Definition und Eigenschaften des Schwerpunkts
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. In der folgenden Abbildung ist der Schwerpunkt eines Dreiecks zu sehen:
Die Koordinaten des Schwerpunkts des Dreiecks mit den Eckpunkten 
, 
und 
sind
Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks sind die Geraden, die den Mittelpunkt einer Seite mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt verbinden. In der folgenden Abbildung ist also der Punkt 
der Mittelpunkt zwischen 
und 
(und etwas Ähnliches passiert mit den Punkten 
und 
).
Nun sehen wir uns ein Dreieck im Raum an, dessen Koordinaten 
, 
und 
sind. In diesem Fall sind die Koordinaten des Schwerpunkts
In der Geometrie werden die Begriffe Baryzentrum, Schwerpunkt und Zentroid synonym verwendet. In der Physik hängt der Begriff des Schwerpunkts jedoch von der Dichte des Objekts ab und unterscheidet sich vom Baryzentrum.
Wenn ein Objekt 
aus den Punkten 
, 
, 
, 
gebildet wird, lauten die Koordinaten des Schwerpunkts
Beispiele
Ermittle die Koordinaten des Schwerpunkts für:
a ein Dreieck mit den Eckpunkten 
, 
und 
,
b ein Dreieck mit den Eckpunkten 
, 
und 
.
In dieser Aufgabe brauchen wir nur die Formel für den Schwerpunkt eines Dreiecks anzuwenden. Somit:
a Für den ersten Fall haben wir
b Und für den zweiten Fall
Wir betrachten ein Dreieck, bei dem zwei seiner Eckpunkte 
und 
sind. Wenn der Schwerpunkt des Dreiecks 
ist, wie lauten dann die Koordinaten des dritten Eckpunkts ?
Wir bezeichnen die Koordinaten von als 
. Dann wird der Schwerpunkt wie folgt berechnet
Wir haben allerdings auch , weshalb
Wir multiplizieren mit 3 und erhalten
Daraus folgt, dass 
und 
. Somit ist der Eckpunkt
, 
und 
sind die Eckpunkte eines Dreiecks im Raum. Ermittle die Koordinaten des Schwerpunkts.
Wir verwenden einfach die Formel für die Koordinaten des Schwerpunkts:
4 Gegeben ist das Dreieck mit den Eckpunkten 
, 
und 
. Bestimme:
a Die Gleichungen der Seitenhalbierenden des Dreiecks
b Die Koordinaten des Schwerpunkts des Dreiecks
c Die Koordinaten des Schwerpunkts des Dreiecks, dessen Eckpunkte die Mittelpunkte der Seiten des Dreiecks 
sind.
Sieh dir folgende Abbildung an:
a Der erste Schritt besteht darin, die Koordinaten der Punkte , und zu berechnen. Man beachte, dass der Mittelpunkt von 
und ist. Das heißt
Analog dazu ist der Mittelpunkt von und
Der Punkt ist der Mittelpunkt von und
Wir haben also bereits die Mittelpunkte und können die Gleichungen der Geraden berechnen. Da wir Geraden im Raum haben, ist die Gleichung der Geraden die Gleichung in Parameterform. Wenn und zwei Punkte im Raum sind, dann lautet die Gleichung der Geraden durch und
Somit ist die Seitenhalbierende, die durch und
Das heißt
Die Seitenhalbierende, die durch und verläuft, ist
Das heißt
Und schließlich ist die Seitenhalbierende, die durch und verläuft
Das heißt
b Um die Koordinaten des Schwerpunkts zu berechnen, haben wir zwei Möglichkeiten: den Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden zu finden oder die Formel zu verwenden, die wir bereits kennen. Da es einfacher ist, die Formel zu verwenden, tun wir genau das:
c Nun berechnen wir den Schwerpunkt des Dreiecks 
. Wir verwenden die gleiche Formel
Wir stellen fest, dass beide Dreiecke den gleichen Schwerpunkt haben.
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