Kapitel

 

Im Folgenden lösen wir Aufgaben zu den Thematiken:

 

  • Faktorisierung eines Binoms
  • Faktorisierung eines perfekten quadratischen Trinoms
  • Faktorisierung eines quadratischen Trinoms
  • Faktorisierung eines Trinoms zweiten Grades
  • Faktorisierung eines Polynoms vierten Grades
  • Faktorisierung eines unvollständigen Polynoms dritten Grades
  • Faktorisierung durch Anpassung des Gleichungsgrads

 

Polynomfaktorisierung und Ermittlung von Nullstellen: Aufgaben

 

1 x^3 + x^2

1Um x^3 + x^2 zu faktorisieren, beachte, dass x^2 ein gemeinsamer Faktor beider Terme ist

 

x^3 + x^2 = x^2(x + 1)

 

2Um die Wurzel (=Nullstelle) herauszufinden, muss der Wert von x so gewählt sein, dass die Gleichung Null ergibt. Für x^2(x + 1) trifft dies in zwei Fällen zu: wenn x^2 = 0 ist und wenn x + 1 = 0 ist

 

Folglich sind die Wurzeln x = 0 und x = -1

 

2 2x^4 + 4x^2

 

1Um 2x^4 + 4x^2 zu faktorisieren, beachte, dass 2x^2 ein gemeinsamer Faktor beider Terme ist

 

2x^4 + 4x^2 = 2x^2(x^2 + 2)

 

2In diesem Fall ist x = 0 die einzige Nullstelle, da das Polynom x^2 + 2 keine Wurzeln hat, d.h. es gibt keine reelle Zahl x für die x^2 + 2 = 0 wäre

3 x^2 - 4

 

1Wende die Quadratdifferenz an

 

x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)

 

2Die Wurzeln, mit denen jeder Faktor Null ergibt, sind

 

x = -2 y x = 2

 

4 x^4 - 16

 

1Wende die Quadratdifferenz an

 

x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4)

 

2Wende die Quadratdifferenz erneut beim zweiten Faktor an

 

x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4) = (x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)

 

3Die Wurzeln, mit denen jeder Faktor Null ergibt, sind

 

x = -2 y x = 2

 

Beachte, dass der Faktor x^2 + 4 keine reelle Wurzel besitzt

 

5  x^2 + 6x + 9

 

1Hier liegt ein perfektes quadratisches Trinom vor, das auch als quadratisches Binom geschrieben werden kann. Stelle die folgenden Fragen:

 

Welche Zahl zum Quadrat ergibt 9 ? Und welche Zahl zum Quadrat ergibt x^2 ?
Prüfe, wann das doppelte Lösungsprodukt gleich 6x ist
2Dies ist für 3 und x der Fall, d.h. die Faktorisierung muss wie folgt aussehen

 

x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2

3Die Wurzel, mit denen jeder Faktor Null ergibt, ist

 

x = -3 . Man nennt sie auch doppelte Nullstelle

 

6 x^2 - x - 6

 

1Wende in diesem Fall die allgemeine Formel für Gleichungen zweiten Gradesan. Dafür muss die Gleichung gleich Null gesetzt werden, das heißt  x^2 - x - 6 = 0 . Ermittle die Werte von x (Nullstellen der Gleichung) mithilfe der allgemeinen Formel

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \\\\ & = & \cfrac{1 \pm 5}{2} \end{array}

 

Löse auf und du erhältst die Nullstellen x = 3, \ x = -2

 

2In diesem Fall sind die Faktoren der Gleichung

 

x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) .

 

7 x^4 - 10x^2 + 9

 

1Setze das Polynom gleich Null und führe einen Variablentausch durch x^2 = t
Durch Einsetzen der neuen Variable erhältst du t^2 - 10t + 9 = 0

 

2Löse die Gleichung zweiten Grades auf

 

\begin{array}{rcl} t & = & \cfrac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(9)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2} \\\\ & = & \cfrac{10 \pm 8}{2} \end{array}

 

Du erhältst die Nullstellen t = 9, \ t = 1

 

3Durch Variablentausch erhältst du x^2 = t ; löse auf und du erhältst die Nullstellen

 

x = \pm 3, \ x = \pm 1

 

4In diesem Fall sind die Faktoren der Gleichung

 

x^4 - 10x^2 + 9 = (x - 3)(x + 3)(x - 1)(x + 1) .

 

8 x^4 - 2x^2 - 3

 

1Setze das Polynom gleich Null und führe einen Variablentausch durch x^2 = t
Durch Einsetzen der neuen Variable erhältst du t^2 - 2t - 3 = 0

 

2Löse die Gleichung zweiten Grades auf

 

\begin{array}{rcl} t & = & \cfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \\\\ & = & \cfrac{2 \pm 4}{2} \end{array}

 

Du erhältst die Nullstellen t = 3, \ t = -1

 

3Durch Variablentausch erhältst du x^2 = t ; löse auf und du erhältst die Nullstellen

 

x = \pm \sqrt{3} ; beachte, dass x^2 = -1 keine Lösungen besitzt

 

4In diesem Fall sind die Faktoren der Gleichung

 

x^4 - 2x^2 - 3 = (x^2 + 1)(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3}) .

 

9 2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6

 

1 Finde die Teiler des konstanten Glieds. Diese sind \pm 1, \pm 2, \pm 3 .

 

2 Durch Anwendung des Divisionssatzes kannst du ermitteln für welche Werte die Division exakt ist.

 

P(1) = 2(1)^4 + (1)^3 - 8(1)^2 - (1) + 6 = 0

 

3 Führe eine Division nach dem Horner-Schema durch

 

\begin{array}{rrrrrr} & 2 & 1 & -8 & -1 & 6 \\ 1 & & 2 & 3 & -5 & -6 \\ \hline & 2 & 3 & -5 & -6 & 0 \end{array}

 

Da die Division exakt ist, ist x = 1 eine Nullstelle und das entsprechende Polynom ist

 

2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6 = (x - 1)(2x^3 + 3x^2 - 5x - 6)

 

4 Wende die gleiche Vorgehensweise beim zweiten Faktor an. Prüfe mit 1 , da der erste Faktor eine Quadratzahl sein könnte.

 

P(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 5(1) - 6 \neq 0

 

1 ist also keine Nullstelle des zweiten Faktors. Prüfe mit -1

 

P(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 5(-1) - 6 = 0

 

5 Führe eine Division nach dem Horner-Schema durch

 

\begin{array}{rrrrr} & 2 & 3 & -5 & -6 \\ -1 & & -2 & -1 & 6 \\ \hline & 2 & 1 & -6 & 0 \end{array}

 

Da die Division exakt ist, ist x = -1 eine Nullstelle und das entsprechende Polynom ist

 

2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6 = (x - 1)(x + 1)(2x^2 + x - 6)

 

6 Ermittle nun mithilfe der Gleichung zweiten Grades den dritten Faktor oder auf die gleiche Weise wie gerade, wobei dann der Nachteil ist, dass man nur ganze Nullstellen finden kann.

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2 - 4(2)(-6)}}{2(2)} \\\\ & = & \cfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} \\\\ & = & \cfrac{-1 \pm 7}{4} \end{array}

 

Die Nullstellen sind x = -2, \ x = \cfrac{3}{2} und das entsprechende Polynom ist

 

2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6 = (x - 1)(x + 1)(x + 2) \left ( 2x - 3 \right )

 

10 2x^3 - 7x^2 + 8x - 3

 

1 Finde die Teiler des konstanten Glieds. Diese sind \pm 1, \pm 3 .

 

2 Durch Anwendung des Divisionssatzes kannst du ermitteln für welche Werte die Division exakt ist.

 

P(1) = 2(1)^3 - 7(1)^2 + 8(1) - 3 = 0

 

3 Führe eine Division nach dem Horner-Schema durch

 

\begin{array}{rrrrr} & 2 & -7 & 8 & -3 \\ 1 & & 2 & -5 & 3 \\ \hline & 2 & -5 & 3 & 0 \end{array}

 

Da die Division exakt ist, ist x = 1 eine Nullstelle und das entsprechende Polynom ist

 

2x^3 - 7x^2 + 8x - 3 = (x - 1)(2x^2 - 5x + 3)

 

4 Wende die gleiche Vorgehensweise beim zweiten Faktor an. Prüfe mit 1 , da der erste Faktor eine Quadratzahl sein könnte.

 

P(1) = 2(1)^2 - 5(1) + 3 = 0

 

5 Führe eine Division nach dem Horner-Schema durch

 

\begin{array}{rrrr} & 2 & -5 & 3 \\ 1 & & 2 & -3 \\ \hline & 2 & -3 & 0 \end{array}

 

Da die Division exakt ist, ist x = 1 ine Nullstelle und das entsprechende Polynom ist

 

2x^3 - 7x^2 + 8x - 3 = (x - 1)^2(2x - 3)

 

11 x^3 - x^2 - 4

 

1 Finde die Teiler des konstanten Glieds. Diese sind \pm 1, \pm 2, \pm 4 .

 

2 Durch Anwendung des Divisionssatzes kannst du ermitteln für welche Werte die Division exakt ist.

 

P(2) = (2)^3 - (2)^2 - 4 = 0

 

3 Führe eine Division nach dem Horner-Schema durch

 

\begin{array}{rrrrr} & 1 & -1 & 0 &- 4 \\ 2 & & 2 & 2 & 4 \\ \hline & 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}

 

Da die Division exakt ist, ist x = 2 eine Nullstelle und das entsprechende Polynom ist

 

x^3 - x^2 - 4 = (x - 2)(x^2 + x + 2)

 

4 Ermittle nun mithilfe der Gleichung zweiten Grades den zweiten Faktor oder auf die gleiche Weise wie gerade, wobei dann der Nachteil ist, dass man nur ganze Nullstellen finden kann.

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{-1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} \\\\ & = & \cfrac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2} \end{array}

 

Da die Diskriminante negativ ist, besitzt das Polynom keine reellen Nullstellen. Daher ist die einzige Nullstelle x = 2 und das entsprechende Polynom ist

 

x^3 - x^2 - 4 = (x - 2)(x^2 + x + 2)

 

12 x^3 + 3x^2 - 4x - 12

 

1 Finde die Teiler des konstanten Glieds. Diese sind \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 .

 

2 Durch Anwendung des Divisionssatzes kannst du ermitteln für welche Werte die Division exakt ist.

 

P(2) = (2)^3 + 3(2)^2 - 4(2) - 12 = 0

 

3 Führe eine Division nach dem Horner-Schema durch

 

\begin{array}{rrrrr} & 1 & 3 & -4 & -12 \\ 2 & & 2 & 10 & 12 \\ \hline & 1 & 5 & 6 & 0 \end{array}

 

Da die Division exakt ist, ist x = 2 eine Nullstelle und das entsprechende Polynom ist
x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = (x - 2)(x^2 + 5x + 6)

 

4 Ermittle nun mithilfe der Gleichung zweiten Grades den zweiten Faktor oder auf die gleiche Weise wie gerade, wobei dann der Nachteil ist, dass man nur ganze Nullstellen finden kann.

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(5) \pm \sqrt{(5)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \\\\ & = & \cfrac{-5 \pm 1}{2} \end{array}

 

Die Nullstellen des zweiten Faktors sind x = -2, \ x = -3 und das entsprechende Polynom ist

 

x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)

 

13 6x^3 + 7x^2 - 9x + 2

 

1 Finde die Teiler des konstanten Glieds. Diese sind \pm 1, \pm 2 .

 

2 Durch Anwendung des Divisionssatzes kannst du ermitteln für welche Werte die Division exakt ist.

 

P(-2) = 6(-2)^3 + 7(-2)^2 - 9(-2) + 2 = 0

 

3 Führe eine Division nach dem Horner-Schema durch

 

\begin{array}{rrrrr} & 6 & 7 & -9 & 2 \\ -2 & & -12 & 10 & -2 \\ \hline & 6 & -5 & 1 & 0 \end{array}

 

Da die Division exakt ist, ist x = -2 eine Nullstelle und das entsprechende Polynom ist

 

6x^3 + 7x^2 - 9x + 2 = (x + 2)(6x^2 - 5x + 1)

 

4 Ermittle nun mithilfe der Gleichung zweiten Grades den zweiten Faktor oder auf die gleiche Weise wie gerade, wobei dann der Nachteil ist, dass man nur ganze Nullstellen finden kann.
\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(6)(1)}}{2(6)} \\\\ & = & \cfrac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{12} \\\\ & = & \cfrac{5 \pm 1}{12} \end{array}

 

Die Nullstellen des zweiten Faktors sind x = \cfrac{1}{2}, \ x = \cfrac{1}{3} und das entsprechende Polynom ist

 

6x^3 + 7x^2 - 9x + 2 = (x + 2)(2x - 1)(3x - 1)

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Los geht's

Polynomfaktorisierung: Aufgaben

 

1  9x^4 - 4x^2

 

2  x^5 + 20x^3 + 100x

 

3  3x^5 - 18x^3 + 27x

 

4  2x^3 - 50x

 

5  2x^5 - 32x

 

6  2x^2 + x - 28

 

 

1 9x^4 - 4x^2

 

Klammere den gemeinsamen Faktor x^2 aus

 

9x^4 - 4x^2 = x^2 \left ( 9x^2 - 4 \right )

 

Schreibe die quadratische Differenz als Summe mal Differenz aus

 

9x^4 - 4x^2 = x^2 \left ( 9x^2 - 4 \right ) = x^2(3x - 2)(3x + 2)

 

2 x^5 + 20x^3 + 100x

 

Klammere den gemeinsamen Faktor x aus

 

x^5 + 20x^3 + 100x = x \left ( x^4 + 20 x^2 + 100 \right )

 

Du erhältst ein perfektes quadratisches Trinom, das man auch als Binom zum Quadrat darstellen kann
x^5 + 20x^3 + 100x = x \left ( x^4 + 20 x^2 + 100 \right ) = x \left ( x^2 + 10 \right )^2

 

3 3x^5 - 18x^3 + 27x

 

Klammere den gemeinsamen Faktor 3x aus

 

3x^5 - 18x^3 + 27x = 3x \left ( x^4 - 6 x^2 + 9 \right )

 

Du erhältst ein perfektes quadratisches Trinom, das man auch als Binom zum Quadrat darstellen kann

 

\begin{array}{rcl} 3x^5 - 18x^3 + 27x & = & 3x \left ( x^4 - 6 x^2 + 9 \right ) \\\\ & = & 3x \left ( x^2 - 3 \right )^2 \end{array}

 

Schreibe die quadratische Differenz als Summe mal Differenz aus

 

\begin{array}{rcl} 3x^5 - 18x^3 + 27x & = & 3x \left ( x^4 - 6 x^2 + 9 \right ) \\\\ & = & 3x \left ( x^2 - 3 \right )^2 \\\\ & = & 3x \left ( x - \sqrt{3} \right )^2 \left ( x + \sqrt{3} \right )^2 \end{array}

 

4 2x^3 - 50x

 

Klammere den gemeinsamen Faktor 2x aus

 

2x^3 - 50x = 2x \left ( x^2 - 25 \right )

 

Schreibe die quadratische Differenz als Summe mal Differenz aus

 

2x^3 - 50x = 2x \left ( x^2 - 25 \right ) = 2x(x - 5)(x + 5)

 

5 2x^5 - 32x

 

Klammere den gemeinsamen Faktor 2x aus

 

2x^5 - 32x = 2x \left ( x^4 - 16 \right )

 

Schreibe die quadratische Differenz als Summe mal Differenz aus

 

\begin{array}{rcl} 2x^5 - 32x & = & 2x \left ( x^4 - 16 \right ) \\\\ & = & 2x \left ( x^2 + 4 \right ) \left ( x^2 - 4 \right ) \end{array}

 

Der zweite Faktor ist ein irreduzibles Polynom oder Primpolynom

 

Der dritte Faktor ist eine Quadratdifferenz, die als Summe mal Differenz dargestellt wird

 

\begin{array}{rcl} 2x^5 - 32x & = & 2x \left ( x^4 - 16 \right ) \\\\ & = & 2x \left ( x^2 + 4 \right ) \left ( x^2 - 4 \right ) \\\\ & = & 2x \left ( x^2 + 4 \right )(x - 2)(x + 2) \end{array}

 

6 2x^2 + x - 28

 

Setze das Trinom zweiten Grades gleich Null und löse die Gleichung auf

 

2x^2 + x - 28 = 0

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2 - 4(2)(-28)}}{2(2)} \\\\ & = & \cfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 224}}{4} \\\\ & = & \cfrac{-1 \pm 15}{4} \end{array}

 

Die Nullstellen sind x = -4, \ x = \cfrac{7}{2} und das entsprechende Polynom ist
2x^2 + x - 28 = (x + 4)(2x - 7)

 

Linearfaktorzerlegung: Aufgaben

 

1 xy - 2x - 3y + 6

 

2 25x^2 - 1

 

3 36x^6 - 49

 

4 x^2 - 2x + 1

 

5 x^2 - 6x + 9

 

6 x^2 - 20x + 100

 

7 x^2 + 10x + 25

 

8 x^2 + 14x + 49

 

9 x^3 - 4x^2 + 4x

 

10 3x^7 - 27x

 

11 x^2 - 11x + 30

 

12 3x^2 - 10x + 3

 

13 2x^2 - x - 1

 

 

1 xy - 2x - 3y + 6

 

Bei dieser Aufgabe kann zweimal ein gemeinsamer Faktor ausgeklammert werden. Klammere bei den ersten beiden Summanden x aus und bei den zweiten beiden -3

 

xy - 2x - 3y + 6 = x(y - 2) - 3(y - 2)

 

Klammere den gemeinsamen Faktor (y - 2) aus

 

xy - 2x - 3y + 6 = x(y - 2) - 3(y - 2) = (y - 2)(x - 3)

 

2 25x^2 - 1

 

ist eine quadratische Differenz

 

25x^2 - 1 = (5x - 1)(5x + 1)

 

3 36x^6 - 49

 

Schreibe die quadratische Differenz als Summe mal Differenz aus

 

36x^6 - 49 = \left (6x^3 - 7 \right ) \left (6x^3 + 7 \right )

 

4 x^2 - 2x + 1

 

Du erhältst ein perfektes quadratisches Trinom, das man auch als Binom zum Quadrat darstellen kann

 

Das Quadrat von x ist x^2 , das Quadrat von 1 ist 1 und das Doppelte von x mal 1 ist 2x

 

x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2

 

5 x^2 - 6x + 9

 

Du erhältst ein perfektes quadratisches Trinom, das man auch als Binom zum Quadrat darstellen kann

 

Das Quadrat von x ist x^2 , das Quadrat von 3 ist 9 und das Doppelte von x mal 2 ist 6x

 

x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2

 

6 x^2 - 20x + 100

 

Du erhältst ein perfektes quadratisches Trinom, das man auch als Binom zum Quadrat darstellen kann

 

Das Quadrat von x ist x^2 , das Quadrat von 10 ist 100 und das Doppelte von x mal 10 ist 20x

 

x^2 - 20x + 100 = (x - 10)^2

 

7 x^2 + 10x + 25

 

Du erhältst ein perfektes quadratisches Trinom, das man auch als Binom zum Quadrat darstellen kann

 

Das Quadrat von x ist x^2 , das Quadrat von 5 ist 25 und das Doppelte von x mal 5 ist 10x

 

x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2

 

8 x^2 + 14x + 49

 

Du erhältst ein perfektes quadratisches Trinom, das man auch als Binom zum Quadrat darstellen kann
Das Quadrat von x ist x^2 , das Quadrat von 7 ist 49 und das Doppelte von x mal 7 ist 14x

 

x^2 + 14x + 49 = (x + 7)^2

 

9 x^3 - 4x^2 + 4x

 

Klammere den gemeinsamen Faktor aus

 

x^3 - 4x^2 + 4x = x \left ( x^2 - 4x + 4 \right )

 

Du erhältst ein weiteres perfektes quadratisches Trinom

 

Das Quadrat von x ist x^2 , das Quadrat von 2 ist 4 und das Doppelte von x mal 2 ist 4x

 

\begin{array}{rcl} x^3 - 4x^2 + 4x & = & x \left ( x^2 - 4x + 4 \right ) \\\\ & = & x(x - 2)^2 \end{array}

 

10 3x^7 - 27x

 

Klammere den gemeinsamen Faktor aus

 

3x^7 - 27x = 3x \left ( x^6 - 9 \right )

 

Schreibe die quadratische Differenz als Summe mal Differenz aus

 

3x^7 - 27x = 3x \left ( x^3 + 3 \right ) \left ( x^3 - 3 \right )

 

Wende die Würfelsumme und -differenz an

 

\begin{array}{rcl} 3x^7 - 27x & = & 3x \left ( x^3 + 3 \right ) \left ( x^3 - 3 \right ) \\\\ & = & 3x \left (x + \sqrt[3]{3} \right ) \left (x^2 - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} \right )\left (x - \sqrt[3]{3} \right ) \left (x^2 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} \right ) \end{array}

 

11 x^2 - 11x + 30

 

Setze das Polynom gleich Null

 

x^2 - 11x + 30 = 0

 

Löse die Gleichung zweiten Grades auf

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2 - 4(1)(30)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2} \\\\ & = & \cfrac{11 \pm 1}{2} \end{array}

 

Die Nullstellen sind x = 6, \ x = 5 und das entsprechende Polynom ist

 

x^2 - 11x + 30 = (x - 5)(x - 6)

 

12 3x^2 - 10x + 3

 

Löse die Gleichung zweiten Grades auf

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(3)(3)}}{2(3)} \\\\ & = & \cfrac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} \\\\ & = & \cfrac{10 \pm 8}{6} \end{array}

 

Die Nullstellen sind x = 3, \ x = \cfrac{1}{3} und das entsprechende Polynom ist

 

3x^2 - 10x + 3 = (x - 3)(3x - 1)

 

13 2x^2 - x - 1

 

Löse die Gleichung zweiten Grades auf

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} \\\\ & = & \cfrac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} \\\\ & = & \cfrac{1 \pm 3}{4} \end{array}

 

Die Nullstellen sind x = 1, \ x = -\cfrac{1}{2} und das entsprechende Polynom ist

 

2x^2 - x - 1 = (x - 1)(2x + 1)

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Melanie S

Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan bringe ich die Lernartikel von echten Mathe-Profis logisch und verständlich ins Deutsche, damit du als Mathelerner bei Superprof deine Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden kannst.