Bestimme den Spiegelpunkt von 
in Bezug auf 
.
1 Wir berechnen den Spiegelpunkt 
. Hierfür gilt 
2 Wir setzen die Koordinaten gleich und bestimmen die Variablen 
Für die erste Koordinate gilt
Für die zweite Koordinate gilt
3 Der Spiegelpunkt
hat die Koordinaten
Gegeben sind die Eckpunkte 
eines Dreiecks und der Schwerpunkt 
. Berechne den dritten Eckpunkt.
1 Die Formel für den Schwerpunkt eines Dreiecks mit den Eckpunkten 
lautet
2 Wir berechnen den Schwerpunkt mithilfe des dritten Eckpunktes 
. Hierzu setzen wir in die vorhergehende Formel ein
3 Wir setzen die Koordinaten gleich und lösen nach den Variablen auf
Für die erste Koordinate gilt
Für die zweite Koordinate gilt
4 Der dritte Eckpunkt lautet
Gegeben sind die Punkte 
und 
. Bestimme einen Punkt 
anhand der Punkte 
und 
, sodass wir 
erhalten
1 Da , setzen wir die Werte für 
und 
ein und erhalten
2 Wir setzen die Koordinaten gleich und lösen nach den Variablen auf
Für die erste Koordinate gilt
Für die zweite Koordinate gilt
3 Der gesuchte Punkt ist 
Berechne die Koordinaten von 
für das Viereck mit den Eckpunkten: 
und bilden ein Parallelogramm.
1 Um die Koordinaten von 
zu bestimmen, nutzen wir die Tatsache, dass es sich um die gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms handelt. Seine Vektoren sind daher
2 Wir setzen ein und erhalten
3 Wir setzen die Koordinaten gleich und lösen nach den Variablen auf
Für die erste Koordinate gilt
Für die zweite Koordinate gilt
4 Der gesuchte Punkt ist 
bilden eine Orthonormalbasis. Berechne:
a 
b
c
d 
1 Da 
zueienander orthonormal sind, stehen sie senkrecht aufeinander. Sie bilden deshalb einen Winkel von 
und ihre Länge ist 1. Somit gilt 
2 Um die gewünschten Produkte zu bestimmen, wenden wir die Formel an
entspricht dem Winkel zwischen 
und 
3 Wir setzen in die Formel ein und verwenden den entsprechenden Wert 
, wenn die Vektoren gleich sind und , wenn sie unterschiedlich sind
a 
b 
c 
d 
Gegeben sind die Vektoren 
. Berechne 
so, dass die Vektoren 
folgende Eigenschaften besitzen:
a Sie stehen senkrecht zueinander.
b Sie sind parallel.
c Sie bilden einen 
-Winkel.
a Senkrecht: Zwei Vektoren stehen zueinander senkrecht, wenn ihr Produkt null ist
Wir multiplizieren aus und bestimmen die Variable 
b Parallel: Zwei Vektoren sind parallel, wenn ihre Elemente proportional sind. Das heißt,
Wir setzen gleich und bestimmen die Variable
c Sie bilden einen -Winkel: Wir setzen die Werte in die Formel ein
mit 
Wir quadrieren beide Seiten und vereinfachen
Wir lösen mithilfe der Formel zur Bestimmung der Nullstellen der quadratischen Gleichung
Die Nullstellen der quadratischen Gleichung sind 
. Allerdings erfüllt nur 
die Gleichung und ist somit der gesuchte Wert für .
Berechne den Wert für . 
und 
sind dabei bekannt.
1Wir berechnen das Produkt der Vektoren
2Wir setzen das Ergebnis gleich 
und lösen nach auf
Gegeben ist die Orthonormalbasis 
der Ebene. Berechne den Wert für so, dass die Vektoren 
und 
zueinander orthogonal sind.
1Da die Basis orthonormal ist, gilt
2Wir berechnen das Skalarprodukt aus 
und 
3 Zwei Vektoren sind zueinander orthogonal, wenn ihr Produkt null ist. Wir setzen ein und bestimmen
Berechne die Projektion des Vektors 
auf den Vektor 
.
1Die Formel der Projektion des Vektors auf den Vektor ist gegeben durch
2Wir berechnen das Produkt der Vektoren
3Wir berechnen die Länge des Vektors
4Wir setzen die Werte in die Formel der Projektion ein
Bestimme einen Einheitsvektor 
, der in dieselbe Richtung zeigt wie der Vektor 
.
1Die Formel eines Einheitsvektors ist gegeben durch
2Wir berechnen die Länge des Vektors
3Wir setzen in die Formel des Einheitsvektors ein
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