Aufgaben zum Skalarprodukt

Als Erstes setzen wir die Werte von , in die Linearkombination ein und erhalten:
Nun multiplizieren wir mit dem Skalar:

Wir müssen also die Summe der Vektoren bilden, um das Problem zu lösen:

Um herauszufinden, ob es möglich ist, den Vektor als Linearkombination der Vektoren , auszudrücken, müssen wir Skalare , finden, so dass:
Wenn wir die Werte von einsetzen, erhalten wir:

Dies ist gleichbedeutend mit dem Lösen des Gleichungssystems;

Um dies zu lösen, nehmen wir die erste Gleichung und lösen nach auf. Wir erhalten:

Nun setzen wir den Wert von in die 2. Gleichung ein und erhalten:

Daraus folgt: .

Wir konnten die Skalare , ermitteln, so dass:

Der Vektor kann also als Linerarkombination der Vektoren , ausgedrückt werden.

Da wir nach einer Basis für die -Ebene suchen, wissen wir, dass zwei Vektoren eine Basis bilden, wenn sie nicht linear abhängig sind. Und wir wissen wiederum, dass zwei Vektoren linear abhängig sind, wenn einer ein skalares Vielfaches des anderen ist. Das heißt, es genügt zu prüfen, ob in einem Paar von Vektoren keiner von ihnen ein Vielfaches des anderen ist, damit sie eine Basis bilden.

Bei zwei Vektoren sagen wir, dass einer ein Vielfaches des anderen ist, wenn

Wir nehmen also die Vektoren und . Wir stellen fest:

und bilden daher eine Basis für die Ebene.

Nun nehmen wir die Vektoren und . Wir stellen fest:

und bilden daher keine Basis für die Ebene.

Zuletzt nehmen wir die Vektoren und und stellen fest:

y bilden daher eine Basis für die Ebene.

Die Formel für die Bestimmung eines Einheitsvektors mit der gleichen Richtung wie ein Vektor ist gegeben durch:
Dabei stellt die Norm des Vektors dar.

Wir setzen die gegebenen Werte ein und erhalten:

Wir setzen die jeweiligen Werte von in den Ausdruck ein. So erhalten wir schließlich:

Wenn wir also das des letzten Ausdrucks ermitteln, erhalten wir:

a Wenn wir möchten, dass die Vektoren senkrecht zueinander stehen, müssen wir einen Wert für wählen, der:
Setzt man die Werte der beiden Vektoren in die letztgenannte Gleichung ein und führt die entsprechenden Rechenschritte durch, erhält man:

Wenn wir also berechnen, erhalten wir:

b Die Forderung, dass zwei Vektoren parallel sein sollen, ist gleichbedeutend mit der Forderung, dass einer der Vektoren ein skalares Vielfaches des anderen sein soll. Also müssen wir einen Wert für wählen, für den gilt, dass:
Diesen können wir leicht erhalten, indem wir aus diesem letzten Ausdruck ermitteln. Wir erhalten:

c  Der Winkel, der von zwei Vektoren und gebildet wird, ist durch folgenden Ausdruck gegeben:
Dabei steht für die Norm des Vektors (ähnlich für ) und ist der Winkel zwischen den Vektoren. Wenn wir also einen Winkel zwischen den Vektoren suchen, der ist, bedeutet dies, dass:

Wir setzen den Wert von und in diesen letzten Ausdruck ein und erhalten:

Nun müssen wir nur noch die allgemeine Formel für quadratische Gleichungen anwendne und erhalten so die Lösungen des letzten Ausdrucks:

a Wenn der Winkel zwischen den Vektoren beträgt, sind die Vektoren zueinander senkrecht. Daher muss der Wert von wie folgt sein:
Wenn wir die Werte der beiden Vektoren in diese letzte Gleichung einsetzen und die entsprechenden Schritte durchführen, erhalten wir:

Wenn wir also nach auflösen, erhalten wir:

b Wenn der Winkel zwischen zwei Vektoren ist, bedeutet dies, dass die Vektoren parallel sind. Dies entspricht der Forderung, dass einer der Vektoren ein skalares Vielfaches des anderen Vektors sein muss, so dass wir einen Wert für finden müssen, der:
Diesen erhalten wir ganz einfach, indem wir diesen letzten Ausdruck nach auflösen. Wir erhalten:

c Der Winkel, den die zwei Vektoren und bilden, ist durch folgenden Ausdruck gegeben:
Dabei steht für die Norm des Vektors (ähnlich für ), und ist der Winkel zwischen den Vektoren. Wenn der Winkel zwischen den Vektoren sein soll, bedeutet das:

Wir setzen den Wert von und in diesen letzten Ausdruck ein und erhalten:

Jetzt müssen wir nur noch die allgemeine Formel für quadratische Gleichungen anwenden, um die Lösungen des letzten Ausdrucks zu finden. Diese sind:

Wenn zwei Vektoren und orthogonal sind, gilt: . Damit dies zutrifft, muss ein Wert für gesucht werden. Dazu setzen wir die Werte der Vektoren ein und führen die entsprechenden Rechenoperationen durch.

Der Winkel, den die zwei Vektoren und bilden, ist durch folgenden Ausdruck gegeben:
Dabei stellt die Norm des Vektors (ähnlich für ) dar und ist der Winkel zwischen den Vektoren. In diesem Fall können wir die Segmente, die die Punkte des Dreiecks verbinden, wie folgt als Vektoren betrachten:


Zunächst ermitteln wir den Winkel , der zwischen den Vektoren und liegt, mit der anfangs genannten Formel:

Nun bestimmen wir den Winkel , der zwischen den Vektoren und liegt, mit der anfangs genannten Formel:

Da eine gerade Funktion ist, gilt . Wir erhalten somit:

Um den Wert des letzten Winkels zu ermitteln, können wir dasselbe Verfahren wie bei den vorherigen Winkeln anwenden, aber wir nutzen die Tatsache, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks gleich ist. Somit:

Die Abbildung des Vektors auf den Vektor ist durch folgende Formel gegeben: ,
wobei die Norm des Vektors ist. Wir setzen also die Werte der Vektoren und in diese Formel ein und erhalten:

Als Erstes berechnen wir die Elemente der Vektoren und :

Nun ist die Abbildung des Vektors auf den Vektor durch die folgende Formel gegeben:
Wenn wir also die Werte der Aufgabenvektoren einsetzen, erhalten wir:

Als Erstes müssen wir den Mittelpunkt der Seiten und finden, den wir mit der folgenden Formel berechnen können:
Der Mittelpunkt der Seite ist also:
und der Mittelpunkt der Seite ist:
Somit ist das Segment, dass die Mittelpunkte dieser Seiten verbindet . Nun ist das Segment parallel zur Seite , wenn die Elemente proportional sind (das eine ist ein Vielfaches des anderen).

Bei den Vektoren ist einer ein Vielfaches des anderen, wenn

Wenn wir letzteres nutzen, können wir herausfinden, ob die Vektoren , parallell sind. Also setzen wir ihre Elemente in diesen Ausdruck ein und erhalten:

Das Segment ist also tatsächlich parallel zur Seite .

Da die Vektoren eine Orthonormalbasis bilden, bedeutet dies, dass die Norm jedes Vektors gleich ist.
Wir wissen nun, dass der Winkel zwischen zwei Vektoren gegeben ist durch:
Wir können diesen Ausdruck also wie folgt umschreiben:
Mit dem letzten Ausdruck erhalten wir:

a

Da wir das Punktprodukt zweier gleicher Vektoren berechnen, ist der Winkel zwischen ihnen und ihre Norm ist , da es sich um Vektoren handelt, die zur Orthonormalbasis gehören. Somit:

b

Da wir das Punktprodukt zwischen zwei Vektoren berechnen, die zur Orthonormalbasis gehören, bedeutet dies, dass der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist und die Norm ist. Somit:

c

Da wir das Punktprodukt zweier Vektoren berechnen, die zur Orthonormalbasis gehören, bedeutet dies, dass der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist und seine Norm ist. Somit:

4

Da wir das Punktprodukt zwischen zwei Vektoren berechnen, die zur Orthonormalbasis gehören, bedeutet dies, dass der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist und seine Norm ist. Somit: