Division eines Polynoms durch eine Zahl

 

Wenn wir ein Polynom durch eine Zahl dividieren, erhalten wir als Ergebnis ein anderes Polynom, das die folgenden Eigenschaften besitzt :

 

  • Das resultierende Polynom hat den selben Grad wie das Polynom, das dividiert wurde.
  • Die Koeffizienten der Polynome erhält man, indem jeder einzelne Koeffizient des Polynoms durch die Zahl dividiert wird
  • Die unbekannten Variablen bleiben an der gleichen Stelle.

 

 

Beispiele:

 

\displaystyle \frac{2x^3 - 4x^2 + 6x - 2}{2} =

\displaystyle \frac{2x^3}{2} - \frac{4x^2 }{2} +\frac{6x}{2} - \frac{2}{2} =

\displaystyle  x^3 - 2x^2 + 3x - 1

 

\displaystyle \frac{6x^3 - 3x^2 + 9x - 4}{3} =

\displaystyle \frac{6x^3}{3} - \frac{3x^2 }{3} +\frac{9x}{3} - \frac{4}{3} =

\displaystyle 2x^3 - x^2 + 3x - \frac{4}{3}

 

Division eines Polynoms durch ein Monom

 

Bei der Division eines Polynoms durch ein Monom wird jedes Monom des Polynoms durch das Monom dividiert, solange bis der Grad des Dividenden kleiner als der Grad des Divisors ist.

 

 

Beispiele:

 

\displaystyle \frac{2x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 12x}{2x} =

\displaystyle \frac{2x^4}{2x} - \frac{4x^3 }{2x} +\frac{8x^2}{2x} - \frac{12x}{2x}=

\displaystyle x^{3}-2x^{2}+4x -6

 

\displaystyle \frac{2x^6 - 4x^4 + x^2 }{2x^2} =

\displaystyle \frac{2x^6}{2x^2} - \frac{4x^4 }{2x^2} +\frac{x^2 }{2x^2} =

\displaystyle x^4 - 2x^2 + \frac{1}{2}

 

Division eines Polynoms durch ein Polynom

 

Um die Polynomdivision zu erklären, sehen wir uns das folgende praktische Beispiel an:

 

 

\displaystyle P\left ( x \right ) = x^{5}+2x^{3} - x -8

 \displaystyle Q\left ( x \right ) = x^{2}-2x +1

 

\displaystyle \frac{P(x)}{ Q(x)}

 

Wir schreiben den Dividenden auf die linke Seite. Ist das Polynom nicht vollständig, lassen wir an den entprechenden Stellen eine Lücke. In diesem Fall bedeutet das, dass wir jeweils Platz für das Element vierten Grades und das Element zweiten Grades lassen.

 

 

x^5 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +2x^3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x-8 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  dividido \ \  por \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  x^2-2x + 1

 

 

Den Divisor stellen wir auf die rechte Seite.

 

 

Wir dividieren das erste Monom des Dividenden durch das erste Monom des Divisors.

 

\displaystyle \frac{x^5}{ x^2 }= x^3

 

 

Wir multiplizieren jeden Term des Polynoms des Divisors mit dem vorher erhaltenen Ergebnis und subtrahieren es vom Polynom des Dividenden:

 

Das heißt :  \displaystyle (x^3)(x^2-2x+1) = x^5-2x^4+x^3

 

Wir beachten dabei, dass das Vorzeichen umgedreht wird, da wir subtrahieren:

\displaystyle -x^5+2x^4-x^3

 

 

Polynomdivision , erster algebraischer Term

 

 

Wir dividieren das erste Monom des Dividenden noch einmal durch das erste Monom des Divisors.

 

\displaystyle \frac{2x^4}{x^2} = 2x^2

 

Das Ergebnis multiplizieren wir mit dem Divisor und subtrahieren es vom Dividenden.

 

\displaystyle (2x^2)(x^2-2x+1)= 2x^4-4x^3+2x^2

 

Wir beachten dabei, dass das Vorzeichen umgedreht wird, da wir subtrahieren:

 

\displaystyle -2x^4+4x^3-2x^2

 

 

Polynomdivision , zweiter algebraischer Term

 

 

Wir verfahren wie vorhin.

 

\displaystyle \frac{5x^3}{x^2}= 5x

 

Das Ergebnis multiplizieren wir mit dem Divisor und subtrahieren es vom Dividenden.

 

\displaystyle (5x)(x^2-2x+1)= 5x^3-10x^2+5x

 

Wir beachten dabei, dass das Vorzeichen umgedreht wird, da wir subtrahieren:

 

\displaystyle -5x^3+10x^2-5x

 

Polynomdivision , dritter algebraischer Term

 

Wir führen die gleichen Rechenschritte durch.

 

\displaystyle \frac{8x^2}{x^2}= 8

 

Das Ergebnis multiplizieren wir mit dem Divisor und subtrahieren es vom Dividenden.

 

\displaystyle (8)(x^2-2x+1)= 8x^2-16x+8

 

Wir beachten dabei, dass das Vorzeichen umgedreht wird, da wir subtrahieren:

\displaystyle -8x^2+16x-8

 

Ergebnis der Polynomdivision

 

Wir dividieren nun nicht mehr weiter, da der Grad von 10x-16 niedriger ist als der Grad des Divisors.

 

Quotient oder Ergebnis der Division\displaystyle x^3+2x^2+5x+8

 

Rest: \displaystyle 10x - 16

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Eva