Kapitel
Was ist die Lösung einer Ungleichung?
Die Lösung einer Ungleichung ist die Menge der Werte der Variablen, die die Ungleichung ergibt. Die Menge der Lösungen bildet einen geometrischen Bereich auf der Zahlengeraden, wenn die Ungleichung eine Variable hat, oder auf der Ebene, wenn sie zwei Variablen hat.
Beispiel:
- Die Ungleichung
- erzeugt den folgenden Bereich in der Ebene.
Ungleichungssystem
Die Lösung eines Ungleichungssystems ist die Schnittmenge der Bereiche, die der Lösung der einzelnen Ungleichungen entsprechen.
Ein Ungleichungssystem wird als linear bezeichnet, wenn auf beiden Seiten jeder Ungleichung eine Gleichung ersten Grades steht.
Beispiele für lineare Ungleichungssysteme mit zwei Unbekannten
Löse das System:
Stelle den Lösungsbereich der ersten Ungleichung dar
1 Verwandle Ungleichheit in Gleichheit.
2 Gebe einer der beiden Variablen zwei Werte, sodass Du zwei Punkte erhältst
3 Wenn Du diese Punkte darstellst und verbindest, erhältst Du eine Gerade
Nimm zuletzt nun einen Punkt, zum Beispiel (0, 0), und setze ihn in die Ungleichung ein. Wenn dies zutrifft, ist die Lösung die Halbebene, auf der sich der Punkt befindet, andernfalls ist die Lösung die andere Halbebene
Wenn die Ungleichung erfüllt ist
Da sie erfüllt ist, ist die Lösung die Halbebene, in der sich (0, 0) befindet, einschließlich der Geraden
Stelle den Lösungsbereich der zweiten Ungleichung dar
1 Verwandle Ungleichheit in Gleichheit.
2 Gebe einer der beiden Variablen zwei Werte und Du erhältst zwei Punkte
3 Nimm wieder einen Punkt, zum Beispiel (0, 0), und setze ihn in die Ungleichung ein.
Die Ungleichheit ist nicht erfüllt
Da dies nicht erfüllt ist, ist die Lösung die Halbebene, in der (0, 0) nicht gefunden wird, einschließlich der Geraden
Die Lösung ist der Schnittpunkt der Lösungsmengen.
Beispiele für lineare Ungleichungssysteme mit einer unbekannten Variablen
Jede Ungleichung wird separat gelöst. Die Lösungsmenge des Systems ist die Schnittmenge der Lösungsmengen der beiden Ungleichungen.
1
Löse die erste Ungleichung
Löse die zweite Ungleichung
Betrachte die Schnittmenge der Lösungen
Das Lösungsintervall ist (−1, 3)
2
Löse die erste Ungleichung
Löse die zweite Ungleichung
Betrachte die Schnittmenge der Lösungen
Der Bereich der Lösungen ist (3, ∞)
3
Löse die erste Ungleichung
Löse die zweite Ungleichung
Betrachte die Schnittmenge der Lösungen
Es gibt keine Lösung.
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