In diesem Artikel setzen wir unsere Auseinandersetzung mit dem Skalarprodukt fort und betrachten eine Reihe verschiedener Beispiele, die das Gelernte veranschaulichen.
Das Skalarprodukt und seine Eigenschaften
Zur Erinnerung: Es gibt zwei gleichwertige Möglichkeiten, das Skalarprodukt der beiden Vektoren 
und 
zu berechnen:
1. Wenn die Komponenten der Vektoren 
und 
bekannt sind, ist das Skalarprodukt gegeben durch 
2. Wenn wir den Betrag beider Vektoren und den Winkel 
kennen, der zwischen ihnen gebildet wird, dann ergibt sich das Skalarprodukt durch
wobei der Betrag eines Vektors 
ist
und der Winkel kann wie folgt berechnet werden 
Des Weiteren sei daran erinnert, dass das Skalarprodukt die folgenden Eigenschaften erfüllt:
1. Es ist positiv definiert. Das heißt, das Skalarprodukt eines Vektors, der selbst nicht 0 ist, ist immer positiv.
2. Das Skalarprodukt ist kommutativ. Das heißt, es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren multipliziert werden. 
3. Assoziativität bei der Skalarmultiplikation. Das heißt, wenn wir mit und schließlich mit einem Skalar 
multiplizieren, ist das Ergebnis dasselbe wie zunächst 
zu berechnen und anschließend das Skalarprodukt mit zu berechnen.
4. Distributiv in Bezug auf die Addition. Das heißt,
Diese Eigenschaften des Skalarprodukts wenden wir an, um die folgende Aufgabe zu lösen.
Beispiele zur Berechnung des Skalarprodukts von Vektoren
1.Wenn 
, berechne 
.
Lösung:
Wir berechnen das Skalarprodukt unter Anwendung von (1):
2.Wenn 
und 
, berechne 
Lösung:
Da die Komponenten der Vektoren bekannt sind, wenden wir (1) an. Um das Skalarprodukt zu berechnen: 
3.Wenn 
und 
, berechne 
.
Lösung:
Um dies zu lösen, wenden wir Eigenschaft (3) an:
4.Wenn 
und 
, berechne 
.
Lösung:
Wir wenden erneut (1) an und erhalten:
5.Wenn 
und 
berechne 
Lösung:
Zur Lösung wenden wir Eigenschaft (4) des Skalarprodukts an:
5.Wenn 
und 
, berechne
Lösung:
Da wir die Beträge der Vektoren und den Winkel zwischen ihnen kennen, wenden wir die zweite Eigenschaft an, um das Skalarprodukt wie folgt zu berechnen 
6.Wenn , 
und 
, berechne unter Verwendung der 2. Eigenschaft.
Lösung:
Um die zweite Methode anzuwenden, müssen wir zunächst die Größe der Vektoren berechnen. Also
- Die Größe von ist
- Die Größe von ist
Wir erhalten also
7.Wenn 
und 
, berechne 
, sodass und orthogonal sind.
Lösung
Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich 
ist. Wir müssen also
lösen.
Somit
8.
sei eine Basis der Vektoren der Ebene, sodass 
und 
Gegeben sind 
und 
. Berechne 
Lösung:
Wir wenden die Eigenschaften des Skalarprodukts an und erhalten
wobei sich die zweite Gleichung aus der distributiven Eigenschaft und die letzte Gleichung aus der kommutativen Eigenschaft des Skalarprodukts ergibt. Wir berechnen schließlich für einen beliebigen Vektor 
,
und erhalten
Also ist 
Mit KI zusammenfassen:
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