Um über Bezugssysteme im kartesischen Koordinatensystem zu sprechen, müssen wir zunächst den Begriff der Basis definieren. Auf dieser Grundlage können wir dann zwei Arten von Bezugssystemen definieren: das orthogonale und das orthonormale.
Basis
Zwei Vektoren in der Ebene 
und 
sind linear unabhängig, wenn 
für jede Konstante 
. Diese linear unabhängigen Vektoren mit unterschiedlichen Richtungen bilden eine Basis, da ein beliebiger Vektor der Ebene als Linearkombination von und geschrieben werden kann, d.h. wenn ein Vektor 
gegeben ist, gilt
Als erstes Beispiel haben wir die folgende Grafik,
Die Koordinaten des Vektors in Bezug auf die Basis, definiert durch und 
, sind gegeben durch
Beispiel
1 Gegeben sind die folgenden Vektoren. Ermittle ihre Koordinaten in Bezug zur Basis, definiert durch und .
Die Koordinaten sind also wie folgt gegeben
2 Welche Vektorenpaare bilden eine Basis
Um zu wissen, ob die Vektoren saber si dos vectores 
und 
eine Basis bilden, überprüfen wir, ob die folgende Gleichung nicht erfüllt ist
Für das Paar 
haben wir
Somit bilden 
eine Basis.
Für das Paar 
haben wir
Somit bilden keine Basis.
Für das Paar 
haben wir
Somit bilden eine Basis.
Bezugssysteme
In der Ebene wird ein Referenzsystem durch einen Punkt 
und eine Ebene 
gebildet
Der Punkt des Bezugssystems wird Ursprung genannt und die linear unabhängigen Vektoren bilden eine Basis.
Orthogonales Bezugssystem
Ein Bezugssystem wird als orthogonal bezeichnet, wenn die Vektoren eine rechtwinklige Basis bilden und unterschiedliche Beträge haben,
Orthonormales Bezugssystem
Ein Bezugssystem wird als orthonormal bezeichnet, wenn die Vektoren eine orthonormale Basis bilden und den Einheitsbetrag haben,
Das wichtigste Beispiel für eine orthonormale Basis ist die allgemeine Basis, die sich aus den folgenden Vektoren zusammensetzt:
Zur Erinnerung: Die Geraden 
und 
werden als Koordinatenachsen oder kartesische Koordinatenachsen bezeichnet. Im Folgenden sehen wir uns einige Beispiele an,
Beispiele.
1 Gegeben sind die Vektoren 
und 
, die eine Basis bilden. Drücke in dieser Basis den Vektor 
aus.
Wir sehen uns die folgende Gleichung an
und wir erhalten die folgenden Gleichungen
Schließlich ist 
Dies besagt, dass 
.
2 Gegeben sind die Vektoren 
, 
und 
. Bestimme:
A Ob die Vektoren und eine Basis bilden.
Um dies zu überprüfen, schauen wir, ob das Produkt der ersten Koordinate von mit der zweiten Koordinate von sich vom Produkt der ersten Koordinate von mit der zweiten Koordinate von unterscheidet
Sie bilden also eine Basis.
B Drücke als Kombination der Elemente der Basis, gebildet durch und , aus.
Wir sehen uns folgende Gleichung an
und erhalten die folgenden Gleichungen
Schließlich ist 
Dies besagt, dass 
.
C Gegeben ist der Vektor mit den Koordinaten coordenadas 
in der allgemeinen Basis. Welche Koordinaten hat er in der Basis, die gebildet wird durch und .
De nuevo formamos el siguiente sistema de ecuaciones,
Und wir erhalten die folgenden Gleichungen
Schließlich ist 
Die Koordinaten in der Basis von und sind 
.
D Gegeben sind die Vektoren 
, 
und 
. Berechne die Koordinaten von 
in der Basis und .
Nun setzen wir die Ausdrücke für 
und 
in ein
Daher lauten die Koordinaten für 
.
Mit KI zusammenfassen:
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