Kapitel
Definition der Komponenten eines Vektors
Wir sehen uns die Punkte 
und 
sowie den Vektor 
der vom Punkt 
zum Punkt 
geht. Hierzu folgende Abbildung:
Wir definieren die Komponenten des Vektors als Koordinaten des Endpunkts minus die Koordinaten des Startpunkts 
. Das heißt:
Vektoren werden manchmal in folgender Form geschrieben
,
wobei 
die erste Komponente und 
die zweite Komponente ist. Somit
A 
und 
sind auch als kanonische Vektoren bekannt. Dies ist nur eine andere Art, einen Vektor zu schreiben.
Im Allgemeinen können die Bestandteile eines Vektors auch als Koordinaten bezeichnet werden. Dies ist jedoch in diesem Zusammenhang nicht angebracht. Der Grund dafür ist, dass die Koordinaten Zahlen sind, die es uns ermöglichen, ein Objekt in der Ebene oder im Raum zu finden, während die Komponenten des Vektors uns nicht dabei helfen, es in der Ebene zu lokalisieren.
Anwendung in Bezug auf die Kollinearität von Punkten
Wir haben die drei Punkte , und 
. Anhand von Vektoren können wir dann feststellen, ob diese Punkte kollinear sind (d. h. alle drei Punkte liegen auf derselben Geraden).
Hierbei ist zu beachten, dass zwei Vektoren parallel sind, wenn der eine das skalare Vielfache des anderen ist. Das heißt, 
. Deshalb sind , und 
kollinear, wenn
Das heißt:
Wenn wir seine Komponenten einsetzen, erhalten wir
Das heißt:
Wenn wir dann beide Gleichungen nach 
auflösen, erhalten wir
Daher sind drei Punkte kollinear, wenn gilt:
Aufgaben
Berechne die Komponenten des Vektors , dessen Anfangs- und Endpunkte die Punkte
sind
Wir wenden einfach die Formel an, die wir zu Beginn erhalten haben:
Ein Vektor hat die Komponenten 
. Ermittle die Koordinaten von , wenn du weißt, dass 
.
In diesem Fall betrachten wir beliebige Komponenten für . Das heißt . Wir wenden also die Formel an und erhalten
Daher müssen die Komponenten gleich sein, d. h:
Wenn wir nach 
und 
auflösen, erhalten wir
Somit ist 
.
Wir haben die Punkte 
, 
und 
. Sind diese Punkte kollinear?
Um herauszufinden, ob die Punkte kollinear sind, überprüfen wir einfach, ob die zuvor geprüfte Relation erfüllt ist. Zunächst prüfen wir das Verhältnis der 
-Komponenten:
und überprüfen nun das Verhältnis der 
-Komponenten :
Da die beiden Verhältnisse gleich sind, kann man also davon ausgehen, dass die Punkte kollinear sind.
Wir haben die Punkte , 
und . Sind diese Punkte kollinear?
Um herauszufinden, ob die Punkte kollinear sind, überprüfen wir ähnlich wie bei der vorherigen Aufgabe, ob die Relation, die wir zuvor geprüft haben, erfüllt ist. Zunächst sehen wir uns das Verhältnis der -Komponenten an:
Und nun das Verhältnis der -Komponenten:
In diesem Fall sind die Anteile nicht gleich, daher sind die Punkte nicht kollinear.
Ermittle den Wert von so, dass die Punkte 
, 
und 
kollinear sind.
Wenn die Punkte kollinear sind, muss gelten
Auf der linken Seite der Gleichung erhalten wir
Wenn wir die Gleichung mit 
multiplizieren, erhalten wir
Das heißt, 
.
Gegeben sind die Punkte 
und 
. Finde einen Punkt , der kollinear mit den Punkten und ist. Außerdem muss der Vektor 
-mal so lang sein wie 
. Das heißt:
Wir haben:
, weshalb die Punkte kollinear sind. Wir bezeichnen den Punkt als 
und somit
Es muss also gelten, dass
Daraus ergeben sich die folgenden Gleichungen:
Wir lösen und erhalten: 
und 
. Somit ist der Punkt
Mittelpunkt von zwei Punkten und Schwerpunkte
Wir denken daran, dass wenn wir die Punkte und haben, der Mittelpunkt dieser Punkte wie folgt berechnet wird:
Die folgende Abbildung zeigt den Mittelpunkt von und :
Außerdem heißt der Punkt 
symmetrisch zu in Bezug auf 
, wenn der Mittelpunkt der Strecke 
ist.
Wenn wir einen Punkt finden wollen, der den Geradenabschnitt so teilt, dass er
erfüllt,
wenden wir an:
Ähnlich verhält es sich bei einem Dreieck mit den Eckpunkten , und : Die Koordinaten des Schwerpunkts sind
Aufgaben
Die folgende Abbildung zeigt den Schwerpunkt eines Dreiecks:
Berechne die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke 
, wobei 
und 
.
Berechne die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke , wobei und .
Berechne:
a den Symmetriepunkt von 
in Bezug auf den Punkt 
,
b den Symmetriepunkt von 
in Bezug auf den Punkt 
.
a Wir bezeichnen den Symmetriepunkt von als . Somit ist der Mittelpunkt der Strecke 
. Wenn also die Koordinaten 
hat, dann wird wie folgt berechnet
Außerdem haben wir . Somit:
Wenn wir beide Gleichungen mit 2 multiplizieren, erhalten wir
Wenn wir also lösen, erhalten wir 
und 
. Somit ist der Symmetriepunkt 
.
b Analog dazu bezeichnen wir den Symmetriepunkt als . Also berechnen wir wie folgt
Außerdem haben wir , weshalb
Wenn wir beide Gleichungen mit 2 multiplizieren, erhalten wir
Wir lösen und erhalten 
und 
. Der Symmetriepunkt lautet somit 
.
Bestimme die Koordinaten des Schwerpunkts für:
a ein Dreieck mit den Eckpunkten 
, 
und 
,
b ein Dreieck mit den Eckpunkten 
, 
und 
.
In dieser Aufgabe brauchen wir nur die Formel für den Schwerpunkt eines Dreiecks zu verwenden. Also:
a Für den ersten Punkt gilt
b Für den zweiten Punkt gilt
Berechne die Punkte 
und 
, die die Strecke mit den Anfangs- und Endpunkten 
und 
in drei gleiche Teile teilen.
Wir stellen fest, dass wir die Punkte 
und 
bestimmen müssen
1 Um den ersten Punkt zu bestimmen, beachten wir:
,
da die Strecke des Nenners doppelt so groß ist. Wir verwenden also die Formel:
2 Für den zweiten Punkt gilt:
,
da in diesem Fall die Strecke des Zählers doppelt so groß ist. Wir verwenden also die Formel:
Somit lauten die Punkte 
und 
.
Ermittle die Koordinaten des Punkts . 
ist hierbei der Mittelpunkt von 
und gegeben ist der Punkt 
.
Wir schreiben die Koordinaten des Punkts als . Somit wird wie folgt berechnet
Außerdem haben wir . Und somit die Gleichungen
Wenn wir die Gleichungen mit 2 multiplizieren, erhalten wir
Wenn wir also lösen, erhalten wir 
und 
. Somit lautet der Punkt
Sieh dir die Strecke mit den Anfangs- und Endpunkten 
und 
an. Bestimme die Koordinaten des Punkts , der die Strecke in zwei Teile teilt. ist die Hälfte von 
.
Da die Hälfte von ist, erhalten wir
Wir wenden also die Formel an:
Somit lautet der Punkt 
.
Wenn die Strecke mit den Anfangs- und Endpunkten 
und 
in vier gleiche Teile geteilt wird, wie lauten dann die Koordinaten der jeweiligen Punkte?
Wir suchen die 3 Punkte , und 
sowie
Sieh dir hierzu folgende Abbildung an:
1 Für die Berechnung von gilt:
,
da die Strecke von nach ein Drittel der Strecke von nach beträgt. Wir wenden also die Formel an, um zu berechnen:
2 Wir stellen fest, dass der Mittelpunkt zwischen und . Wir berechnen also wie folgt:
3 Für erhalten wir schließlich
,
da die Strecke von nach dreimal so lang ist wie die Strecke von nach . Wir verwenden also die Formel, um zu berechnen:
Deshalb lauten die Punkte
Betrachten wir ein Dreieck, dessen zwei Eckpunkte und sind. Wenn der Schwerpunkt des Dreiecks der Punkt 
ist, wie lauten dann die Koordinaten des dritten Eckpunkts ?
Wir bezeichnen die Koordinaten von als . Somit wied der Schwerpunkt wie folgt berechnet
Wir haben aber auch , weshalb
Wir multiplizieren mit 3 und erhalten
Daraus folgt, dass und 
. Somit ist der Eckpunkt der Punkt
Gegeben sind die Punkte und . Finde einen Punkt , der kollinear mit den Punkten und ist, und für den gilt:
Die Formel, die wir für Mittelpunkte oder Punkte, die eine Strecke in einem bestimmten Verhältnis teilen, haben, wird immer für kollineare Punkte verwendet. Daher wenden wir diese Formel an.
Außerdem haben wir bereits das Verhältnis 
, sodass wir die Formel anwenden können:
Somit ist der Punkt
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