Gegeben sind die Vektoren 
, 
und 
. Berechne:
a
b
c
und 
d
e
und 
a
Bevor wir die Aufgabe lösen, sehen wir uns Folgendes zur Erinnerung an:
Wenn wir den Vektor 
und den Vektor 
haben, lautet das Skalarprodukt:
und so können wir also die Aufgabe bearbeiten.
b
Unter Verwendung der gleichen Systematik definieren wir das Vektorprodukt wie folgt:
wobei
was es uns ermöglicht, die gewünschten Aufgaben zu lösen.
c y
Sobald wir uns über die Definitionen von Skalar- und Vektorprodukt im Klaren sind, können wir sie kombinieren. Vergiss nicht, dass ein Skalarprodukt eine Zahl und ein Vektorprodukt einen Vektor erzeugt. Daher ist die Reihenfolge, in der die Produkte gebildet werden, wichtig, daher die Klammern. Das Endprodukt ist das Volumen des durch die Vektoren erzeugten Parallelogramms, und da die Vektoren gleich sind, ist das Volumen in beiden Fällen dasselbe.
4
Erinnern wir uns noch einmal an die Definition des Betrags eines Vektors, indem wir die ursprüngliche Systematik anwenden
mit der Formel können wir nun berechnen
d y
Mit all diesen Informationen ist es nun möglich, den Kosinus des zwischen den Vektoren gebildeten Winkels zu berechnen.
aDie Beträge von 
und 
bDas Vektorprodukt von und
cEinen orthogonalen Einheitsvektor zu und
dDie Fläche des Parallelogramms, dessen Seiten die Vektoren und sind
aDie Beträge von und
bDas Vektorprodukt von und
cEinen orthogonalen Einheitsvektor zu und
Bei der Berechnung des Vektorprodukts zweier Vektoren wird ein zu beiden Vektoren orthogonaler Vektor erzeugt
wir benötigen den orthogonalen Vektor; er muss nur noch zum Einheitsvektor werden. Wir berechnen also zunächst seinen Betrag
er wird nun zum Einheitsvektor
dDie Fläche des Parallelogramms, dessen Seiten die Vektoren und sind
Die Fläche des Parallelogramms wird mit dem Betrag des Vektorprodukts der Vektoren, die es bilden, berechnet
Berechne den Winkel, den die Vektoren 
und 
bilden.
sei der Winkel zwischen den Vektoren.
Wir berechnen nun den Kosinus dieses Winkels.
Wir wenden nun die Umkehrung des Kosinus auf den berechneten Wert an, um den Wert des Winkels zwischen den Vektoren zu ermitteln
Berechne die Richtungskosinus des Vektors 
.
Die Richtungskosinuns werden zur Bestimmung des Winkels verwendet, der zwischen jeder Achse und dem jeweiligen Vektor entsteht, d. h. sie dienen als Hilfsmittel zur Lokalisierung eines Punktes
Gegeben sind die Vektoren 
und 
. Berechne das Produkt 
und überprüfe, dass dieser Vektor orthogonal zu und ist. Berechne den Vektor 
und überprüfe ihn mit .
Zunächst das Vektorprodukt
Damit zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen, muss ihr Skalarprodukt gleich 0 sein
'Wir prüfen:
nun mit dem anderen Vektor
Wir stellen fest, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht zueinander sind.
Nun berechnen wir das folgende Vektorprodukt, wobei zu beachten ist, dass die Vektoren nun unterschiedliche Ordnungen haben
So kommt man zu einem Beispiel für eine der wichtigsten Eigenschaften des Vektorprodukts – die Antikommutativität
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