Definitionen von Grenzwerten von Funktionen
, wenn 
gegen 
konvergiert auf der linken Seite 
ist.
genau dann, wenn für jedes 
existiert, sodass für jedes 
gilt, dass
.
Das heißt:
, wenn gegen konvergiert, auf der rechten Seite ist
existiert, so dass für jedes 
gilt, dass .Das heißt:
Wenn der Grenzwert einer Funktion in einem Punkt existiert, dann ist dieser der einzige.
Beispiele für Funktionen, Grenzwerte und Graphen
1 Gegeben ist
Deren Graph ist:
Wenn wir uns dem Kreis auf dem roten Graphen nähern, können wir Folgendes beobachten:
Wenn wir uns dem Kreis auf der grünen Geraden nähern, können wir Folgendes beobachten:
In diesem Fall sehen wir, dass der Grenzwert sowohl von links als auch von rechts, wenn 
, 
ist.
Der Grenzwert der Funktion ist , da die beiden seitlichen Grenzwerte gleich sind, obwohl die Funktion bei 
keine Abbildung hat. Dies zeigt, dass es sich bei einem Grenzwert um einen Prozess der infinitesimalen Annäherung handelt und nicht um eine direkte Substitution des Wertes, an den er sich annähert.
Aus einem anderen Blickwinkel betrachtet lässt sich sagen: Um den Grenzwert einer Funktion an einem Punkt zu berechnen, interessiert uns nicht, was an diesem Punkt selbst geschieht, sondern was in seiner Umgebung geschieht.
2 Wir betrachen die wie folgt definierte Funktion
Ihr Graph ist:
Berechnen wir den linksseitigen Grenzwert gegen 0, so erhalten wir
und der rechtsseitige Grenzwert gegen 0 ist
Da wir nun sehen, dass sie unterschiedlich sind, bedeutet dies, dass der Grenzwert, wenn 
, NICHT existiert; dennoch ist die Funktion bei 0 
definiert, wobei zu betonen ist, dass der Grenzwert ein anderes Konzept ist als die Auswertung.
Mit KI zusammenfassen:
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