Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren
Der Winkel, den zwei Vektoren 
und 
bilden, ist durch folgenden Ausdruck gegeben:
Der Ausdruck in Abhängigkeit der Koordinaten lautet
Beispiel: Bestimme den Winkel zwischen den Vektoren 
und 
1Um die Formel zur Bestimmung des Winkels zwischen zwei Vektoren anzuwenden, berechnen wir zunächst das Produkt der beiden Vektoren
2Wir berechnen den Betrag des ersten Vektors
3Wir berechnen den Betrag des zweiten Vektors
4Wir setzen die erhaltenen Werte in die Formel für die Berechnung des Winkels 
zwischen zwei Vektoren ein
5Der Wert , der die vorherige Gleichung erfüllt, ist 
Aufgaben
Berechne das Skalarprodukt und den Winkel, den die Vektoren 
bilden.
1 Um die Formel zur Bestimmung des Winkels zwischen zwei Vektoren anzuwenden, berechnen wir zunächst das Produkt der beiden Vektoren
2 Wir berechnen den Betrag des ersten Vektors
3 Wir berechnen den Betrag des zweiten Vektors
4 Wir setzen die vorher ermittelten Werte in die Formel des Winkels zwischen zwei Vektoren ein
5 Der Wert, der die vorhergehende Gleichung erfüllt, ist 
Berechne das Skalarprodukt und den Winkel, den die Vektoren 
bilden.
1 Um die Formel zur Bestimmung des Winkels zwischen zwei Vektoren anzuwenden, berechnen wir zunächst das Produkt der beiden Vektoren
2 Wir berechnen den Betrag des ersten Vektors
3 Wir berechnen den Betrag des zweiten Vektors
4 Wir setzen die vorher ermittelten Werte in die Formel des Winkels zwischen zwei Vektoren ein
5 Der Wert , der die vorhergehende Gleichung erfüllt, ist 
Berechne das Skalarprodukt und den Winkel, den die Vektoren 
bilden.
1 Um die Formel zur Bestimmung des Winkels zwischen zwei Vektoren anzuwenden, berechnen wir zunächst das Produkt der beiden Vektoren
2 Wir berechnen den Betrag des ersten Vektors
3 Wir berechnen den Betrag des zweiten Vektors
4 Wir setzen die vorher ermittelten Werte in die Formel des Winkels zwischen zwei Vektoren ein
5 Der Wert , der die vorhergehende Gleichung erfüllt, ist 
Gegeben sind die Vektoren 
. Berechne 
so, dass die Vektoren 
und 
senkrecht aufeinander sind.
1 Mithilfe der Formel zur Berechnung den Winkels zwischen zwei Vektoren erhalten wir
2 Wir berechnen das Skalarprodukt
3 Zwei Vektoren sind senkrecht aufeinander, wenn der Winkel zwischen ihnen 
beträgt; der Kosinus dieses Winkels ist null
4 Wir berechnen den Betrag des ersten Winkels
5 Wir berechnen den Betrag des zweiten Winkels
6 Wir setzen in unsere ursprüngliche Formel die vorher erhaltenen Werte ein und lösen nach auf
Der gesuchte Wert ist also 
Gegeben sind die Vektoren . Bereche so, dass die Vektoren und parallel sind.
1 Mithilfe der Formel zur Berechnung den Winkels zwischen zwei Vektoren erhalten wir
2 Wir berechnen das Skalarprodukt der Vektoren
3 Zwei Vektoren sind parallel, wenn der Winkel zwischen ihnen 
ist; der Kosinus dieses Winkels ist eins
4 Wir berechnen den Betrag des ersten Vektors
5 Wir berechnen den Betrag des zweiten Vektors
6 Wir setzen in unsere ursprüngliche Formel die vorher erhaltenen Werte ein und lösen nach auf
Der gesuchte Wert ist also 
Eine andere Möglichkeit, die Aufgabe zu lösen, besteht darin, die Proportionalität der Komponenten zu berücksichtigen
Gegeben sind die Vektoren . Berechne so, dass die Vektoren und einen Winkel von 
bilden.
1 Mithilfe der Formel zur Berechnung den Winkels zwischen zwei Vektoren erhalten wir
2 Wir berechnen das Skalarprodukt der Vektoren
3 Der Winkel zwischen den zwei Vektoren beträgt ; der Kosinus dieses Winkels ist
4 Wir berechnen den Betrag des ersten Vektors
5 Wir berechnen den Betrag des zweiten Vektors
6 Wir setzen in unsere ursprüngliche Formel die vorher erhaltenen Werte ein und lösen nach auf.
7 Wir lösen mithilfe der Formel zur Bestimmung der Nullstellen der quadratischen Gleichung
Die Nullstellen sind 
. Aber nur 
ist die Lösung von 
, da wir bereits quadriert haben, um die Lösungen zu erhalten. Der gesuchte Werte ist also .
Bestimme , wenn der Winkel, den 
und 
bilden, beträgt.
1 Mithilfe der Formel zur Berechnung den Winkels zwischen zwei Vektoren erhalten wir
2 Wir berechnen das Skalarprodukt der Vektoren
3 Der Kosinus von ist null
4 Wir berechnen den Betrag des ersten Vektors
5 Wir berechnen den Betrag des zweiten Vektors
6 Wir setzen in unsere ursprüngliche Formel die vorher erhaltenen Werte ein und lösen nach auf
Der gesuchte Wert ist also
Bestimme , wenn der Winkel, den die Vektoren und bilden, 
beträgt.
1 Mithilfe der Formel zur Berechnung den Winkels zwischen zwei Vektoren erhalten wir
2 Wir berechnen das Skalarprodukt der Vektoren
3 Der Kosinus von ist eins
4 Wir berechnen den Betrag des ersten Vektors
5 Wir berechnen den Betrag des zweiten Vektors
6 Wir setzen in unsere ursprüngliche Formel die vorher erhaltenen Werte ein und lösen nach auf
Der gesuchte Wert ist also 
Bestimme , wenn der Winkel, den die Vektoren und bilden, beträgt.
1 Mithilfe der Formel zur Berechnung den Winkels zwischen zwei Vektoren erhalten wir
2 Wir berechnen das Skalarprodukt der Vektoren
3 Der Winkel zwischen den zwei Vektoren beträgt 
; der Kosinus dieses Winkels ist
4 Wir berechnen den Betrag des ersten Vektors
5 Wir berechnen den Betrag des zweiten Vektors
6 Wir setzen in unsere ursprüngliche Formel die vorher erhaltenen Werte ein und lösen nach auf
Die Nullstellen sind 
Überprüfe, ob das Segment, das die Mittelpunkte der Seiten 
und 
des Dreiecks: 
verbindet, parallel zur Seite 
und gleich ihrer Hälfte ist.
1 Wir stellen grafisch dar
2 Wir berechnen den Mittelpunkt der Seite
3 Wir berechnen den Mittelpunkt der Seite
4 Wir berechnen den Vektor 
5 Wir berechnen den Vektor 
6 Wir berechnen den Betrag des ersten Vektors
7 Wir berechnen den Betrag des zweiten Vektors
8 Um herauszufinden, ob die zwei Vektoren parallel sind, überprüfen wir die Proportionalität ihrer Komponenten
Da die Komponenten proportional sind, sind die Vektoren parallel
Berechne die Winkels des Dreiecks mit den Eckpunkten: 
.
1 Wir stellen grafisch dar
2 Wir berechnen den Vektor 
3 Wir berechnen den Vektor 
4 Wir berechnen den Betrag von
5 Wir berechnen den Betrag von
6 Wir berechnen das Skalarprodukt der beiden Vektoren
7 Wir setzen die vorher ermittelten Werte in die Formel des Winkels zwischen zwei Vektoren ein
Der Wert , der zum Eckpunkt 
gehört und die vorherige Gleichung erfüllt, ist 
8 Wir berechnen den Vektor 
9 Wir berechnen den Vektor
10 Wir berechnen den Betrag von
11 Wir berechnen den Betrag von
12 Wir berechnen das Skalarprodukt der beiden Vektoren
13 Wir setzen die vorher ermittelten Werte in die Formel des Winkels 
zwischen zwei Vektoren ein
Der Wert , der zum Eckpunkt 
gehört und die vorherige Gleichung erfüllt, ist 
14 Da die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 
ist, beträgt der Winkel 
des Eckpunktes 
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