Kapitel

Methoden zur Faktorisierung und Ermittlung von Nullstellen

In einer Gleichung der Form P(x) = 0, kann das Polynom P(x) in Faktoren ersten und zweiten Grades  zerlegt werden. Dafür wendet man den Divisionssatz und das Horner-Schema an. Außerdem zieht man die allgemeine Formel zur Hilfe heran.

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Los geht's

Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Nullstellen eines Polynoms und ihrer Faktorisierung?

Bei einem Polynom der Form P(x)=a_0 + a_1 x +a_2x^2+...+a_{k-1}x^{k-1}+a_k x^k des Grades k mit den Nullstellen r_1,\, r_2,\, ...\, ,\, r_k faktorisiert man wie folgt

P(x)= a_k (x-r_1)\cdot (x-r_2) \cdot ... \cdot (x-r_k)

Beispiel

1 P(x) = 2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6

Finde die Teiler des konstanten Glieds: \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \pm 6.

Wende den Divisionssatz an und du erhältst die Werte, für welche die Division exakt ist. Beginne mit 1.

P(1) = 2 \cdot 1^4 + 1^3 - 8 \cdot 1^2 - 1 + 6 = 2 + 1- 8 - 1 + 6 = 0

Da das Ergebnis Null ist, ist die Division von P(x) durch (x-1) exakt, das heißt man kann nun das Horner-Schema anwenden.

Anwendung des Horner-Schemas.

 

{\begin{matrix} 2 & 1 & -8 & -1 & \hspace{1mm}6 \end{matrix}}

{\begin{matrix} 1 & & \hspace{3.5mm}2 &\hspace{2mm}3 & -5 & -6 \end{matrix}}
{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 2 & 3 & -5 & -6 & 0 \end{matrix}}

 

Da die Division exakt ist, ist D = d · c, das heißt

P(x)=2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6= (x -1) \cdot (2x^3 + 3x^2 - 5x - 6)

Daraus lässt sich schließen, dass x = 1 eine Nullstelle des Polynoms P(x) ist.

Führe nun dieselben Schritte für den zweiten Faktor durch.

Prüfe erneut mit 1, da der erste Faktor eine Quadratzahl sein könnte. Verwende dafür den Quotienten, der sich aus dem Horner-Schema ergibt Q(x)=2x^3 + 3x^2 - 5x - 6

Q(1) = 2 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 5x - 6 \not = 0

Da das Ergebnis nicht Null ist, prüfe mit einem anderen Teiler, z.B. mit -1

Q(- 1) = 2 \cdot (- 1)^3 + 3 \cdot (- 1)^2 - 5 \cdot (- 1) - 6= -2 + 3 + 5 - 6 = 0

Da das Ergebnis gleich Null ist, berechne die Division von Q(x) durch (x+1) nach dem Horner-Schema.

{\begin{matrix} 2 & 3 & -5 & -6 \end{matrix}}

{\begin{matrix} -1 & & -2 &-1 & \hspace{1.3mm}6 \end{matrix}}
{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 2 & \hspace{1mm}1 & -6 & \hspace{1.5mm}0 \end{matrix}}

Man kommt zu folgendem Schluss:

P(x) = 2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6= (x-1) \cdot (x +1) \cdot (2x^2+x-6) = 0

Eine weitere Nullstelle ist x = -1.

Da nun nur noch die Nullstellen von R(x)=2x^2+x-6 verbleiben und es sich um ein Polynom zweiten Grades handelt, kann die allgemeine Formel angewendet werden. Man könnte auch die vorhergehenden Schritte wiederholen, jedoch hätte diese Vorgehensweise zur Folge, dass nur ganze Nullstellen gefunden werden können und von Nachteil, wenn das Polynom nicht ganze Nullstellen hätte.

R(x)=2x^2+x-6=0

Anhand der allgemeinen Formel ergibt sich

\displaystyle x= \frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{4} = \frac{-1\pm 7}{4}

Das heißt

\displaystyle x_1= \frac{6}{4} =\frac{3}{2}

\displaystyle x_2= \frac{-8}{4} =-2

Die Lösungen sind: x = 1, x = - 1, x = -2 y x = \frac{3}{2}

Daraus lässt sich schlussfolgern, dass das Polynom P(x) wie folgt faktorisiert wird

\displaystyle P(x) = 2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6= 2 (x-1) \cdot (x +1) \cdot (x+2)\cdot \left(x-\frac{3}{2}\right)

Aufgaben zur Lösung von Gleichungen nach Horner-Schema und Divisionssatz

1 2x^3 - 7x^2 + 8x - 3 = 0

Finde die Teiler des konstanten Glieds: \pm 1,\, \pm 3.

Wende den Divisionssatz an und du erhältst die Werte, für welche die Division exakt ist. Beginne mit 1.

P(1) = 2 \cdot 1^3 - 7 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 - 3 = 0

Da das Ergebnis Null ist, ist die Division von P(x) durch (x-1) exakt, das heißt man kann nun das Horner-Schema anwenden.

{\begin{matrix} 2 & -7 & 8 & -3 \end{matrix}}

{\begin{matrix} 1 & & \hspace{4mm}2 &-5 & \hspace{1.3mm}3 \end{matrix}}
{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 2 & -5 & \hspace{1.3mm}3 & \hspace{1.5mm}0 \end{matrix}}

Entonces

P(x)= 2x^3 - 7x^2 + 8x - 3 = (x -1 ) \cdot (2x^2 - 5x + 3 ) = 0

Daraus lässt sich schließen, dass x = 1 eine Nullstelle des Polynoms P(x) ist.

Führe nun dieselben Schritte für den zweiten Faktor durch.

Prüfe erneut mit 1, da sich diese Nullstelle wiederholen könnte, das heißt, der erste Faktor könnte eine Quadratzahl sein. Verwende dafür den Quotienten, der sich aus dem Horner-Schema ergibt Q(x)=2x^2 - 5x + 3

P(1) = 2 \cdot 1^2 -5 \cdot 1 + 3 = 0

Da das Ergebnis gleich Null ist, berechne die Division von Q(x) durch (x-1) nach dem Horner-Schema.

{\begin{matrix} 2 & -5 & 3 \end{matrix}}

{\begin{matrix} 1 & & \hspace{4mm}2 &-3 \end{matrix}}
{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 2 & -3 & \hspace{1.3mm}0 \end{matrix}}

(x -1 )^2\cdot (2x -3 ) = 0

Die Lösungen sind folglich: \displaystyle x = \frac{3}{2} y x = 1

Daraus lässt sich schlussfolgern, dass das Polynom P(x) wie folgt faktorisiert wird

\displaystyle P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 8x - 3 = 2 (x -1 )^2\cdot \left(x -\frac{3}{2} \right)


2 x^3 - x^2 - 4 = 0

Finde die Teiler des konstanten Glieds: \pm 1,\, \pm 2, \, \pm 4.

Wende den Divisionssatz an und du erhältst die Werte, für welche die Division exakt ist

P(1) = 1 ^3 - 1^2 - 4 \not = 0

P(-1) = (-1)^3 - (-1) ^2 - 4 \not = 0

P(2) = 2^3- 2^2 -4 = 8 - 4 - 4 = 0

Da das Ergebnis gleich Null ist, ist die Division von P(x) durch (x-2) exakt, das heißt man kann nun das Horner-Schema anwenden.

{\begin{matrix} 1 & -1 & 0 & -4 \end{matrix}}

{\begin{matrix} 2 & & \hspace{4mm}2 &\hspace{1.5mm}2 & \hspace{1.5mm}4 \end{matrix}}
{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 1 & \hspace{1.5mm}1 & 2 & \hspace{1.5mm}0 \end{matrix}}

Folglich ist

(x- 2) \cdot (x^2+ x + 2 ) = 0

Da nun nur noch die Nullstellen von x^2+ x + 2 = 0 ermittelt werden müssen und es sich hier um eine Gleichung zweiten Grades handelt, verwendet man die allgemeine Formel

x^2+ x + 2 = 0

\displaystyle x= \frac{-1\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 2}}{2} = \frac{-1\pm \sqrt{1-8}}{2} = \frac{-1\pm \sqrt{-7}}{4}\not \in \mathbb{R}

Da sich keine reelle Zahl ergibt, kann das Polynom zweiten Grades nicht weiter zerlegt werden, das heißt, das PolynomP(x) wird wie folgt faktorisiert

P(x) =x^3 - x^2 - 4= (x - 2) \cdot (x^2+ x + 2 )

und besitzt als einzige Nullstelle: x = 2


36x^3 + 7x^2-9x + 2= 0

Finde die Teiler des konstanten Glieds: \pm 1,\, \pm 2. Wende den Divisionssatz an und du erhältst die Werte, für welche die Division exakt ist.

P(1) = 6 \cdot 1^3+ 7 \cdot 1^2- 9 \cdot 1 + 2 \not = 0

P(-1) = 6 \cdot (-1)^3+ 7 \cdot (-1)^2-9\cdot (-1) + 2 \not = 0

P(2) = 6 \cdot 2^3 + 7 \cdot 2^2 - 9 \cdot 2 + 2 \not = 0

P(-2) = 6 \cdot (-2)^3 + 7 \cdot (-2)^2 - 9 \cdot (-2) + 2 = - 48 + 28 + 18 + 2 = 0

Da das Ergebnis im letzten Fall Null ist, ist die Division von P(x) durch (x+2) exakt, das heißt man kann nun das Horner-Schema anwenden.

{\begin{matrix} 6 & \hspace{1.5mm}7 & -9 & \hspace{1.5mm}2 \end{matrix}}

{\begin{matrix} -2 & & -12 &10 & -2 \end{matrix}}
{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 6 & -5 & \hspace{1.5mm}1 & \hspace{1.5mm}0 \end{matrix}}

Folglich ist

(x+2) \cdot (6x^2 - 5x +1) = 0

Da nun nur noch die Nullstellen von 6x^2 - 5x +1 = 0 ermittelt werden müssen und es sich hier um eine Gleichung zweiten Grades handelt, verwendet man die allgemeine Formel

6x^2 -5x +1 = 0

\displaystyle x= \frac{5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 6}}{12}= \frac{5\pm \sqrt{25-24}}{12} = \frac{5\pm 1}{12}

Folglich ist

\displaystyle x_1= \frac{6}{12} =\frac{1}{2}

\displaystyle x_2= \frac{4}{12} =\frac{1}{3}

Las soluciones son: x =- 2, x = \frac{1}{2} y  x= \frac{1}{3}

Daraus lässt sich schlussfolgern, dass das Polynom P(x) wie folgt faktorisiert wird

\displaystyle P(x) = 6x^3 + 7x^2-9x + 2= 6 (x+2) \cdot \left(x-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(x-\frac{1}{3}\right)


4 x^3+ 3x^2-4x - 12 = 0

Finde die Teiler des konstanten Glieds: \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \pm 4,\, \pm 6,\, \pm 12.Wende den Divisionssatz an und du erhältst die Werte, für welche die Division exakt ist.

P(1) = 1^3+ 3 \cdot 1^2- 4 \cdot 1 - 12 \not = 0

P(-1) = (-1)^3+ 3\cdot (-1)^2-4 \cdot (-1) - 12 \not = 0

P(2) = 2^3 + 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 - 12 = 8 + 12 - 8 - 12 = 0

Da das Ergebnis gleich Null ist, ist die Division von P(x) durch (x-2) exakt, das heißt, man kann nun das Horner-Schema anwenden.

{\begin{matrix} 1 & 3 & -4 & -12 \end{matrix}}

{\begin{matrix} 2 & & \hspace{4mm}2 &\hspace{1.5mm}10 & \hspace{1.3mm}12 \end{matrix}}
{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 1 & 5 & \hspace{1.5mm}6 & \hspace{1.5mm}0 \end{matrix}}

Folglich ist

(x - 2) \cdot (x^2- 5x +6) = 0

Da nun nur noch die Nullstellen des zweiten Faktors ermittelt werden müssen x^2- 5x +6= 0 und dieser ein Polynom zweiten Grades ist, kann die allgemeine Formel angewendet werden

x^2-5x +6 = 0

\displaystyle x= \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 6}}{2}= \frac{-5\pm \sqrt{25-24}}{2} = \frac{-5\pm 1}{2}

Folglich ist

\displaystyle x_1= \frac{-4}{2} =-2

\displaystyle x_2= \frac{-6}{2} =-3

Die Lösungen sind: x = 2, x = -2, x = - 3.

Daraus lässt sich schlussfolgern, dass das Polynom P(x) wie folgt faktorisiert wird

\displaystyle P(x) = x^3+ 3x^2-4x - 12= (x - 2) \cdot (x + 2) \cdot (x +3)

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Melanie S

Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan bringe ich die Lernartikel von echten Mathe-Profis logisch und verständlich ins Deutsche, damit du als Mathelerner bei Superprof deine Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden kannst.