In diesem Abschnitt befassen wir uns mit der Definition des Monoms, seinen Eigenschaften, den dazugehörigen Regeln und einigen Rechenoperationen.

 

Was ist ein Monom?

Ein Monom ist in der Algebra ein eingliedriger Term, der sich aus dem Produkt von unbekannten Variablen, deren Exponenten ganze, nicht negative Zahlen sind, und einer Zahl, dem Koeffizienten, zusammensetzt. Jedes Polynom ist eine Summe von Monomen. Deshalb können wir ein Monom wie ein Polynom, dass nur einen Term hat, behandeln.

Der Grad des Monoms ist immer die höchste Potenz der Variablen.

 

Beispiele für Monome sind 7x. Die Unbekannte ist x, der Koeffizient ist 7 und der Grad des Monoms ist 1. Ein weiteres Beispiel ist \frac{1}{2}z^5. Die Unbekannte ist z, der Koeffizient ist \frac{1}{2} und der Grad des Monoms ist 5. Ein letztes Beispiel ist 2x^4y mit den Variablen x und y. Der Koeffizient ist 2 und der Grad des Monoms ist 44x^{\frac{1}{3}} hingegen ist kein Monom, da sein Exponent ein Bruch ist. Dies gilt auch für \frac{1}{7}y^{-2}, da der Exponent negativ ist.

 

Bestimme, welche der folgenden algebraischen Ausdrücke Monome sind. Bestimme auch den Grad und den jeweiligen Koeffizienten.

 

1 3x^3

 

2 5x^{-3}

 

3 3x + 1

 

4 \sqrt{2}x

 

5 -\frac{3}{x^4}

 

6 2 \sqrt{x}

 

Wir analysieren, ob die Ausdrücke der Definition entsprechen und bestimmen so den Grad und den Koeffizienten.

 

1 3x^3

 

Hierbei handelt es sich um ein Monom. Da es außerdem nur eine Variable gibt und ihre Potenz 3 ist, ist der Grad des Monoms 3 und der Koeffizient ist auch 3.

 

2 5x^{-3}

 

Die Potenz der Variablen x ist -3, deswegen trifft die Definition eines Monoms hier nicht zu, da keine negativen Potenzen enthalten sein dürfen.

 

3 3x + 1

 

Hierbei handelt es sich nicht um ein Monom, da sich ein Monom aus nur einem Term zusammensetzt. Hier haben wir aber zwei Terme, 3x und 1. Somit handelt es sich hier um ein Binom.

 

4 \sqrt{2}x

 

Hierbei handelt es sich um ein Monom. Der Grad ist 1, da der Exponent von x  1 ist. Der Koeffizient ist \sqrt{2}.

 

5 -\frac{3}{x^4}

 

Hierbei handelt es sich nicht um ein Monom, da der Ausdruck -3x^{-4} entspricht, dessen Exponent negativ ist.

 

6 2 \sqrt{x}

 

Hierbei handelt es sich nicht um ein Monom, da der Ausdruck 2x^{\frac{1}{2}} entspricht, dessen Exponent keine ganze Zahl ist. Wir erinnern uns daran, dass der Exponent eine ganze Zahl sein muss und nicht negativ sein darf.

 

 

Unsere besten verfügbaren Mathe-Nachhilfelehrer
Viktor
5
5 (142 Bewertungen)
Viktor
60€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Elisabeth
5
5 (28 Bewertungen)
Elisabeth
32€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Andrea
5
5 (60 Bewertungen)
Andrea
75€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Jonas
5
5 (12 Bewertungen)
Jonas
40€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Boris
5
5 (27 Bewertungen)
Boris
30€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Rafael
5
5 (65 Bewertungen)
Rafael
45€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Thomas
5
5 (35 Bewertungen)
Thomas
100€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Julien
5
5 (18 Bewertungen)
Julien
25€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Viktor
5
5 (142 Bewertungen)
Viktor
60€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Elisabeth
5
5 (28 Bewertungen)
Elisabeth
32€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Andrea
5
5 (60 Bewertungen)
Andrea
75€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Jonas
5
5 (12 Bewertungen)
Jonas
40€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Boris
5
5 (27 Bewertungen)
Boris
30€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Rafael
5
5 (65 Bewertungen)
Rafael
45€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Thomas
5
5 (35 Bewertungen)
Thomas
100€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Julien
5
5 (18 Bewertungen)
Julien
25€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Los geht's

Grundlegende Rechenoperationen bei Monomen

 

Summe und Differenz

 

Um zwei Monome zu addieren oder zu subtrahieren und die Terme zusammenzufassen,  müssen die vorkommenden Variablen gleich sein und die gleichen Potenzen haben. Das Ergebnis der Summe oder Differenz ist ein Monom, dessen Koeffizient die Summe oder Differenz der Koeffizienten ist, die durch Multiplikation der Unbekannten mit den jeweiligen Potenzen addiert oder subtrahiert werden. Zum Beispiel kann die Summe 3xy^2 + 7xy^2 vereinfacht werden, da die Variablen gleich sind, x und y. Außerdem haben diese die gleichen Potenzen, x hat die Potenz 1 und y Potenz 2 bei beiden Monomen. Deshalb entpricht die Summe

 

\displaystyle 3xy^2 + 7xy^2 = (3 + 7)xy^2 = 10xy^2

 

Andererseits kann die Summe 2x^2y + 3xy nicht vereinfacht werden, da die Potenzen der Variablen x nicht gleich sind. Deshalb können wir die Summe nur als 2x^2y + 3xy ausdrücken. Die Variable x der Monome können wir bestimmen. Allerdings behandeln wir dieses Thema nicht in diesem Artikel.

 

Multiplikation und Division

 

Wir wissen bereits, dass, wenn wir zwei Terme mit der gleichen Basis multiplizieren, wir als Ergebnis die Basis hoch die Summe der Potenzen erhalten. Anders formuliert, das Produkt aus den Ausdrücken a^w und a^v mit der gleichen Basis ist

 

\displaystyle (a^w)(a^v) = a^{w + v}

 

So ist, zum Beispiel, das Produkt von 4^2 und 4^5

 

\displaystyle (4^{2})(4^{5}) = 4^{2 + 5} = 4^{7}

 

Mit Monomen verhält es sich nun ganz ähnlich. Wenn man zwei Monome multipliziert, ist der daraus resultierende Koeffizient das Produkt der jeweiligen Koeffizienten. Bei den Variablen fassen wir diejenigen mit gleicher Basis zusammen und multiplizieren dementsprechend. Falls es Variablen gibt, die nur in einem Monom auftauchen, aber nicht im anderen, gehen wir wie im folgenden Beispiel vor. Das Produkt der Monome 3xy^2 z und 7 x^2 ist

 

\displaystyle (3xy^2 z)(7x^2) =(3)(7)(xx^2)y^2z = 21x^{3}y^2z

 

Analog dazu wissen wir, dass, wenn wir zwei Terme mit gleicher Basis dividieren, wir als Ergebnis die Basis hoch die Differenz der Potenzen (die Potenz des Zählers minus die Potenz des Nenners) erhalten. Anders formuliert, die Division der Ausdrücke mit der gleichen Basis a^w und a^v ist

 

\displaystyle \frac{a^w}{a^v} = a^{w - v}

 

So ist zum Beispiel das Produkt aus 4^2 und 4^5

 

\displaystyle \frac{4^2}{4^5} = 4^{2 - 5} = 4^{-3}

 

Mit Monomen verhält es sich ganz ähnlich. Wenn man zwei Monome dividiert, ist der resultierende Koeffizient die Division der jeweiligen Koeffizienten. Bei den Variablen fassen wir diejenigen mit gleicher Basis zusammen und dividieren entsprechend. Wenn es Variablen gibt, die im Zähler stehen, aber nicht im Nenner, schreiben wir sie direkt neben den Bruch. Wenn es jedoch Variablen gibt, die im Nenner stehen, aber nicht im Zähler, schreiben wir sie neben den Bruch, müssen aber das Vorzeichen der Potenz umdrehen. Zum Beispiel die Monome 3xy^2 und 7 x^2z, deren Division ist

 

\displaystyle \frac{3xy^2}{7 x^2z} = \frac{3}{7} \frac{x}{x^2}y^2 z^{-1} = \frac{3}{7} x^{-1}y^2 z^{-1}

 

Monome potenzieren

 

Die Potenzen von Monomen sind einfach. Beim Potenzieren von Monomen wird jeder Faktor separat potenziert und die Exponenten der Variablen werden mit dem Exponenten multipliziert. Selbstverständlich müssen die Regeln für Exponenten eingehalten werden. Wenn wir also zum Beispiel das Monom 3xy^2 auf die Potenz 4 bringen möchten, müssen wir

 

\displaystyle \left( 3xy^2 \right)^4 = 3^4 x^4 \left( y^2 \right)^4 = 81 x^4 y^{(2)(4)} = 81 x^4 y^{8}

 

Übungsaufgaben zum Rechnen mit Monomen

 

Übungsaufgaben zu Summen und Differenzen

 

1 2x^2y^3z + 3x^2y^3z

 

2 2x^3 - 5x^3

 

3 3x^4 - 2x^4 + 3x^3

 

4 2a^2bc^3 - 5a^2b^3c - 3a^2bc^3 + 7a^2b^3c

 

Um diese Aufgaben zu lösen, wenden wir die Regeln zum Umgang mit Summen und Differenzen bei Monomen an, die wir vorher schon behandelt haben.

 

1 2x^2y^3z + 3x^2y^3z

 

Da beide Monome die gleichen Variablen mit der selben Potenz haben, können wir direkt vereinfachen

 

    \begin{align*} 2x^2y^3z + 3x^2y^3z &= (2 + 3)x^2y^3z\\&= 5x^2y^3z\end{align*}

 

2 2x^3 - 5x^3

 

Da beide Monome die gleichen Variablen mit den gleichen Potenzen haben, können wir direkt vereinfachen

 

    \begin{align*} 2x^3 - 5x^3&= (2 - 5)x^3\\&= -3x^3\end{align*}

 

3 3x^4 - 2x^4 + 3x^3

 

Uns fällt auf, dass alle Monome die gleichen Variablen haben. Allerdings haben nur zwei Monome Variablen mit den gleichen Potenzen. Deshalb können nur diese beiden vereinfacht werden

 

    \begin{align*} 3x^4 - 2x^4 + 3x^3 &= (3 - 2)x^4 + 3x^3\\&= x^4 + 3x^3\\\end{align*}

 

4 2a^2bc^3 - 5a^2b^3c - 3a^2bc^3 + 7a^2b^3c

 

Wir stellen fest, dass alle Monome die gleichen Variablen haben. Allerdings haben sie nicht alle die gleiche Potenz. Wir fassen die Monome mit den gleichen Variablen und Potenzen zusammen und vereinfachen somit

 

    \begin{align*} 2a^2bc^3 - 5a^2b^3c - 3a^2bc^3 + 7a^2b^3c &= (2-3)a^2bc^3 + (-5 + 7)a^2b^3c\\&= -(1)a^2bc^3 + (2)a^2b^3c\\&= -a^2bc^3 + 2a^2b^3c\\\end{align*}

 

Übungsaufgaben zum Produkt von Monomen

 

1 (2x^3)(5x^3)

 

2 (12x^3)(4x)

 

3 (5)(6xy^2z^5)

 

4 (3x^2y)(15y^7z^3)

 

5 (-2x^4)(6xy^5)(-7xz^2)

 

Um diese Aufgaben zu lösen, wenden wir die Regeln für das Produkt von Monomen an, die wir vorher behandelt haben. Wir fassen gleiche Variablen und Koeffizienten zusammen.

 

1 (2x^3)(5x^3)

 

    \begin{align*} (2x^3)(5x^3) &= ((2)(5))(x^3x^3)\\&= 10x^{3 + 3}\\&= 10x^{6}\\\end{align*}

 

2 (12x^3)(4x)

 

    \begin{align*} (12x^3)(4x) &= ((12)(4))(x^3x)\\&= 48x^{3 + 1}\\&= 48x^{4}\\\end{align*}

 

3 (5)(6xy^2z^5)

 

    \begin{align*} (5)(6xy^2z^5) &= ((5)(6))xy^2z^5\\&= 30 xy^2z^5\\\end{align*}

 

4 (3x^2y)(15y^7z^3)

 

    \begin{align*} (3x^2y)(15y^7z^3) &= ((3)(15))x^2(yy^7)z^3\\&= (45)x^2y^{1 + 7}z^3\\&= 45x^2y^8z^3\\\end{align*}

 

5 (-2x^4)(6xy^5)(-7xz^2)

 

    \begin{align*} (-2x^4)(6xy^5)(-7xz^2) &= ((-2)(6)(-7))(x^4 x x)y^5 z^2\\&= (84)x^{4 +1 + 1}y^5 z^2\\&= 84x^6y^5 z^2\\\end{align*}

 

Übungsaufgaben zur Division von Monomen

 

1 (12x^3) : (4x)

 

2 (18x^6y^2z^5) : (6x^3y)

 

3 \displaystyle \frac{6x^3y^4z^2}{3x^2y^2z^2}

 

4 \displaystyle \frac{3x^2y}{15y^7z^3}

 

5 \displaystyle \frac{12x^3y^5 + 18x^4y^5 - 48y^3}{6x^4y^4}

 

Um diese Aufgaben zu lösen, wenden wir die Regel für die Division von Monomen an. Wir fassen gleiche Variablen und Koeffizienten zusammen.

 

1 (12x^3) : (4x)

 

    \begin{align*} (12x^3) : (4x) &= \frac{12x^3}{4x}\\&= \frac{12}{4}\frac{x^3}{x}\\&= 3 x^{3 - 1}\\&= 3 x^{2}\\\end{align*}

 

2 (18x^6y^2z^5) : (6x^3y)

 

    \begin{align*} (18x^6y^2z^5) : (6x^3y) &= \frac{18x^6y^2z^5}{6x^3y}\\&= \frac{18}{6}\frac{x^6}{x^3}\frac{y^2}{y} z^5\\&= 3 x^{6-3} y^{2 - 1} z^5\\&= 3 x^{3} y z^5\\\end{align*}

 

3 \displaystyle \frac{6x^3y^4z^2}{3x^2y^2z^2}

 

    \begin{align*} \frac{6x^3y^4z^2}{3x^2y^2z^2} &= \frac{6}{3}\frac{x^3}{x^2}\frac{y^4}{y^2}\frac{z^2}{z^2}\\&= 2 x^{3 - 2} y^{4 - 2} z^{2 - 2}\\&= 2 x y^{2} z^{0}\\&= 2 x y^{2}\end{align*}

 

4 \displaystyle \frac{3x^2y}{15y^7z^3}

 

    \begin{align*} \frac{3x^2y}{15y^7z^3} &= \frac{3}{15}x^2\frac{y}{y^7} z^{-3}\\&= \frac{3}{15}x^2 y^{1 - 7} z^{-3}\\&= \frac{1}{5}x^2 y^{- 6} z^{-3}\\\end{align*}

 

5 \displaystyle \frac{12x^3y^5 + 18x^4y^5 - 48y^3}{6x^4y^4}

 

    \begin{align*} \frac{12x^3y^5 + 18x^4y^5 - 48y^3}{6x^4y^4} &= \frac{12x^3y^5}{6x^4y^4} + \frac{18x^4y^5}{6x^4y^4} - \frac{48y^3}{6x^4y^4}\\&=\frac{12}{6}\frac{x^3}{x^4}\frac{y^5}{y^4} + \frac{18}{6}\frac{x^4}{x^4}\frac{y^5}{y^4} - \frac{48}{6}x^{-4}\frac{y^3}{y^4} \\&=2x^{3 - 4}y^{5 - 4} + 3x^{4 - 4}y^{5 - 4} - 8 x^{-4}y^{3-4} \\&=2x^{-1}y+ 3x^{0}y - 8 x^{-4}y^{-1} \\&=2x^{-1}y+ 3y - 8 x^{-4}y^{-1} \\\end{align*}

 

Übungsaufgaben zu Potenzen von Monomen

 

1 \left( 2x^3\right)^{3}

 

2 \left( -3 x^2\right)^{3}

 

3 \left( \frac{2}{3} x^3\right)^{2}

 

Um diese Aufgaben zu lösen, wenden wir die Regel für das Potenzieren von Monomen an, die wir bereits behandelt haben. Variablen und Koeffizienten müssen entsprechend potenziert werden.

 

1 \left( 2x^3\right)^{3}

 

    \begin{align*} \left( 2x^3\right)^{3} &= 2^3\left( x^3\right)^{3}\\&= 8x^{(3)(3)}\\&= 8x^{9}\\\end{align*}

 

2 \left( -3 x^2\right)^{3}

 

    \begin{align*} \left(-3 x^2\right)^{3} &= (-3)^3\left( x^2\right)^{3}\\&= -27x^{(2)(3)}\\&= -27x^{6}\\\end{align*}

 

3 \left( \frac{2}{3} x^3\right)^{2}

 

    \begin{align*} \left( \frac{2}{3} x^3\right)^{2} &= \left( \frac{2}{3}\right)^{2}\left( x^3\right)^{2}\\&= \frac{2^2}{3^2} x^{(3)(2)}\\&= \frac{4}{9} x^{6}\\\end{align*}

 

>

Die Plattform, die Lehrer/innen und Schüler/innen miteinander verbindet

Du findest diesen Artikel toll? Vergib eine Note!

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars 4,00 (2 Note(n))
Loading...

Eva