Formel für die Ableitung des Sinus
Wir sehen uns die Funktion 
an, deren Ableitung gegeben ist durch
Betrachtet man das Argument als eine Funktion 
, d. h. 
, so lautet die Ableitung
,
um die Kettenregel anwenden zu können.
Beweis: Um zu zeigen, dass die Ableitung des Sinus der Kosinus ist, müssen wir an zwei wichtige Grenzwerte denken:
und
Damit können wir nun den Grenzwert von mithilfe der Definition berechnen. Dazu verwenden wir den Winkelsummensatz für den Sinus:
Somit lautet die Ableitung:
Beispiele
Hier müssen wir die Kettenregel mit 
anwenden, weshalb 
y
Genau wie im vorherigen Beispiel wenden wir die Kettenregel an. En este caso 
y 
. Also
Nun lautet das Sinusargument 
. Wir nehmen 
, weshalb
Wir stellen fest, dass 
. Deshalb müssen wir die Kettenregel anwenden, jedoch unter Verwendung von 
. Und somit:
Jedoch gilt und 
, weshalb
Genau wie im vorherigen Fall, haben wir die Kettenregel, wobei ist. Also
Da und , gilt
Also lautet die Ableitung
Hier haben wir eine doppelte Zusammensetzung. Wir stellen fest, dass 
und 
(hier wenden wir bereits die Kettenregel an). Also
Daher
Ab dieser Aufgabe werden wir nicht mehr verwenden, um bestimmte Funktionen bei deren Zusammensetzung zu bezeichnen. Stattdessen werden wir jeden Schritt ableiten und erläutern:
Hier haben wir nur die Wurzel abgeleitet. Nun leiten wir den Koeffizienten ab:
Und schließlich vereinfachen wir:
Wir können noch weiter vereinfachen:
weiter können wir nicht mehr vereinfachen:
Wir müssen darauf achten, nicht zu sagen, dass 
gilt, da dies nicht stimmt.
Um diese Funktion ableiten zu können, stellen wir fest, dass
Von hier an müssen wir nur noch die Kettenregel anwenden:
,
was das Ergebnis der Ableitung ist.
Wir wenden die Kettenregel wie folgt an:
Mit KI zusammenfassen:
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