Wenn 
und 
bei 
ableitbar sind, gilt:
1
ist konvex bei
2
ist konkav bei
Kriterium der Konkavität und Konvexität
Wir sind davon ausgegangen, dass das Tal eine konvexe Form und der Berg eine konkave Form hat.
Es gibt Texte, in denen Konkavität und Konvexität gegensätzlich definiert werden, wobei als Kriterium gilt, dass das Tal eine konkave Form und der Berg eine konvexe Form hat.
Diese Definition, die wir hier geben, bezieht sich jedoch nicht nur auf ein visuelles Kriterium, das aus Sicht der betrachtenden Person verwirrend sein kann, sondern wir können auch eine präzisere Definition geben:
Eine Funktion ist auf einem Intervall ihres Definitionsbereichs konkav, wenn:
Wenn zwei Punkte auf diesem Intervall 
und 
gegeben sind, bleibt der Abschnitt, der die Punkte 
und 
verbindet, immer unterhalb des Graphen.
Eine Funktion ist auf einem Intervall ihres Definitionsbereichs konvex, wenn:
Wenn zwei Punkte auf diesem Intervall und gegeben sind, bleibt der Abschnitt, der die Punkte und verbindet, immer unterhalb des Graphen.
Konkavitäts- und Konvexitätsintervalle
Untersuche die Intervalle, die Konkavität und die Konvexität der Funktion:
Um Konkavität und Konvexität zu untersuchen, gehen wir wie folgt vor:
1 Wir ermitteln die 2. Ableitung und berechnen ihre Nullstellen.
2 Wir bilden mit den Nullstellen der 2. Ableitung und den Stellen der Unstetigkeit (sofern vorhanden) die Intervalle.
3 Wir nehmen einen Wert aus jedem Intervall und bestimmen das Vorzeichen, das er in der 2. Ableitung hat.
Wenn 
, ist 
konvex
Wenn 
, ist konvkav
Aus dem Intervall 
nehmen wir 
, zum Beispiel
ist konkav
Aus dem Intervall 
nehmen wir 
, zum Beispiel
ist konvex
4 Wir schreiben die Intervalle:
Konvexität:
Konkavität:
Beispiele
1
Zunächst berechnen wir den Definitionsbereich, um festzustellen, wo die Funktion definiert ist.
Die Definitionsmenge lautet
Wir ermitteln die 1. Ableitung
Wir ermitteln die 2. Ableitung
Wir setzen gleich 0 und berechnen die Nullstellen der Gleichung
Wir bilden Intervalle mit den Nullstellen der 2. Ableitung und den Unstetigkeitsstellen
Wir setzen einen Wert jedes Intervalls in die Funktion ein
Ist das Ergebnis positiv, so ist die Funktion auf diesem Intervall konvex.
Ist das Ergebnis negativ, so ist die Funktion auf diesem Intervall konkav.
Konvex: 
Konkav
2
Wir ermitteln die 1. Ableitung
Wir ermitteln die 2. Ableitung
Wir setzen gleich 0 und berechnen die Nullstellen der Gleichung
Konvex: 
Konkav 
Wendepunkt 
Mit KI zusammenfassen:
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