Ableitung eines Logarithmus
Wenn wir eine logarithmische Funktion
haben,
dann lautet die Formel für Ableitung
Andererseits gilt aus der Definition des Logarithmus, dass
somit
Und daher entspricht die oben beschriebene Formel
Ableitung eines natürlichen Logarithmus
Wenn wir eine natürliche Logarithmusfunktion
haben,
lautet die Ableitung
Bei bestimmten Funktionen, insbesondere bei der Potenz-Exponential-Funktion, empfiehlt sich die Verwendung der logarithmischen Ableitung, da sie die Berechnung erheblich vereinfacht. Diese Funktionen sind von der Art
Zur Ableitung kann man folgende Formel verwenden:
Im Folgenden zeigen wir, wie man die obige Formel erhält:
Zunächst schreiben wir die Funktion als
wir nehmen auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus und wenden die Eigenschaft des Logarithmus einer Potenz an
Wir leiten beide Seiten ab und ermitteln die Ableitung der Funktion
und wenn wir schließlich den Wert von 
einsetzen, erhalten wir (1)
Beispiele für Potenz-Exponential-Funktionen
Leite die Funktionen ab:
1 
Wir schreiben die Funktion als
Wir nehmen den Logarithmus
Wir wenden die Eigenschaft des Logarithmus einer Potenz an
Wir leiten auf beiden Seiten ab
Wir ermitteln die Ableitung der Funktion
Und setzen schließlich ein
2 
Wir schreiben die Funktion als
Wir nehmen die Logarithmen
Wir wenden die Eigenschaft des Logarithmus einer Potenz an
Wir leiten auf beiden Seiten ab
Somit
3 
Wir schreiben die Funktion als
Wir nehmen den Logarithmus auf beiden Seiten
Wir leiten auf beiden Seiten ab
Somit
Beispiele für die Ableitung von Logarithmusfunktionen
Leite folgende Logarithmusfunktionen ab:
1 
Wir wenden die Formel für die Ableitung eines Logarithmus an und erhalten
2 
Wir schreiben 
als
somit
3 
Wir wenden die Eigenschaften des Logarithmus an und erhalten
und die Formel zur Ableitung eines natürlichen Logarithmus
4 
Wir können wie folgt schreiben
aus den Eigenschaften des Logarithmus ergibt sich
und unter Verwendung der Formel für die Ableitung des Logarithmus
5 
Wenn wir uns daran erinnern, wie die Ableitung eines Produkts lautet, müssen wir wie folgt berechnen:
6 
Wir wenden die Kettenregel an
7 
Aus der Ableitung des natürlichen Logarithmus folgt
8 
Wir stellen fest, dass
also
9 
Aus den Eigenschaften von Logarithmen folgt
somit
10 
Wir schreiben als
somit
11 
Wenn wir als 
schreiben,
folgt aus der Definition des Logarithmus
Wir wenden auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an
daraus folgt:
und somit
12 
Wir schreiben als
und aus der Definition des Logarithmus folgt
Wir wenden auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an
daraus folgt:
und somit
Mit KI zusammenfassen:
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