Wenn 
und 
die Mittelpunkte der Seiten eines Dreiecks sind, wie lauten dann die Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks?
1 Wir zeichnen die Mittelpunkte und die Eckpunkte 
des Dreiecks ein
2 Aus der Mittelpunktsformel ergibt sich für die erste Koordinate
Wir subtrahieren die 2. Gleichung von der 1. Gleichung und das Ergebnis subtrahieren wir von der 3. Gleichung. Wir erhalten
Somit ist 
und 
3 Aus der Mittelpunktsformel ergibt sich für die zweite Koordinate
Wir subtrahieren die 2. Gleichung von der 1. Gleichung und subtrahieren das Ergebnis von der 3. Gleichung. Wir erhalten
Somit ist 
und 
4 Die Eckpunkte lauten also: 
Beweise, dass die Punkte 
und 
zu einem Kreis mit dem Mittelpunkt 
gehören.
1 Die Punkte eines Kreises sind gleich weit vom Mittelpunkt entfernt. Überprüfe also, ob die Abstände zwischen den Punkten und dem Mittelpunkt gleich groß sind.
2 Wir berechnen die Abstände:
Damit ist sichergestellt, dass die vier Punkte zu einem Kreis mit dem Mittelpunkt gehören
Klassifiziere das durch folgende Punkte bestimmte Dreieck: 
.
1 Wir zeichnen die Punkte ein
2 Wir berechnen die Abstände der Seiten
Dadurch wird sichergestellt, dass das Dreieck gleichschenklig ist.
3 Wir klassifizieren nach den Winkeln:
Wenn 
, ist es spitzwinklig.
Wenn 
, ist es rechtwinklig.
Wenn 
, ist es stumpfwinklig.
Da 
, ist das Dreieck stumpfwinklig.
Normiere folgende Vektoren: 
.
1 Um einen Vektor zu normieren, müssen wir jede Koordinate des Vektors durch die Länge des Vektors teilen.
2 Wir berechnen die Längen der Vektoren
3 Wir normieren die Vektoren
.
.
.
Bestimme 
, wenn der Winkel, den 
mit 
bildet: a) 
, b) 
, c) 
beträgt
1 Für den Winkel von muss 
sein. Wir setzen die Werte der Vektoren ein und lösen nach auf
2 Für den Winkel von muss 
sein. Wir setzen die Werte der Koordinaten der Vektoren ein und lösen nach auf.
3 Für den Winkel von muss 
sein. Wir setzen die Koordinatenwerte der Vektoren in die Gleichung für den von zwei Geraden gebildeten Winkel ein und lösen nach auf
Wir quadrieren beide Seiten
Die gesuchten Werte sind also 
und 
Wir berechnen die Abbildung des Vektors 
auf den Vektor 
, wobei 
.
1 Wir stellen grafisch dar
2 Um die Abbdildung zu berechnen, wenden wir 
an. Wir setzen die Werte der Koordinaten der Vektoren ein und lösen
Überprüfe, ob das Segment, dass die Mittelpunkte der Seiten 
und 
des Dreiecks verbindet, folgende Eigenschaft erfüllt: 
ist parallel zur Seite 
und gleich zu seiner Mitte.
1 Wir stellen grafisch dar
2 Wir berechnen den Vektor 
3 Wir berechnen die Mittelpunkte von und
4 Wir berechnen den Vektor 
5 Zwei Vektoren sind parallel, wenn der Winkel, den sie bilden, beträgt
Somit sind die Vektoren parallel.
6 Wir berechnen die Längen der Vektoren und
Somit ist die Länge von die Hälfte von
Berechne die Winkel des Dreiecks mit den Eckpunkten: .
1 Wir stellen grafisch dar
2 Wir berechnen die Vektoren 
3 Wir berechnen den Winkel 
, den die Vektoren 
bilden
4 Wir berechnen den Winkel 
, den die Winkel 
bilden
5 Wir berechnen den Winkel 
Gegeben sind die Vektoren 
, die eine Basis bilden. Drücke auf dieser Basis den Vektor 
aus.
1 Wir schreiben 
als Linearkombination von 
und 
2 Wir setzen die Vektoren ein und berechnen
3 Wir erhalten ein Gleichungssystem
Wir multiplizieren die 1. Gleichung mit 4 und subtrahieren davon die 2. Gleichung. Wir erhalten
Wir setzen den erhaltenen Wert in eine der beiden Gleichungen ein und erhalten 
4 Die gesuchte Linearkombination ist
Berechne den Wert für 
, sodass die Vektoren 
und 
einen Winkel von bilden.
1 Für den Winkel von muss sein. Wir setzen die Werte der Koordinaten der Vektoren in die Gleichung für den Winkel zwischen zwei Geraden ein und lösen nach auf.
2 Wir quadrieren beide Seiten
Somit sind die gesuchten Werte 
und 
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