Kapitel

1. und 2. binomische Formel

Mit der ersten und zweiten binomische Formel berechnet man ein Binom zum Quadrat. Dieses ist gleich dem Quadrat des ersten Elements, plus 2 mal das Produkt aus dem ersten und zweiten Element, plus das Quadrat des zweiten Elements.

Wenn das Binom zum Quadrat eine Addition enthält, ist das Doppelte des ersten plus des zweiten Elements positiv.

 

\displaystyle \left \left ( a+b \right )^2=a^2+2ab+b^2

 

Wenn das Binom zum Quadrat eine Subtraktion enthält, ist das Doppelte des ersten plus des zweiten Elements negativ.

 

\displaystyle \left \left ( a-b \right )^2=a^2-2ab+b^2

 

Rechenbeispiele: 1. und 2. binomische Formel

1 (3x^5 - 2y^3)^2

1 Es handelt sich um ein Binom zum Quadrat

 

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

 

2 Finde die Terme für die einzelnen Elemente

 

a = 3x^5, \ \ b = 2y^3

 

3 Setze diese in die entsprechende binomische Formel ein

 

\begin{array}{rcl} (3x^5 - 2y^3)^2 & = & (3x^5)^2 - 2(3x^5)(2y^3) + (2y^3)^2 \end{array}

 

4 Vereinfache die Gleichung

 

\begin{array}{rcl} (3x^5 - 2y^3)^2 & = & (3x^5)^2 - 2(3x^5)(2y^3) + (2y^3)^2 \\\\ & = & 9x^{10} -12x^5y^3 + 4y^6 \end{array}

 

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Los geht's

3. binomische Formel

Das Produkt aus einer Summe und einer Differenz aus zwei Binomen ist gleich die Differenz der jeweiligen Elemente zum Quadrat. Diese wird anhand der dritten binomischen Formel berechnet.

 

\displaystyle \left ( a+b \right )\left ( a-b \right )=a^2-b^2

 

Rechenbeispiele: 3. binomische Formel

1 (2x + 5) · (2x - 5) = (2x)² − 5² = 4x² − 25

 

2 (2x² + y³) · (2x² − y³) = (2x²)² − (y³)² = 4x4 − y6

 

3 (3x^5 - 2y^3)(3x^5 + 2y^3)

1 Es handelt sich um ein Produkt aus einer Summe und einer Differenz, die als Differenz der einzelnen Elemente zum Quadrat geschrieben werden kann.

 

(a - b)(a + b) = a^2 - b^2

 

2 Finde die Terme für die einzelnen Elemente

 

a = 3x^5, \ \ b = 2y^3

 

3 Setze diese in die dritte binomische Formel ein

 

\begin{array}{rcl} (3x^5 - 2y^3) (3x^5 + 2y^3) & = & (3x^5)^2 - (2y^3)^2 \end{array}

 

4 Vereinfache die Gleichung

 

\begin{array}{rcl} (3x^5 - 2y^3) (3x^5 + 2y^3) & = & (3x^5)^2 - (2y^3)^2 \\\\ & = & 9x^{10} - 4y^6 \end{array}

 

4 (3x^2 - 2x + 5) (3x^2 + 2x - 5)

1 Es handelt sich um ein Produkt aus einer Summe und einer Differenz. Um dieses lösen zu können, teilen wir die beiden Faktoren auf

 

\left[ 3x^2 - (2x - 5)\right] \left[ 3x^2 + (2x - 5)\right]

 

2 Wende die dritte binomische Formel an

 

(a - b) (a - b) = a^2 - b^2

 

3 Finde die Terme für die einzelnen Elemente

 

a = 3x^2, \ \ b = 2x - 5

 

4 Setze diese in die dritte binomische Formel ein

 

\begin{array}{rcl} \left[ 3x^2 - (2x - 5)\right] \left[ 3x^2 + (2x - 5)\right] & = & (3x^2)^2 - (2x - 5)^2 \end{array}

 

5 Löse den zweiten Term anhand der zweiten binomischen Formel

 

\begin{array}{rcl} (2x - 5)^2 & = & (2x)^2 - 2(2x)(5) + (5)^2 \\\\ & = & 4x^2 - 20x + 25 \end{array}

 

6 Setze das Ergebnis in die Gleichung ein und vereinfache

 

\begin{array}{rcl} \left[ 3x^2 - (2x - 5)\right] \left[ 3x^2 + (2x - 5)\right] & = & (3x^2)^2 - (2x - 5)^2 \\\\ & = & (9x^4) - (4x^2 - 20x + 25) \\\\ & = & 9x^4 - 4x^2 + 20x - 25 \end{array}

 

Binomische Summen und Differenzen dritten Grades

Ein Binom dritten Grades, das aus einer Summe besteht, wird anhand der folgenden Formel gelöst:

 

\displaystyle \left ( a+b \right )^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

 

Ein Binom dritten Grades, das aus einer Differenz besteht, wird anhand der folgenden Formel gelöst:

 

\displaystyle \left ( a+b \right )^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

 

Rechenbeispiele: Binomische Summen und Differenzen dritten Grades

1 (x + 3)³ =

 

= x³ + 3 · x² · 3 + 3 · x · 3² + 3³ =

= x³ + 9x² + 27x + 27

 

2 (2x − 3)³ =

 

= (2x)³ + 3 · (2x)² · (−3) + 3 · 2x · (−3)² + (−3)³ =

= 8x³ − 36x² + 54x − 27

 

Hier erhält man die binomische Formel einer Differenz dritten Grades:

 

\displaystyle \left ( a-b \right )^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

 

3 (−3x² + 2x)³ =

 

= (−3x²)³ + 3 · (−3x²)² · (2x) + 3 · (−3x²) · (2x)² + (2x)³=

= −27x6 + 3 · 9x4 · 2x − 3 · 3x² · 4x² + 8x³ =

= −27x6 + 54x5 − 36x4 + 8x³

 

Hier erhält man eine dritte Variante der Formel:

 

\displaystyle\left \left ( -a+b \right )^3=-a^3+3a^2b-3ab^2+b^3

 

4 (−3xy² − 2xy)³ =

 

= (−3xy²)³ + 3 · (−3xy²)² · (−2xy) + 3 · (−3xy²) · (−2xy)² + (−2xy)³ =

= −27x³y6 − 3 · 9x²y4 · 2xy − 3 · 3xy² · 4x²y² − 8x³y³ =

= −27x³y6 − 54x³y5 − 36x³y4− 8x³y³

 

Und hier eine vierte:

 

\displaystyle \left ( -a-b \right )^3=-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3

 

Trinome zum Quadrat

Bei Trinomen zum Quadrat werden die einzelnen Elemente nach folgender Regel in eine Summe umgeschrieben: das Quadrat des ersten Elements plus das Quadrat des zweiten, plus das Quadrat des dritten, plus das zweifache Produkt aus dem ersten und zweiten Element, plus das zweifache Produkt aus dem ersten und dritten Element, plus das zweifache Produkt aus dem zweiten und dritten Element.

 

\displaystyle\left (a+b+c \right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc

 

Rechenbeispiele: Trinome zum Quadrat

1 (3x^2 - 2x + 5)^2

1 Um das Trinom zum Quadrat zu lösen, teile es in zwei Einheiten auf

 

\left[ (3x^2 - 2x) + 5\right]^2

 

2 Wende die erste binomische Formel an

 

(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2

 

3 Ermittle die Terme für die einzelnen Elemente

 

a = 3x^2 - 2x, \ \ b = 5

 

4 Setze diese in die binomische Formel ein

 

\begin{array}{rcl} \left[ (3x^2 - 2x) + 5\right]^2 & = & (3x^2 - 2x)^2 + 2(3x^2 - 2x)(5) + (5)^2 \end{array}

 

5 Löse den ersten Term mithilfe der binomischen Formel auf

 

\begin{array}{rcl} (3x^2 - 2x)^2 & = & (3x^2)^2 - 2(3x^2)(2x) + (2x)^2 \\\\ & = & 9x^4 -12x^3 + 4x^2 \end{array}

 

6 Setze das Ergebnis in die vorherige Gleichung ein und vereinfache

 

\begin{array}{rcl} \left[ (3x^2 - 2x) + 5\right]^2 & = & (3x^2 - 2x)^2 + 2(3x^2 - 2x)(5) + (5)^2 \\\\ & = & (9x^4 -12x^3 + 4x^2) + (30x^2 - 20x) + 25 \\\\ & = & 9x^4 -12x^3 + 4x^2 + 30x^2 - 20x + 25 \\\\ & = & 9x^4 - 12x^3 + 34x^2 - 20x + 25 \end{array}

 

Faktorisierung von Binomen dritten Grades

In diesem Abschnitt schreiben wir die Gleichungen zu einem Produkt um, das heißt, wir faktorisieren sie.

Binome dritten Grades werden wie folgt faktorisiert:

 

\displaystyle a^3+b^3=\left ( a+b \right )\left ( a^2-ab+b^2 \right )

 

Rechenbeispiele: Faktorisierung binomischer Summen dritten Grades

Faktorisiere den folgenden mathematischen Ausdruck:

 

\displaystyle 8x^{3}+27=?

 

Ermittle zuerst, wie du die Terme umschreiben musst, damit die Formel für die Faktorisierung von binomischen Summen dritten Grades angewendet werden kann. In diesem Fall kann sie wie folgt umgeschrieben werden:

 

\displaystyle \left ( 2x \right )^{3}+3^{3}

 

Durch Anwendung der Formel mit \displaystyle a=2x  und  \displaystyle b=3 erhält man:

 

\displaystyle \left ( 2x+3 \right )\left ( \left ( 2x \right )^{2}-\left ( 2x\cdot 3 \right ) +3^{2}\right )

 

Vereinfache soweit wie möglich:

 

\displaystyle 8x^{3}+27= \left ( 2x+3 \right )\left ( \left 4x^{2}-6x+9)

 

Rechenbeispiele: Faktorisierung binomischer Differenzen dritten Grades

Faktorisiere den folgenden mathematischen Ausdruck:

 

\displaystyle 8x^{3}-27=?

 

Wie im vorherigen Beispiel, muss zuerst ermittelt werden, wie du die Terme umschreiben musst, damit die Formel für die Faktorisierung von binomischen Differenzen dritten Grades angewendet werden kann. In diesem Fall kann sie wie folgt umgeschrieben werden:

 

\displaystyle \left ( 2x \right )^{3}-3^{3}

 

Durch Anwendung der Formel mit \displaystyle a=2x  und  \displaystyle b=3 erhält man:

 

\displaystyle \left ( 2x-3 \right )\left ( \left ( 2x \right )^{2}+\left ( 2x\cdot 3 \right ) +3^{2}\right )

 

Vereinfache soweit wie möglich:

 

\displaystyle 8x^{3}-27= \left ( 2x-3 \right )\left ( \left 4x^{2}+6x+9)

 

Binomprodukt mit gemeinsamem Faktor

Bei einem Produkt aus zwei Binomen mit einem gemeinsamen Faktor ist die Auflösung auf folgende Art möglich:

 

\displaystyle \left ( x+a \right )\left ( x+b \right )=x^2+\left ( a+b \right )x+ab

 

Rechenbeispiel: Binomprodukt mit gemeinsamem Faktor

Vereinfache die folgende Gleichung:

 

\displaystyle \left ( x+2 \right )\left ( x+3 \right )=?

 

Hier ist die Verwendung der binomischen Formeln nicht nötig. Die Gleichung kann Schritt für Schritt mit Beachtung der Vorzeichen aufgelöst werden.

Multipliziere dafür zuerst die Terme innerhalb der ersten Klammer mit denen der zweiten:

\displaystyle \left x( x+3 \right )+ \left 2\left ( x+3 \right ) =

 

\displaystyle \left ( x^{2}+3x \right )+ \left \left (2 x+3\cdot 2 \right ) =

Damit die Gleichung übersichtlich bleibt und kein Vorzeichen falsch gedeutet wird, macht es Sinn, die Klammern erst ganz am Ende aufzulösen. In diesem Fall findet kein Vorzeichenwechsel statt.

\displaystyle \left ( x^{2}+3x \right )+ \left \left (2 x+3\cdot 2 \right ) =

 

\displaystyle x^{2}+3x + 2 x+6 =x^{2}+5x+6

 

1 (x^6 + 8)(x^6 + 1)

1 Hier liegt erneut ein Binomprodukt mit gemeinsamem Faktor vor

 

(a + b)(a + c) = a^2 + (b + c) \cdot a + b \cdot c

 

2 Ermittle die Werte der Variablen aus der binomischen Formel

 

a = x^6, \ \ b = 8, \ \ c = 1,

 

3 Setze die Werte in die vorliegende Gleichung des Binomprodukts mit gemeinsamem Faktor ein

 

\begin{array}{rcl} (x^6 + 8)(x^6 + 1) & = & (x^6)^2 + (8 + 1)(x^6) + 8 \cdot 1 \end{array}

 

4 Vereinfache die Terme soweit wie möglich

 

\begin{array}{rcl} (x^6 + 8)(x^6 + 1) & = & (x^6)^2 + (8 + 1)(x^6) + 8 \cdot 1 \\\\ & = & x^{12} + 9x^6 + 8 \end{array}

 

2 (2x^2 + y)(2x^2 - 3y)

1 Hier liegt erneut ein Binomprodukt mit gemeinsamem Faktor vor

 

(a + b)(a + c) = a^2 + (b + c) \cdot a + b \cdot c

 

2 Ermittle die Werte der Variablen aus der binomischen Formel

 

a = 2x^2, \ \ b = y, \ \ c = -3y,

 

3 Setze die Werte in die vorliegende Gleichung des Binomprodukts mit gemeinsamem Faktor ein

 

\begin{array}{rcl} (2x^2 + y)(2x^2 - 3y) & = & (2x^2)^2 + (y - 3y)(2x^2) + y \cdot (-3y) \end{array}

 

4 Vereinfache die Terme soweit wie möglich

 

\begin{array}{rcl} (2x^2 + y)(2x^2 - 3y) & = & (2x^2)^2 + (y - 3y)(2x^2) + y \cdot (-3y) \\\\ & = & 4x^{4} - 4x^2 y - 3y^2 \end{array}

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Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan ist es meine Aufgabe Mathe-Artikel von wirklichen Mathe-Experten logisch und verständlich ins Deutsche zu übertragen, damit Mathelerner bei Superprof ihre Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden können. Mathematische Formeln sind für mich wie eine Sprache: um etwas ausdrücken zu können, verwendet man Formeln, die entsprechend ihrer Funktion einen bestimmten Aufbau haben und bestimmten Regeln folgen, sodass Komplexes strukturiert gelöst wird.