3 Wir überprüfen den Satz von Rolle und leiten dazu die Funktion

ab

Da die Ableitung bei keinem Wert null ist (sie ist immer positiv), widerspricht sie dem Satz von Rolle, sodass sie nur eine reelle Nullstelle hat.

1 Wir überprüfen, ob die Funktion auf dem Intervall stetig ist, was der Fall ist, da es sich um eine Polynomfunktion handelt.

2 Wir überprüfen, ob die Funktion auf dem Intervall ableitbar ist, was der Fall ist, da eine Polynomfunktion ist

3 Die Annahmen des Satzes von Lagrange sind erfüllt, weshalb es gibt, sodass

Wir erhalten die Werte . Wir nehmen , da , und stellen fest, dass .

1 Die Funktionen und sind auf dem Intervall stetig und bei ableitbar, da es sich um Polynomfunktionen handelt.

2 Es gilt, dass , weshalb der Satz von Cauchy zutrifft

3 Wir berechnen die Ableitungen der Funktionen

4 Wir setzen in die Formel des Satzes von Cauchy ein

Die Nullstellen sind

5 Wir nehmen , da

Da , lautet der gesuchte Wert

1 Für erhalten wir den unbestimmten Ausdruck

2 Wir leiten den Zähler und den Nenner ab

3 Wir wenden die Regel von de L’Hospital an

4 Wir wenden erneut die Regel von de L’Hospital auf das Element des Nenners an

5 Wir wenden erneut die Regel von de L’Hospital an

6 Somit lautet der Grenzwert

1 Für erhalten wir den unbestimmten Ausdruck

2 Wir addieren die Brüche

Für erhalten wir den unbestimmten Ausdruck

3 Wir berechnen die Ableitungen

4 Wir wenden die Regel von de L’Hospital an

Für erhalten wir den unbestimmten Ausdruck

5 Wir wenden erneut die Regel von de L’Hospital an

1 Für erhalten wir den unbestimmten Ausdruck

2 Wir berechnen die Ableitungen

3 Wir wenden die Regel von de L’Hospital an

1 Für erhalten wir den unbestimmten Ausdruck

2 Wir berechnen die Ableitungen

3 Wir wenden die Regel von de L’Hospital an

1 Für erhalten wir den unbestimmten Ausdruck

2 Wir schreiben in Sinus- und Kosinusausdrücken

Für erhalten wir den unbestimmten Ausdruck

3 Wir berechnen die Ableitungen

4 Wir wenden die Regel von de L’Hospital an

1 Wir schreiben in Sinus- und Kosinusausdrücken und wenden dann Grenzwerte an

Como el límite se simplifica en

2 Für erhalten wir den unbestimmten Ausdruck

3 Wir schreiben . Durch Anwendung des natürlichen Logarithmus und der Exponentialfunktion erhalten wir

4 Wir schreiben den Grenzwert erneut auf und wenden an, dass die Exponentialfunktion stetig ist

Nun muss nur noch berechnet werden

5 Für erhalten wir den unbestimmten Ausdruck . Wir berechnen die Ableitungen des Zählers und des Nenners

6 Wir wenden die Regel von de L’Hospital an

7 Somit lautet der gesuchte Grenzwert

1 Für erhalten wir den unbestimmten Ausdruck

2 Wir berechnen die Ableitungen

3 Wir wenden die Regel von de L’Hospital an

4 Für erhalten wir den unbestimmten Ausdruck , weshalb wir erneut die Regel von de L'Hospital anwenden

1 Für erhalten wir den unbestimmten Ausdruck

2 Wir berechnen die Ableitungen

3 Wir wenden die Regel von de L’Hospital an

4 Für erhalten wir den unbestimmten Ausdruck , weshalb wir erneut die Regel von de L'Hospital anwenden

1 Für erhalten wir den unbestimmten Ausdruck . Wir addieren die Brüche

Für erhalten wir den unbestimmten Ausdruck .

2 Wir berechnen die Ableitungen

3 Wir wenden die Regel von de L’Hospital an

4 Für erhalten wir den unbestimmten Ausdruck , weshalb wir zunächst vereinfachen und erneut die Regel von de L’Hospital anwenden

1 Für erhalten wir den unbestimmten Ausdruck

2 Wir schreiben die Grenze unter Verwendung des natürlichen Logarithmus und der Exponentialfunktion

3 Wir schreiben den Grenzwert erneut auf und wenden an, dass die Exponentialfunktion stetig ist

Jetzt muss nur noch berechnet werden

4 Für erhalten wir den unbestimmten Ausdruck . Wir berechnen die Ableitungen des Zählers und des Nenners

5 Wir wenden die Regel von de L’Hospital an

6 Somit lautet der gesuchte Grenzwert

1 Für erhalten wir den unbestimmten Ausdruck

2 Wir schreiben die Grenze unter Verwendung des natürlichen Logarithmus und der Exponentialfunktion

3 Wir schreiben den Grenzwert erneut auf und wenden an, dass die Exponentialfunktion stetig ist

Jetzt muss nur noch berechnet werden

4 Für erhalten wir den unbestimmten Ausdruck . Wir berechnen die Ableitungen des Zählers und Nenners

5 Wir wenden die Regel von de L’Hospital an

Für erhalten wir den unbestimmten Ausdruck . Wir wenden erneut die Regel von de L’Hospital an

6 Somit lautet der gesuchte Grenzwert