Linearkombination von Vektoren
Wenn 
ein Vektorraum und 
Vektoren in sind, wird jeder der Vektoren der folgenden Form Linearkombination genannt:
Jeder Vektor kann als Linearkombination aus zwei anderen Vektoren mit unterschiedlicher Richtung dargestellt werden.
In der vorherigen Abbildung sehen wir den Vektor 
als Linearkombination von 
und 
Beispiele
1 Gegeben sind die Vektoren 
, 
. Berechne den Vektor der Linearkombination 
Wir haben
2 Kann der Vektor 
als Linearkombination der Vektoren 
und 
ausgedrückt werden?
Wir schauen, ob wir 
finden können, die folgende Bedingung erfüllen
Deshalb muss gelten:
Wir lösen und erhalten
und somit
Lineare Abhängigkeit
Mehrere freie Vektoren der Ebene sind linear abhängig, wenn es eine Linearkombination von ihnen gibt, die dem Nullvektor entspricht, ohne dass alle Koeffizienten der Linearkombination 0 sind.
Das heißt, dass die Menge der Vektoren 
linear abhängig sind, wenn
mit 
ungleich 0.
Eigenschaften
1 Wenn mehrere Vektoren linear abhängig sind, kann mindestens einer von ihnen als Linearkombination der anderen ausgedrückt werden.
wir berechnen
Wenn ein Vektor eine Linearkombination aus anderen Vektoren ist, dann sind alle Vektoren linear abhängig.
2 Zwei Vektoren der Ebene sind genau dann linear abhängig, wenn sie parallel sind.
3 Zwei Vektoren der Ebene 
und 
sind linear abhängig, wenn ihre Elemente proportional sind.
Linear abhängige Vektoren
somit
Lineare Unabhängigkeit
Mehrere freie Vektoren sind linear unabhängig, wenn keiner von ihnen als Linearkombination der anderen ausgedrückt werden kann.
Somit gilt für die Vektoren
genau dann, wenn
Linear unabhängige Vektoren haben einen unterschiedliche Richtung.
Übungen zur linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit
1 Untersuche die lineare Abhängigkeit der Vektoren: 
und 
.
Die Eigenschaft (2) besagt, dass, wenn zwei Vektoren linear abhängig sind, ihre Elemente proportional sind. In diesem Fall ist zu beachten, dass
sie sind somit linear unabhängig.
2 Untersuche die lineare Abhängigkeit der Vektoren: 
und 
Wir berechnen
somit
Somit sind sie für 
linear abhängig.
3 Überprüfe, ob das Segment die Mittelpunkte der Seiten 
und 
des Dreiecks verbindet: 
, ist parallel zur Seite 
und gleich seiner Hälfte.
Sind sie parallel? Wir bestimmen zunächst die Punkte encontremos los puntos M, N sowie den Vektor 
Wenn 
parallel zu 
ist, sind seine Elemente proportional. Wir überprüfen
und nun
Sie sind also parallel.
Nun untersuchen wir, ob 
:
Mit KI zusammenfassen:
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