Ein System zu untersuchen bedeutet, festzustellen, ob es eine Lösung gibt, und falls ja, herauszufinden, ob diese Lösung eindeutig ist. Das heißt, festzustellen, ob es lösbar oder unlösbar ist, und falls es lösbar ist, ob es eindeutig lösbar ist oder nicht.
Ein System ist lösbar, wenn es eine Lösung hat, sei es eine einzige oder unendlich viele Lösungen; umgekehrt ist es unlösbar, wenn es keine Lösung hat.
Wenn das System eine einzige Lösung hat, handelt es sich um ein eindeutig lösbares System; hat es hingegen unendlich viele Lösungen, wird es als nicht lösbar bezeichnet.
Beispiel
Untersuche, ob es einen Wert von 
gibt, für den das System lösbar ist. Ist dies der Fall, löse das System für diesen Wert von .
Zunächst bestimmen wir die Koeffizienten der einzelnen Terme und erstellen die erweiterte Matrix.
Wir denken daran, dass alle Koeffizienten in jeder Spalte zur gleichen Unbekannten gehören müssen. Die Zahlen in der letzten Spalte müssen die unabhängigen Terme sein, die durch einen Strich voneinander getrennt sind.
Anschließend müssen wir die Matrix vereinfachen, bis wir eine Matrix in Stufenform erhalten. Dies erreichen wir, indem wir Zeilen addieren und subtrahieren oder Spalten vertauschen.
Wir benennen die Zeilen und Spalten mit jeweils 
und 
, wir addieren und subtrahieren die Zeilen, bis wir eine Matrix in Stufenform erhalten, und bestimmen den Wert von .
Wir schreiben die letzte Zeile als Gleichung, die 
darstellt. Daraus folgt, dass das System für 
unlösbar ist, da der Nenner des Bruchs 0 wird, und dass das System daher für 
eindeutig lösbar ist.
Daraus erhalten wir
Und somit wird das System durch den Wert bestimmt, den annimmt:
Mit KI zusammenfassen:
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