Kapitel
Wenn es um die Faktorisierung von Polynomen geht, müssen wir dabei einige Dinge beachten.
Wenn es kein konstantes Glied gibt
Wenn es kein konstantes Glied gibt, muss ein gemeinsamer Faktor ausgeklammert werden. Um einen gemeinsamen Faktor bei einer Summe (oder Differenz) auszuklammern, muss in ein Produkt umgeformt werden.
Wir wenden das Distributivgesetz an:
Beispiel für die Faktorisierung eines Polynoms ohne konstantes Glied
Wir zerlegen in Faktoren, indem wir einen gemeinsamen Faktor ausklammern und bestimmen die Nullstellen.
1 
Die Nullstellen sind: 
und 
2 
Es gibt nur eine Nullstelle , da das Polynom 
keinen Wert hat, für den es null wird. Da 
zum Quadrat steht, ist das Ergebnis immer eine positive Zahl und somit irreduzibel.
Zweifaches Ausklammern des gemeinsamen Faktors
1 
Wir klammern den gemeinsamen Faktor und 
aus.
Da 
nun ein gemeinsamer Faktor ist, klammern wir den gemeinsamen Faktor aus.
Die Nullstellen sind 
und 
.
Wenn es sich um ein Binom handelt
Wenn wir ein Binom haben, kann einer der folgenden Fälle auftreten:
Differenz von Quadraten
Eine Differenz von Quadraten entspricht Summe mal Differenz.
Beispielaufgaben zur Differenz von Quadraten:
In Faktoren zerlegen und Nullstellen bestimmen
1 
Die Nullstellen sind 
und 
2 
Der letzte Term ist ebenfalls eine Differenz von Quadraten. Somit gilt:
Die Nullstellen sind und
Summe von Kubikzahlen
Beispielaufgabe zur Summe von Kubikzahlen:
Differenz von Kubikzahlen
Beispielaufgabe zur Differenz von Kubikzahlen:
Wenn es sich um ein Trinom handelt
Wenn wir ein Trinom haben, kann einer der folgenden Fälle auftreten
Ein vollständiges quadratisches Trinom
Ein vollständiges quadratisches Trinom entspricht einem Binom zum Quadrat.
Beispiele für vollständige quadratische Trinome
In Faktoren zerlegen und Nullstellen bestimmen
1 
Wir müssen uns folgende Fragen stellen:
- Welche Zahl zum Quadrat ergibt
? Die Antwort ist 
. - Welche Zahl zum Quadrat ergibt
? Die Antwort ist .
Wir überprüfen: 
Die Nullstelle ist 
, in diesem Fall eine doppelte Nullstelle
2 
- Welche Zahl zum Quadrat ergibt ?
- Welche Zahl zum Quadrat ergibt
? 
Wir überprüfen: 
Die doppelte Nullstelle ist 
.
Ein Trinom zweiten Grades
Um ein Trinom zweiten Grades 
in Faktoren zu zerlegen, setzt man es gleich null und löst die Gleichung zweiten Grades.
Wenn die Lösungen der Gleichung 
und 
sind, sieht das faktorisierte Polynom wie folgt aus:
Beispiele zu Trinomen zweiten Grades
In Faktoren zerlegen und Nullstellen bestimmen
1 
Wir setzen das Trinom gleich null
Wir wenden die Formel zur Lösung von Gleichungen zweiten Grades an:
Wir faktorisieren
Die Nullstellen sind 
und .
2 
Wir setzen das Trinom gleich null
Wir lösen die Gleichung
Wir faktorisieren
Die Nullstellen sind und .
Trinome vierten Grades mit geradzahligen Exponenten
Um die Nullstellen zu bestimmen, setzen wir gleich null und lösen die biquadratische Gleichung.
Beispiele zu Trinomen vierten Grades mit geradzahligen Exponenten
1 
Wir setzen das Polynom gleich null
Wir substituieren die Variable
Wir lösen die Gleichung zweiten Grades
Wir führen die Rücksubstitution durch und erhalten die Nullstellen
2 
Wir setzen das Polynom gleich null
Wir substituieren
Wir lösen die Gleichung zweiten Grades
Wir führen die Rücksubstitution durch und erhalten die Nullstellen
, es gibt keine reellen Nullstellen, da keine Zahl existiert, die zum Quadrat negativ ist
Faktorisierte Form 
Faktorisierung eines Polynoms, das einen höheren Grad als zwei hat
Wir wenden den Restsatz und das Horner Schema an, um die Nullstellen zu bestimmen.
Sehen wir uns folgendes Polynom an:
Wir nehmen die Teiler des konstanten Glieds:
Wir wenden den Restsatz an und wissen somit, dass bei der Division kein Rest bleibt.
Wir wenden das Horner Schema an.
Da kein Rest bleibt, gilt 
Eine Nullstelle ist 
.
Um den zweiten Faktor zu bestimmen, führen wir die gleichen Rechenschritte durch.
Wir probieren mit 
, da der erste Faktor zum Quadrat stehen könnte.
Die andere Nullstelle ist 
.
Den dritten Faktor können wir bestimmen, indem wir die Gleichung zweiten Grades anwenden.
Die schließen wir aus und probieren weiter mit 
.
Wir klammern den gemeinsamen Faktor im letzten Binom aus und erhalten eine rationale Nullstelle.
Die Faktorisierung des Polynoms sieht wie folgt aus:
Rationale Nullstellen
Es kann vorkommen, dass das Polynom keine ganzzahligen Nullstellen hat, sondern nur rationale Nullstellen. In diesem Fall nehmen wir die Divisoren des konstanten Glieds geteilt durch die Divisoren des Terms mit dem höheren Grad und wenden den Restsatz und das Horner Schema an.
Wir probieren mit:
.
Wir faktorisieren. 
Wir probieren noch einmal mit 
Wir probieren mit 
Wir faktorisieren:
Wir klammern den gemeinsamen Faktor 
im dritten Faktor aus.
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