Kapitel
Wie wird der Mittelpunkt einer Strecke bestimmt?
Als Beispiel nehmen wir die Strecke 
mit den Endpunkten 
und 
der folgenden Abbildung:
Der Mittelpunkt ist der Punkt 
, der sich auf der Strecke befindet und bewirkt, dass die Strecke 
genauso lang ist wie die Strecke 
, das heißt
Der Mittelpunkt wird anhand folgender Formel berechnet:
Man sagt, der Punkt 
ist der Spiegelpunkt von 
an , wenn der Mittelpunkt der Strecke 
ist.
Punkte, die eine Strecke proportional teilen
Wenn wir einen Punkt ermitteln wollen, der eine Strecke so teilt, dass die Bedingung
erfüllt ist, verwenden wir
Rechenaufgaben: Koordinaten des Mittelpunkts
Bestimme die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke mit den Endpunkten:
a 
und 
,
b 
und 
.
Um den Mittelpunkt zu bestimmen, verwende einfach die Formel:
a Für den ersten Fall erhältst du
Der Mittelpunkt ist daher 
.
b Für den zweiten Fall ist der Mittelpunkt
Berechne:
a den Spiegelpunkt von 
an 
b den Spiegelpunkt von 
an 
a Wir benennen den Spiegelpunkt von mit 
. ist der Mittelpunkt der Streckees 
. Wenn die Koordinaten 
hat, berechnet sich mit
Außerdem ist . Daher ist
Wenn wir beide Gleichungen mit 2 multiplizieren, erhalten wir
Wir lösen auf und erhalten 
und 
. Der Spiegelpunkt ist also 
.
b Benenne den Spiegelpunkt wie in der vorherigen Aufgabe mit . wird wie folgt berechnet:
Außerdem ist . Daher ist
Wenn wir beide Gleichungen mit 2 multiplizieren, erhalten wir
Wir lösen auf und erhalten 
und 
. Der Spiegelpunkt ist also 
.
Berechne die Punkte 
und 
die die Strecke mit den Endpunkten 
und 
in drei gleich lange Segmente teilen.
Wir müssen die beiden Punkte 
und 
so definieren, dass
a Um den ersten Punkt zu finden, muss
sein,
da das Segment, das im Nenner steht, die doppelte Länge haben muss. Wende nun die Formel an:
b Um den zweiten Punkt zu finden, gehen wir ähnlich vor:
,
da in diesem Fall das Segment des Zählers doppelt so lang ist. Wende nun die Formel an:
Die Punkte sind also 
und 
.
Ermittle die Koordinaten des Punktes 
. 
ist dabei der Mittelpunkt von 
und 
.
Notiere die Koordinaten des Punktes als 
. erhält man dann wie folgt:
Außerdem ist . Daher erhalten wir zwei Gleichungen
Wenn wir beide Gleichungen mit 2 multiplizieren, erhalten wir
Wir lösen auf und erhalten 
y 
. Der gesuchte Punkt ist also
Gegeben sei die Strecke mit den Endpunkten 
und 
Bestimme die Koordinaten des Punktes , der die Strecke so in zwei Segmente teilt, dass halb so lang wie 
ist.
Da halb so lang wie sein muss, erhalten wir
Verwende die Formel:
Der gesuchte Punkt ist also 
.
Die Strecke mit den Endpunkten 
und 
wird in vier gleich lange Teile geteilt. Welche Koordinaten haben die Punkte, die sie teilen?
Wir suchen die Punkte , und 
, für die
wie in der folgenden Abbildung gezeigt wird:
a Um zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:
,
da die Strecke von zu ein Drittel der Länge der Strecke von zu misst. Um zu berechnen, verwenden wir also folgende Formel:
b Wir sehen, dass der Mittelpunkt zwischen und ist, daher wird er wie folgt berechnet:/p>
c Zuletzt erhalten wir für
,
da die Strecke von nach drei mal so lang sein muss wie die Strecke von nach . Anhand der Formel erhalten wir für :
Die gesuchten Punkte sind also
Gegeben seien die Punkte 
und 
. Bestimme den Punkt , der kolinear zu und ist und folgendes erfüllt:
Für die Berechnung von kolinearen Punkten wird immer die Formel zur Berechnung der Mittelpunkte oder der Punkte, die eine Strecke teilen, verwendet:
Die Beziehung 
der Punkte zueinander steht auch bereits fest, daher können wir die Formel verwenden:
Der gesuchte Punkt ist also
Du findest diesen Artikel toll? Vergib eine Note!
Loading...
