Ungleichungen: Aufgaben mit Lösungen

Wir lösen nun die Ungleichung. Wir dürfen nicht vergessen, dass dies dem Lösen einer Gleichung sehr ähnlich ist, nur dass wir jetzt nicht mehr nur einen Wert für unsere Variable bestimmen, sondern einen ganzen Bereich, der oft aus einem Intervall oder aus Vereinigungen oder Überschneidungen von Intervallen besteht. Unsere Ungleichung ist:

Als Erstes wenden wir das Distributivgesetz an und bestimmen danach

Dies sagt uns, dass . Die Lösungsmenge ist also das Intervall .

Wir lösen folgende Ungleichung:

Wir kümmern uns zunächst um die Brüche und bestimmen dann . Um die Brüche loszuwerden benötigen wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner. Dies ist . Wir erhalten somit

Dies sagt uns, dass . Die Lösungsmenge ist also das Intervall .

Wir lösen folgende Ungleichung:

Wir gehen genauso vor, wie im vorherigen Beispiel. Wir wenden das Distributivgesetz an und eliminieren außerdem noch die Brüche

Dies sagt uns, dass x < \frac{5}{3}[/latex]. Die Lösungsmenge ist also das Intervall [latex]\displaystyle \left( -\infty, \frac{5}{3}\right)[/latex].

Um dieses System zu lösen, müssen wir die Ungleichungen einzeln lösen. Außerdem müssen wir die Werte bestimmen, für die beide Gleichungen erfüllt.

Wir beginnen mit der ersten Ungleichung

Aus der ersten Ungleichung erhalten wir . Somit ist Teil des Intervalls . Nun lösen wir die zweite Ungleichung

. Somit ist Teil des Intervalls . Wir stellen fest, dass x beide Bedingungen erfüllen muss, also und . Man kann auch sagen, dass zur Schnittmenge der Intervalle und gehört. Die Lösungsmenge ist also

Wir lösen die Aufgabe

Dies sagt uns, dass . Das Produkt ist jedoch nur dann negativ, wenn die zu multiplizierenden Ausdrücke unterschiedliche Vorzeichen haben. Dies bedeutet, dass es zwei Hauptfälle gibt:  und sowie und .

Wir sehen uns jeden der Fälle an. Wir nehmen an, dass und somit . Außerdem haben wir und somit . Das heißt, muss die Bedingungen und erfüllen und somit zur Schnittmenge der Intvervalle und gehören. Wir stellen fest, dass die Schnittmenge leer ist; die besagten Intervalle schneiden sich nicht. Somit haben wir in diesem Fall keine Lösung.

Nun sehen wir uns den zweiten Fall an. Wir nehmen an, dass und somit . Außerdem haben wir und somit . Das heißt, muss die Bedingungen und erfüllen und somit zur Schnittmenge der Intervalle und gehören. Die Schnittmenge ist und dieses Intervall ist somit das gesuchte Intervall.

Wir lösen unsere Ungleichung

Wir beginnen mit dem Lösen der Aufgabe

Um als Produkt von Ausdrücken 1. Grades auszudrücken, müssen wir die Nullstellen bestimmen und wenden dafür die Mitternachtsformel an

Da unter der Wurzel jedoch eine negative Zahl steht, sind die Nullstellen des Polynoms komplexe Zahlen. Weil wir das Polynom also nicht als Ausdruck mit reellen Zahlen schreiben können, setzen wir zur Lösung für  eine reelle Zahl ein. Wenn die Ungleichung erfüllt ist, sind die reellen Zahlen die Lösungsmenge. Wenn die Ungleichung nicht erfüllt ist, gibt es keine Lösung. Wir setzen ein:

Da , ist die Lösungsmenge .

Die gegebene Ungleichung ist

Wir lösen

Am Ende wird durch dividiert, denn da der Ausdruck positiv ist, ist es unmöglich, dass . Somit gilt . Nun berechnen wir die Nullstellen von und schreiben unsere Ungleichung als

Wir haben . Das Produkt ist jedoch nur dann positiv, wenn die zu multiplizierenden Ausdrücke das gleiche Vorzeichen haben. Dies bedeutet, dass es zwei Hauptfälle gibt: und sowie  und .

Wir sehen uns jeden der Fälle an und beginnen mit dem ersten Fall. Wir nehmen an, dass und somit sowie und somit . Für muss also und gelten und es muss zur Schnittmenge der Intervalle und gehören. Die Schnittmenge ist und somit eine Lösung.

Nun sehen wir uns den zweiten Fall an. Wir nehmen an, dass und somit sowie und somit . Für muss also und gelten und es muss zur Schnittmenge der Intervalle und gehören. Die Schnittmenge ist und das Intervall ist somit auch eine Lösung.

Unsere endgültige Lösung ist also die Vereinigung der beiden gefundenen Einzellösungen, also .

Wir lösen

Dies sagt uns, dass . Das Produkt ist jedoch nur dann negativ, wenn die zu multiplizierenden Ausdrücke unterschiedliche Vorzeichen haben. Wir haben also zwei Hauptfälle: und sowie und .

Wir sehen uns jeden der Fälle an und beginnen mit dem ersten Fall. Wir gehen davon aus, dass wir das Polynom 2. Grades zunächst als Produkt von Ausdrücken vom Grad 1 ausdrücken müssen. Somit

Damit dies positiv ist, müssen und dasselbe Vorzeichen haben, also beide positiv oder beide negativ sein. Wenn beide negativ sind, gilt für , dass und für gilt, dass . Man kann auch sagen, dass zur Schnittmenge der Intervalle und gehört, die ist.

Nun gehen wir davon aus, dass und positiv sind. Für gilt und für gilt . Man kann auch sagen, dass zur Schnittmenge der Intervalle und gehört, die ist.

Damit erfüllt ist, muss zur Vereinigung der zwei vorher ermittelten Intervalle gehören. gehört also zu .

Da wir davon ausgehen, dass , folgt auch, dass . Wir müssen dieses Polynom also als Produkt von Ausdrücken 1. Grades schreiben

Damit dies negativ ist, müssen und unterschiedliche Vorzeichen haben. Wenn wir annehmen, dass und gilt jeweils und . Das bedeutet, dass zur Schnittmenge der Intervalle und gehört, die ist.

Nun nehmen wir an, dass und . Es muss also jeweils und gelten. Das heißt, dass zur Schnittmenge der Intervalle und gehört, die leer ist. Die einzige Möglichkeit, dass ist, dass zum Intervall gehört.

All dies zeigt uns: Damit und erfüllt ist, muss zur Schnittmenge der ermittelten Lösungsmengen und gehören, die ist.

Wir fahren mit unserer zweiten ursprünglichen Annahme fort, nämlich und . Wir nehmen an, dass und müssen dieses Polynom 2. Grades in ein Produkt von Ausdrücken vom Grad 1 umwandeln

Damit dies negativ ist, müssen und unterschiedliche Vorzeichen haben. Für und muss jeweils und gelten. Das heißt, dass zur Schnittmenge der Intervalle und gehören muss, die ist.

Nun muss für und jeweils und gelten. Das heißt, dass zur Schnittmenge der Intervalle und ghören muss, die leer ist. Die einzige Möglichkeit für ist, dass zum Intervall gehört

Außerdem haben wir und müssen dieses Polynom vom Grad 2 in ein Produkt von Ausdrücken vom Grad 1 umwandeln

Damit dies positiv ist, müssen und das gleiche Vorzeichen haben. Beide müssen also positiv oder negativ sein. Wenn beide negativ sind,  muss für gelten, dass . Für muss gelten, dass . Das heißt, dass zur Schnittmenge der Intervalle und gehören muss, die ist.

Nun nehmen wir an, dass und positiv sind. Für muss gelten, dass und für muss gelten, dass . Das heißt, dass zur Schnittmenge der Intervalle und gehören muss, die ist.

Damit also erfüllt ist, muss zur Vereinigung der beiden vorher ermittelten Intervalle gehören. Also gehört zu .

Und damit und erfüllt sind, muss zur Schnittmenge der vorher ermittelten Lösungsmengen und gehören, die leer ist.

Unsere endgültige Lösung wäre die Vereinigung der beiden Lösungen für jeden Fall. Da die letzte Lösung jedoch leer ist, ist die endgültige Lösungsmenge .

Wir lösen folgende Ungleichung:

Wir formen um

Damit der Bruch gleich null ist, muss der Zähler null sein. Also und somit .

Damit der Bruch negativ ist, müssen der Zähler und der Nenner unterschiedliche Vorzeichen haben. Zunächst nehmen wir an, dass der Zähler positiv ist und der Nenner negativ. Für bedeutet das und für bedeutet das . Also muss zur Schnittmenge der Intervalle und gehören, die ist.

Nun nehmen wir an, dass der Zähler negativ ist und der Nenner positiv. Für bedeutet das und für bedeutet das . Also muss zur Schnittmenge der Intervalle und gehören, die ist.

Aus all dem können wir ableiten, dass, damit erfüllt ist, zur Vereinigung der beiden ermittelten Intervalle und dem Punkt  gehören muss. Die Lösungsmenge ist also