Im Folgenden lösen wir Aufgaben zu den Thematiken:

 

  • Faktorisierung eines Binoms
  • Faktorisierung eines perfekten quadratischen Trinoms
  • Faktorisierung eines quadratischen Trinoms
  • Faktorisierung eines Trinoms zweiten Grades
  • Faktorisierung eines Polynoms vierten Grades
  • Faktorisierung eines unvollständigen Polynoms dritten Grades
  • Faktorisierung durch Anpassung des Gleichungsgrads

 

Polynomfaktorisierung und Ermittlung von Nullstellen: Aufgaben

 

1 x^3 + x^2

1Um  x^3 + x^2 zu faktorisieren, beachte, dass  x^2 ein gemeinsamer Faktor beider Terme ist

 

 x^3 + x^2 = x^2(x + 1)

 

2Um die Wurzel (=Nullstelle) herauszufinden, muss der Wert von  x so gewählt sein, dass die Gleichung Null ergibt. Für  x^2(x + 1) trifft dies in zwei Fällen zu: wenn  x^2 = 0 ist und wenn  x + 1 = 0 ist

 

Folglich sind die Wurzeln  x = 0 und  x = -1

 

2 2x^4 + 4x^2

 

1Um  2x^4 + 4x^2 zu faktorisieren, beachte, dass  2x^2 ein gemeinsamer Faktor beider Terme ist

 

 2x^4 + 4x^2 = 2x^2(x^2 + 2)

 

2In diesem Fall ist  x = 0 die einzige Nullstelle, da das Polynom  x^2 + 2 keine Wurzeln hat, d.h. es gibt keine reelle Zahl  x für die  x^2 + 2 = 0 wäre

3 x^2 - 4

 

1Wende die Quadratdifferenz an

 

 x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)

 

2Die Wurzeln, mit denen jeder Faktor Null ergibt, sind

 

 x = -2 y  x = 2

 

4 x^4 - 16

 

1Wende die Quadratdifferenz an

 

 x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4)

 

2Wende die Quadratdifferenz erneut beim zweiten Faktor an

 

 x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4) = (x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)

 

3Die Wurzeln, mit denen jeder Faktor Null ergibt, sind

 

 x = -2 y  x = 2

 

Beachte, dass der Faktor  x^2 + 4 keine reelle Wurzel besitzt

 

 x^2 + 6x + 9

 

1Hier liegt ein perfektes quadratisches Trinom vor, das auch als quadratisches Binom geschrieben werden kann. Stelle die folgenden Fragen:

 

Welche Zahl zum Quadrat ergibt  9 ? Und welche Zahl zum Quadrat ergibt  x^2 ?
Prüfe, wann das doppelte Lösungsprodukt gleich  6x ist
2Dies ist für  3 und  x der Fall, d.h. die Faktorisierung muss wie folgt aussehen

 

 x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2

3Die Wurzel, mit denen jeder Faktor Null ergibt, ist

 

 x = -3 . Man nennt sie auch doppelte Nullstelle

 

6 x^2 - x - 6

 

1Wende in diesem Fall die allgemeine Formel für Gleichungen zweiten Gradesan. Dafür muss die Gleichung gleich Null gesetzt werden, das heißt  x^2 - x - 6 = 0 . Ermittle die Werte von  x (Nullstellen der Gleichung) mithilfe der allgemeinen Formel

 

 \begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \\\\ & = & \cfrac{1 \pm 5}{2} \end{array}

 

Löse auf und du erhältst die Nullstellen  x = 3, \ x = -2

 

2In diesem Fall sind die Faktoren der Gleichung

 

 x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) .

 

7 x^4 - 10x^2 + 9

 

1Setze das Polynom gleich Null und führe einen Variablentausch durch  x^2 = t
Durch Einsetzen der neuen Variable erhältst du  t^2 - 10t + 9 = 0

 

2Löse die Gleichung zweiten Grades auf

 

 \begin{array}{rcl} t & = & \cfrac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(9)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2} \\\\ & = & \cfrac{10 \pm 8}{2} \end{array}

 

Du erhältst die Nullstellen  t = 9, \ t = 1

 

3Durch Variablentausch erhältst du  x^2 = t ; löse auf und du erhältst die Nullstellen

 

 x = \pm 3, \ x = \pm 1

 

4In diesem Fall sind die Faktoren der Gleichung

 

 x^4 - 10x^2 + 9 = (x - 3)(x + 3)(x - 1)(x + 1) .

 

8 x^4 - 2x^2 - 3

 

1Setze das Polynom gleich Null und führe einen Variablentausch durch  x^2 = t
Durch Einsetzen der neuen Variable erhältst du  t^2 - 2t - 3 = 0

 

2Löse die Gleichung zweiten Grades auf

 

 \begin{array}{rcl} t & = & \cfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \\\\ & = & \cfrac{2 \pm 4}{2} \end{array}

 

Du erhältst die Nullstellen  t = 3, \ t = -1

 

3Durch Variablentausch erhältst du  x^2 = t ; löse auf und du erhältst die Nullstellen

 

 x = \pm \sqrt{3} ; beachte, dass  x^2 = -1 keine Lösungen besitzt

 

4In diesem Fall sind die Faktoren der Gleichung

 

 x^4 - 2x^2 - 3 = (x^2 + 1)(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3}) .

 

9 2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6

 

1 Finde die Teiler des konstanten Glieds. Diese sind  \pm 1, \pm 2, \pm 3 .

 

2 Durch Anwendung des Divisionssatzes kannst du ermitteln für welche Werte die Division exakt ist.

 

 P(1) = 2(1)^4 + (1)^3 - 8(1)^2 - (1) + 6 = 0

 

3 Führe eine Division nach dem Horner-Schema durch

 

 \begin{array}{rrrrrr} & 2 & 1 & -8 & -1 & 6 \\ 1 &  & 2 & 3 & -5 & -6 \\ \hline & 2 & 3 & -5 & -6 & 0 \end{array}

 

Da die Division exakt ist, ist  x = 1 eine Nullstelle und das entsprechende Polynom ist

 

 2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6 = (x - 1)(2x^3 + 3x^2 - 5x - 6)

 

4 Wende die gleiche Vorgehensweise beim zweiten Faktor an. Prüfe mit  1 , da der erste Faktor eine Quadratzahl sein könnte.

 

 P(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 5(1) - 6 \neq 0

 

 1 ist also keine Nullstelle des zweiten Faktors. Prüfe mit  -1

 

 P(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 5(-1) - 6 = 0

 

5 Führe eine Division nach dem Horner-Schema durch

 

 \begin{array}{rrrrr} & 2 & 3 & -5 & -6  \\ -1 & & -2 & -1 & 6  \\ \hline & 2 & 1 & -6 & 0  \end{array}

 

Da die Division exakt ist, ist  x = -1 eine Nullstelle und das entsprechende Polynom ist

 

 2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6 = (x - 1)(x + 1)(2x^2 + x - 6)

 

6 Ermittle nun mithilfe der Gleichung zweiten Grades den dritten Faktor oder auf die gleiche Weise wie gerade, wobei dann der Nachteil ist, dass man nur ganze Nullstellen finden kann.

 

 \begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2 - 4(2)(-6)}}{2(2)} \\\\ & = & \cfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} \\\\ & = & \cfrac{-1 \pm 7}{4} \end{array}

 

Die Nullstellen sind  x = -2, \ x = \cfrac{3}{2} und das entsprechende Polynom ist

 

 2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6 = (x - 1)(x + 1)(x + 2) \left ( 2x - 3 \right )

 

10 2x^3 - 7x^2 + 8x - 3

 

1 Finde die Teiler des konstanten Glieds. Diese sind  \pm 1, \pm 3 .

 

2 Durch Anwendung des Divisionssatzes kannst du ermitteln für welche Werte die Division exakt ist.

 

 P(1) = 2(1)^3 - 7(1)^2 + 8(1) - 3 = 0

 

3 Führe eine Division nach dem Horner-Schema durch

 

 \begin{array}{rrrrr} & 2 & -7 & 8 & -3 \\ 1 & & 2 & -5 & 3  \\ \hline & 2 & -5 & 3 & 0 \end{array}

 

Da die Division exakt ist, ist  x = 1 eine Nullstelle und das entsprechende Polynom ist

 

 2x^3 - 7x^2 + 8x - 3 = (x - 1)(2x^2 - 5x + 3)

 

4 Wende die gleiche Vorgehensweise beim zweiten Faktor an. Prüfe mit  1 , da der erste Faktor eine Quadratzahl sein könnte.

 

 P(1) = 2(1)^2 - 5(1) + 3 = 0

 

5 Führe eine Division nach dem Horner-Schema durch

 

 \begin{array}{rrrr} & 2 & -5 & 3 \\ 1 & & 2 & -3 \\ \hline & 2 & -3 & 0 \end{array}

 

Da die Division exakt ist, ist  x = 1 ine Nullstelle und das entsprechende Polynom ist

 

 2x^3 - 7x^2 + 8x - 3 = (x - 1)^2(2x - 3)

 

11 x^3 - x^2 - 4

 

1 Finde die Teiler des konstanten Glieds. Diese sind  \pm 1, \pm 2, \pm 4 .

 

2 Durch Anwendung des Divisionssatzes kannst du ermitteln für welche Werte die Division exakt ist.

 

 P(2) = (2)^3 - (2)^2 - 4 = 0

 

3 Führe eine Division nach dem Horner-Schema durch

 

 \begin{array}{rrrrr} & 1 & -1 & 0 &- 4 \\ 2 & & 2 & 2 & 4 \\ \hline & 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}

 

Da die Division exakt ist, ist  x = 2 eine Nullstelle und das entsprechende Polynom ist

 

 x^3 - x^2 - 4 = (x - 2)(x^2 + x + 2)

 

4 Ermittle nun mithilfe der Gleichung zweiten Grades den zweiten Faktor oder auf die gleiche Weise wie gerade, wobei dann der Nachteil ist, dass man nur ganze Nullstellen finden kann.

 

 \begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{-1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} \\\\ & = & \cfrac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2} \end{array}

 

Da die Diskriminante negativ ist, besitzt das Polynom keine reellen Nullstellen. Daher ist die einzige Nullstelle  x = 2 und das entsprechende Polynom ist

 

 x^3 - x^2 - 4 = (x - 2)(x^2 + x + 2)

 

12 x^3 + 3x^2 - 4x - 12

 

1 Finde die Teiler des konstanten Glieds. Diese sind  \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 .

 

2 Durch Anwendung des Divisionssatzes kannst du ermitteln für welche Werte die Division exakt ist.

 

 P(2) = (2)^3 + 3(2)^2 - 4(2) - 12 = 0

 

3 Führe eine Division nach dem Horner-Schema durch

 

 \begin{array}{rrrrr} & 1 & 3 & -4 & -12 \\ 2 & & 2 & 10 & 12 \\ \hline & 1 & 5 & 6 & 0 \end{array}

 

Da die Division exakt ist, ist  x = 2 eine Nullstelle und das entsprechende Polynom ist
 x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = (x - 2)(x^2 + 5x + 6)

 

4 Ermittle nun mithilfe der Gleichung zweiten Grades den zweiten Faktor oder auf die gleiche Weise wie gerade, wobei dann der Nachteil ist, dass man nur ganze Nullstellen finden kann.

 

 \begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(5) \pm \sqrt{(5)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \\\\ & = & \cfrac{-5 \pm 1}{2} \end{array}

 

Die Nullstellen des zweiten Faktors sind  x = -2, \ x = -3 und das entsprechende Polynom ist

 

 x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)

 

13 6x^3 + 7x^2 - 9x + 2

 

1 Finde die Teiler des konstanten Glieds. Diese sind  \pm 1, \pm 2 .

 

2 Durch Anwendung des Divisionssatzes kannst du ermitteln für welche Werte die Division exakt ist.

 

 P(-2) = 6(-2)^3 + 7(-2)^2 - 9(-2) + 2 = 0

 

3 Führe eine Division nach dem Horner-Schema durch

 

 \begin{array}{rrrrr} & 6 & 7 & -9 & 2 \\ -2 & & -12 & 10 & -2 \\ \hline & 6 & -5 & 1 & 0 \end{array}

 

Da die Division exakt ist, ist  x = -2 eine Nullstelle und das entsprechende Polynom ist

 

 6x^3 + 7x^2 - 9x + 2 = (x + 2)(6x^2 - 5x + 1)

 

4 Ermittle nun mithilfe der Gleichung zweiten Grades den zweiten Faktor oder auf die gleiche Weise wie gerade, wobei dann der Nachteil ist, dass man nur ganze Nullstellen finden kann.
 \begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(6)(1)}}{2(6)} \\\\ & = & \cfrac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{12} \\\\ & = & \cfrac{5 \pm 1}{12} \end{array}

 

Die Nullstellen des zweiten Faktors sind  x = \cfrac{1}{2}, \ x = \cfrac{1}{3} und das entsprechende Polynom ist

 

 6x^3 + 7x^2 - 9x + 2 = (x + 2)(2x - 1)(3x - 1)

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Los geht's

Polynomfaktorisierung: Aufgaben

 

 9x^4 - 4x^2

 

 x^5 + 20x^3 + 100x

 

 3x^5 - 18x^3 + 27x

 

 2x^3 - 50x

 

 2x^5 - 32x

 

 2x^2 + x - 28

 

 

1 9x^4 - 4x^2

 

Klammere den gemeinsamen Faktor  x^2 aus

 

 9x^4 - 4x^2 = x^2 \left ( 9x^2 - 4 \right )

 

Schreibe die quadratische Differenz als Summe mal Differenz aus

 

 9x^4 - 4x^2 = x^2 \left ( 9x^2 - 4 \right ) = x^2(3x - 2)(3x + 2)

 

2 x^5 + 20x^3 + 100x

 

Klammere den gemeinsamen Faktor  x aus

 

 x^5 + 20x^3 + 100x = x \left ( x^4 + 20 x^2 + 100 \right )

 

Du erhältst ein perfektes quadratisches Trinom, das man auch als Binom zum Quadrat darstellen kann
 x^5 + 20x^3 + 100x = x \left ( x^4 + 20 x^2 + 100 \right ) = x \left ( x^2 + 10 \right )^2

 

3 3x^5 - 18x^3 + 27x

 

Klammere den gemeinsamen Faktor  3x aus

 

 3x^5 - 18x^3 + 27x = 3x \left ( x^4 - 6 x^2 + 9 \right )

 

Du erhältst ein perfektes quadratisches Trinom, das man auch als Binom zum Quadrat darstellen kann

 

 \begin{array}{rcl} 3x^5 - 18x^3 + 27x & = & 3x \left ( x^4 - 6 x^2 + 9 \right ) \\\\ & = & 3x \left ( x^2 - 3 \right )^2 \end{array}

 

Schreibe die quadratische Differenz als Summe mal Differenz aus

 

 \begin{array}{rcl} 3x^5 - 18x^3 + 27x & = & 3x \left ( x^4 - 6 x^2 + 9 \right ) \\\\ & = & 3x \left ( x^2 - 3 \right )^2 \\\\ & = & 3x \left ( x - \sqrt{3} \right )^2 \left ( x + \sqrt{3} \right )^2 \end{array}

 

4  2x^3 - 50x

 

Klammere den gemeinsamen Faktor  2x aus

 

 2x^3 - 50x = 2x \left ( x^2 - 25 \right )

 

Schreibe die quadratische Differenz als Summe mal Differenz aus

 

 2x^3 - 50x = 2x \left ( x^2 - 25 \right ) = 2x(x - 5)(x + 5)

 

5 2x^5 - 32x

 

Klammere den gemeinsamen Faktor  2x aus

 

 2x^5 - 32x = 2x \left ( x^4 - 16 \right )

 

Schreibe die quadratische Differenz als Summe mal Differenz aus

 

 \begin{array}{rcl} 2x^5 - 32x & = & 2x \left ( x^4 - 16 \right ) \\\\ & = & 2x \left ( x^2 + 4 \right ) \left ( x^2 - 4 \right ) \end{array}

 

Der zweite Faktor ist ein irreduzibles Polynom oder Primpolynom

 

Der dritte Faktor ist eine Quadratdifferenz, die als Summe mal Differenz dargestellt wird

 

 \begin{array}{rcl} 2x^5 - 32x & = & 2x \left ( x^4 - 16 \right ) \\\\ & = & 2x \left ( x^2 + 4 \right ) \left ( x^2 - 4 \right ) \\\\ & = & 2x \left ( x^2 + 4 \right )(x - 2)(x + 2) \end{array}

 

6 2x^2 + x - 28

 

Setze das Trinom zweiten Grades gleich Null und löse die Gleichung auf

 

 2x^2 + x - 28 = 0

 

 \begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2 - 4(2)(-28)}}{2(2)} \\\\ & = & \cfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 224}}{4} \\\\ & = & \cfrac{-1 \pm 15}{4} \end{array}

 

Die Nullstellen sind  x = -4, \ x = \cfrac{7}{2} und das entsprechende Polynom ist
 2x^2 + x - 28 = (x + 4)(2x - 7)

 

Linearfaktorzerlegung: Aufgaben

 

1 xy - 2x - 3y + 6

 

2 25x^2 - 1

 

3 36x^6 - 49

 

4 x^2 - 2x + 1

 

5 x^2 - 6x + 9

 

6 x^2 - 20x + 100

 

7 x^2 + 10x + 25

 

8 x^2 + 14x + 49

 

9 x^3 - 4x^2 + 4x

 

10 3x^7 - 27x

 

11 x^2 - 11x + 30

 

12 3x^2 - 10x + 3

 

13 2x^2 - x - 1

 

 

1 xy - 2x - 3y + 6

 

Bei dieser Aufgabe kann zweimal ein gemeinsamer Faktor ausgeklammert werden. Klammere bei den ersten beiden Summanden  x aus und bei den zweiten beiden  -3

 

 xy - 2x - 3y + 6 = x(y - 2) - 3(y - 2)

 

Klammere den gemeinsamen Faktor  (y - 2) aus

 

 xy - 2x - 3y + 6 = x(y - 2) - 3(y - 2) = (y - 2)(x - 3)

 

2 25x^2 - 1

 

ist eine quadratische Differenz

 

 25x^2 - 1 = (5x - 1)(5x + 1)

 

3 36x^6 - 49

 

Schreibe die quadratische Differenz als Summe mal Differenz aus

 

 36x^6 - 49 = \left (6x^3 - 7 \right ) \left (6x^3 + 7 \right )

 

4 x^2 - 2x + 1

 

Du erhältst ein perfektes quadratisches Trinom, das man auch als Binom zum Quadrat darstellen kann

 

Das Quadrat von  x ist  x^2 , das Quadrat von  1 ist  1 und das Doppelte von  x mal  1 ist  2x

 

 x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2

 

5 x^2 - 6x + 9

 

Du erhältst ein perfektes quadratisches Trinom, das man auch als Binom zum Quadrat darstellen kann

 

Das Quadrat von  x ist  x^2 , das Quadrat von  3 ist  9 und das Doppelte von  x mal  2 ist  6x

 

 x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2

 

6 x^2 - 20x + 100

 

Du erhältst ein perfektes quadratisches Trinom, das man auch als Binom zum Quadrat darstellen kann

 

Das Quadrat von  x ist  x^2 , das Quadrat von  10 ist  100 und das Doppelte von  x mal  10 ist  20x

 

 x^2 - 20x + 100 = (x - 10)^2

 

7 x^2 + 10x + 25

 

Du erhältst ein perfektes quadratisches Trinom, das man auch als Binom zum Quadrat darstellen kann

 

Das Quadrat von  x ist  x^2 , das Quadrat von  5 ist  25 und das Doppelte von  x mal  5 ist  10x

 

 x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2

 

8 x^2 + 14x + 49

 

Du erhältst ein perfektes quadratisches Trinom, das man auch als Binom zum Quadrat darstellen kann
Das Quadrat von  x ist  x^2 , das Quadrat von  7 ist  49 und das Doppelte von  x mal  7 ist  14x

 

 x^2 + 14x + 49 = (x + 7)^2

 

9 x^3 - 4x^2 + 4x

 

Klammere den gemeinsamen Faktor aus

 

 x^3 - 4x^2 + 4x = x \left ( x^2 - 4x + 4 \right )

 

Du erhältst ein weiteres perfektes quadratisches Trinom

 

Das Quadrat von  x ist  x^2 , das Quadrat von  2 ist  4 und das Doppelte von  x mal  2 ist  4x

 

 \begin{array}{rcl} x^3 - 4x^2 + 4x & = & x \left ( x^2 - 4x + 4 \right ) \\\\ & = & x(x - 2)^2 \end{array}

 

10 3x^7 - 27x

 

Klammere den gemeinsamen Faktor aus

 

 3x^7 - 27x = 3x \left ( x^6 - 9 \right )

 

Schreibe die quadratische Differenz als Summe mal Differenz aus

 

 3x^7 - 27x = 3x \left ( x^3 + 3 \right ) \left ( x^3 - 3 \right )

 

Wende die Würfelsumme und -differenz an

 

 \begin{array}{rcl} 3x^7 - 27x & = & 3x \left ( x^3 + 3 \right ) \left ( x^3 - 3 \right ) \\\\ & = & 3x \left (x + \sqrt[3]{3} \right ) \left (x^2 - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} \right )\left (x - \sqrt[3]{3} \right ) \left (x^2 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} \right ) \end{array}

 

11 x^2 - 11x + 30

 

Setze das Polynom gleich Null

 

 x^2 - 11x + 30 = 0

 

Löse die Gleichung zweiten Grades auf

 

 \begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2 - 4(1)(30)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2} \\\\ & = & \cfrac{11 \pm 1}{2} \end{array}

 

Die Nullstellen sind  x = 6, \ x = 5 und das entsprechende Polynom ist

 

 x^2 - 11x + 30 = (x - 5)(x - 6)

 

12 3x^2 - 10x + 3

 

Löse die Gleichung zweiten Grades auf

 

 \begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(3)(3)}}{2(3)} \\\\ & = & \cfrac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} \\\\ & = & \cfrac{10 \pm 8}{6} \end{array}

 

Die Nullstellen sind  x = 3, \ x = \cfrac{1}{3} und das entsprechende Polynom ist

 

 3x^2 - 10x + 3 = (x - 3)(3x - 1)

 

13 2x^2 - x - 1

 

Löse die Gleichung zweiten Grades auf

 

 \begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} \\\\ & = & \cfrac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} \\\\ & = & \cfrac{1 \pm 3}{4} \end{array}

 

Die Nullstellen sind  x = 1, \ x = -\cfrac{1}{2} und das entsprechende Polynom ist

 

 2x^2 - x - 1 = (x - 1)(2x + 1)

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Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan, ist es meine Aufgabe Mathe-Artikel von wirklichen Mathe-Experten logisch und verständlich ins Deutsche zu übertragen, damit Mathelerner bei Superprof ihre Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden können. Mathematische Formeln sind für mich wie eine Sprache: um etwas ausdrücken zu können (den Verlauf einer Kurve, die Richtung eines Vektors, etc.) verwendet man Formeln, die entsprechend ihrer Funktion einen bestimmten Aufbau haben und bestimmten Regeln folgen. Jedes Element einer Formel ist definiert und anhand der Definitionen lassen sich komplexe Rechenaufgaben strukturiert lösen.