Definition eines Polynoms

Ein Monom ist ein algebraischer Ausdruck, der aus einem Koeffizienten, einer Variablen (im Allgemeinen x) und einem Exponenten besteht, zum Beispiel:

{\color{Red} 5}{\color{DarkGreen} x}^{{\color{Blue} 3}}

Ein Polynom ist ein algebraischer Ausdruck, der sich aus der Summe einer endlichen Zahl an Monomen zusammensetzt.

 

P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2}+ ... + a_2x^2+a_1 x + a_0

 

n ist hierbei eine natürliche Zahl und

Koeffizienten: a_n, a_{n-1},... ,a_1, a_0

Variable oder Unbekannte: x

Leitkoeffizient: a_n

Konstantes Glied: a_0

 

Beispiel

 

  • P(x) = 2x^3+ 3x^2 + 5x - 3

 

Koeffizienten: 2, 3,5, -3

Variable oder Unbekannte: x

Leitkoeffizient: 2

Konstantes Glied: -3

 

Der Grad eines Polynoms P(x) ist der höchste vorkommende Exponent der Variablen x

Polynome können anhand ihres Grades wie folgt eingeordnet werden::

 

POLYNOM EJEMPLO
Grad null P(x) = -2
Grad eins P(x) = 3x + 2
Grad zwei P(x) = 2x^2+ 3x + 2
Grad drei P(x) = x^3-2x^2+ 3x + 2
Grad vier P(x) = 5x^4 + x^3-2x^2+ 3x + 2
Grad fünf P(x) = 2x^5 -5x^4 + x^3- 2x^2+ 3x + 2

 

Arten von Polynomen

1 Nullpolynom

Alle Koeffizienten des Polynoms sind null.

P(x) = 0x^2 + 0x + 0

 

2 Homogenes Polynom

Alle Terme oder Monome des Polynoms sind vom gleichen Grad.

P(x) = 2x^2+ 3x^2

 

3 Heterogenes Polynom

Nicht alle Terme des Polynoms sind vom gleichen Grad.

P(x) = 2x^3+ 3x^2- 3

 

4 Vollständiges Polynom

Bei diesem Polynom kommen alle Terme vor, vom konstanten Glied bis zum Term mit dem höchsten Grad.

P(x) = 2x^3+ 3x^2 + 5x - 3

 

5 Unvollständiges Polynom

Bei diesem Polynom kommen nicht alle Terme vor.

P(x) = 2x^3+ 5x -3

 

6 Geordnetes Polynom

Ein Polynom ist geordnet, wenn die Monome nach absteigendem Grad sortiert sind.

P(x) = 2x^3+ 5x - 3

 

7 Gleiche Polynome
Zwei Polynome sind gleich, wenn sie folgende Eigenschaften besitzen:

Die zwei Polynome sind vom gleichen Grad.

Die Koeffizienten der Terme vom gleichen Grad sind gleich.

P(x) = 2x^3+ 5x - 3

Q(x) = 5x - 3 + 2x^3

 

8 Gleichartige Polynome
Zwei Polynome sind gleichartig, wenn sie die gleiche Variable besitzen.

P(x) = 2x^3+ 5x - 3

Q(x) = 3x^3+ 7x -2

 

9 Normierte Polynome

Ein Polynom ist normiert, wenn der Leitkoeffizient 1 ist, zum Beispiel

P(x)=x^4-5x^2+3

 

Monom

Ein Polynom, dass nur aus einem Monom besteht.

P(x) = 2x^2

 

Binom

Ein Polynom, das aus zwei Monomen besteht.

P(x) = 2x^2+ 3x

 

Trinom

Ein Polynom, das aus drei Monomen besteht.

P(x) = 2x^2+ 3x + 5

 

Zahlenwert eines Polynoms

Der Zahlenwert eines Polynoms ist das Ergebnis, das wir erhalten, wenn wir die Variable x durch eine beliebige Zahl ersetzen.

Beispiel:

Den Zahlenwert eines Polynoms berechnen: P(x) = 2x^3+ 5x - 3, für die Werte

    • x = -1

 

P(-1) = 2 \cdot (-1)^3+ 5 \cdot (-1)-3 = 2 \cdot (-1) - 5 - 3 = -2 - 5 - 3 = -10

 

    • x = 0

 

P(0) = 2 \cdot 0^3+ 5 \cdot 0 - 3 = -3

 

    • x = 1

 

P(1) = 2 \cdot 1^3+ 5 \cdot 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4

 

Polynome mit mehreren Variablen

In einem Polynom können mehrere Variablen vorkommen. In diesem Fall haben die Monome analog dazu einen Koeffizienten und mehrere Variablen, jede davon mit einem entsprechenden Exponenten. Zum Beispiel

4x^3yz

 

Beispiele:

\text{Eine Variable} \hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} P(x)=x^4-x+3

\text{Zwei Variablen} \hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} P(x,y)=2x^2y-3x^5+3

\text{Drei Variablen} \hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} P(x,y,z)= xz-3x^5y^2z^2+3z

 

Auch hier kann der jeweilige Zahlenwert berechnet werden

P(x,y)=2x^2y-3x^3+3

P(2,1)=2 (2)^2(1)-3(2)^3+3=8-24+3=-13

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