Kapitel
Definition des Punktprodukts
Das Punktprodukt oder Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine mathematische Verknüpfung, deren Ergebnis eine reelle Zahl ist. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diese Verknüpfung zu definieren. Eine davon ist die Multiplikation des Produkts der Beträge der Vektoren mit dem Kosinus des Winkels, den sie bilden, d. h.
Die gebräuchlichste Art, das Punktprodukt zu definieren, ist jedoch nicht diese, sondern die Summe der Produkte ihrer jeweiligen Koordinaten, d. h, wenn 
und 
, können wir das Punktprodukt wie folgt definieren
Beispiel
Bestimme das Punktprodukt der zwei Vektoren mit den folgenden Koordinaten:
Wir wenden die Definition an und erhalten
Eigenschaften des Punktprodukts
Für das Punktprodukt gelten die folgenden Regeln:
1 Kommutativgesetz.
2 Assoziativgesetz in Verbindung mit reellen Zahlen.
3 Distributivgesetz.
4 Wenn 
, gilt
Betrag eines Vektors in Bezug auf das Punktprodukt
Wir können den Betrag eines Vektors durch das Punktprodukt ausdrücken, indem wir beachten, dass
Einfach ausgedrückt ist der Betrag eines Vektors die Wurzel aus dem Punktprodukt des Vektors mit sich selbst.
Beispiel
Wir berechnen den Betrag des folgenden Vektors
Wir wenden die vorher genannte Regel an und erhalten
Winkel zwischen zwei Vektoren in Bezug auf das Punktprodukt
Wir können den Winkel zwischen zwei Vektoren als ihr Punktprodukt definieren. Zunächst beachten wir, dass der Kosinus des Winkels, den die zwei Vektoren 
und 
bilden, gegeben ist durch
Sobald wir den Kosinus haben, können wir den Winkel berechnen, indem wir einfach die trigonometrische Umkehrfunktion Arkuskosinus anwenden, also
Beispiel
Wir berechnen den Winkel, den die Vektoren bilden
Mit der vorhergehenden Formel erhalten wir
Orthogonale Vektoren
Zwei Vektoren und sind zueinander orthogonal, wenn ihr Punktprodukt null (gleich 
) ist. Wenn also gilt, dass
Es ist also zu beachten, dass die Orthogonalität durch das Punktprodukt definiert ist.
Beispiel
Beweise, dass die Vektoren
zueinander orthogonal sind.
Wir berechnen das Punktprodukt der Vektoren
Da das Punktprodukt ist, sind die Vektoren zueinander orthogonal.
Geometrische Interpretation des Punktprodukts
Das Punktprodukt zweier Vektoren, die nicht null sind (außer dem Nullvektor), ist gleich dem Betrag des einen Vektors mal dem Betrag der Projektion des anderen Vektors auf ihn. Wir sehen uns folgende Abbildung an
Wir stellen fest, dass 
, 
und 
die Projektion von auf ist. Somit gilt:
Wie wir jedoch bereits gesehen haben, ist der Kosinus ebenfalls gegeben durch
Wir setzen gleich und erhalten
Wie gegeben, wird die skalare Projektion von auf mit der folgenden Formel berechnet
Es ist klar, dass wir einen Einheitsvektor mit der Richtung erhalten und ihm dann eine Länge gleich 
zuweisen.
Aufgaben
Die folgenden Übungsaufgaben dienen dazu, das Punktprodukt und seine Eigenschaften besser zu verstehen.
Gegeben sind die Vektoren
Berechne ihre Beträge.
Wir berechnen die Beträge
Gegeben sind die Vektoren
Berechne das Skalarprodukt.
Wir berechnen das Skalarprodukt
Gegeben sind die Vektoren
Berechne den Winkel, den sie bilden.
Wir wenden die uns bereits bekannte Formel an und nutzen den Arkuskosinus
Gegeben sind die Vektoren
Bestimme den Wert für 
, sodass die Vektoren zueinander orthogonal sind.
Damit zwei Vektoren zueinander orthogonal sind, muss ihr Punktprodukt gleich null sein, also
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