Wenn 
und 
, gibt es folgende Ergebnisse für den Quotienten von Funktionen:
1. Wenn 
von größerer Größenordnung ist als 
, gilt
2. Wenn von kleinerer Größenordnung ist als , gilt
3. Wenn von gleicher Größenordnung ist wie , dann ist der Quotient gleich einer Konstante ungleich null
Vergleich von Funktionen im Unendlichen
1 Sind zwei Potenzen von 
gegeben, so ist diejenige mit dem größeren Exponenten von größerer Größenordnung
2 Sind zwei Exponentialfunktionen mit einer Basis größer als 1 gegeben, so ist diejenige mit der größeren Basis von größerer Größenordnung.
3 Jede Exponentialfunktion mit einer Basis größer als 1 ist von größerer Größenordnung als jede Potenz von
4 Die Potenzen von sind von größerer Größenordnung als Logarithmusfunktionen.
5 Zwei Polynome gleichen Grades oder zwei Exponentialfunktionen mit gleicher Basis sind von gleicher Größenordnung.
Beispiele für Übungen zum Vergleich im Unendlichen
Ermittle die Grentwerte durch Vergleich der Unendlichkeiten:
1
In diesem Beispiel haben wir
Das Ergebnis ergibt sich aus der Eigenschaft, dass jede Exponentialfunktion mit einer Basis größer als 1 von größerer Größenordnung ist als jede Potenz. Somit ist von größerer Größenordnung als
2
In diesem Beispiel haben wir
Das Ergebnis ergibt sich aus der Eigenschaft, dass die Funktion mit dem höheren Exponenten von größerer Größenordnung ist. Somit ist von größerer Größenordnung als
1
In diesem Beispiel haben wir
Das Ergebnis ergibt sich aus der Eigenschaft, dass die Potenzen von von größerer Größenordnung sind als die logarithmischen Funktionen. Somit ist von kleinerer Größenordnung als
Mit KI zusammenfassen:
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