In diesem Artikel befassen wir uns mit der Faktorisierung von Polynomen. Zuerst sehen wir uns einige Gesetze und Regeln für den Umgang mit Polynomen an. Diese helfen uns dabei, Polynome auf einfache Art und Weise zu faktorisieren. Außerdem sehen wir uns die möglichen Methoden zur Faktorisierung genauer an. Zum Schluss üben wir noch anhand von einigen Beispielen, wie Polynome faktorisiert werden.

Gesetze zu den Faktoren eines Polynoms

Um die folgenden Gesetze zu verstehen, denken wir daran, dass a eine Nullstelle des Polynoms P(x) ist, wenn die Bedingung P(a) = 0 erfüllt ist.

Der Restsatz

Satz: Der Rest, der bei der Division eines Polynoms P(x) durch ein Polynom der Form x - a bleibt, entspricht dem Ergebnis, das man erhält, wenn in das Polynom P(x)  a eingesetzt wird.

 

Wenn wir zum Beispiel P(x) = x^4 - 3x^2 + 2 durch x - 3 mithilfe des Horner Schemas dividieren:

 

\displaystyle \begin{array}{c|ccccc} & 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & 9 & 18 & 54\\\hline& 1 & 3 & 6 & 18 & \vline 56\end{array}

 

Somit ist der Quotient der Division x^3 + 3x^2 + 6x + 18, während ein Rest von 56 bleibt. Wenn wir aber P(x) für 3 berechnen, erhalten wir:

 

\displaystyle P(3) = 3^4 - 3(3)^2 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56

 

Merke: Wenn gilt P(a) = 0, bedeutet das, dass der Rest 0 ist. Anders gesagt:

 

\displaystyle \frac{P(x)}{x - a} = Q(x) + 0 = Q(x)

 

Wenn wir beide Seiten mit x - a multiplizieren, gilt

 

\displaystyle P(x) = (x - a)Q(x)

 

Deshalb ist x - a ein Faktor von P(x). Dieses Ergenis ist als Restsatz bekannt.

 

Restsatz

 

Satz: Das Polynom P(x) ist teilbar durch ein Polynom der Form x - a, aber nur wenn gilt P(a) = 0.

 

Sehen wir uns als Beispiel das Polynom P(x) = x^2 - 5x + 6 an. Wir stellen fest, dass

 

\displaystyle P(2) = 2^2 - 5(2) + 6 = 0, \qquad P(3) = 3^2 - 5(2) + 6 = 0

 

deshalb gilt P(x) = x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). Außerdem sind x = 2 und x = 3 Nullstellen von P(x).

 

Merke: Wenn P(x) ein Polynom vom Grad n und teilbar durch x - a ist, hat das Ergebnis folgende Form:

 

\displaystyle P(x) = (x - a)Q(x) + r

 

r ist hierbei die Konstante und der sogenannte Rest, der bleibt. Q(x) ist ein Polynom vom Grad n - 1.

 

Fundamentalsatz der Algebra

Satz: Ein Polynom P(x) = a_nx^n + \cdots + a_1 x + a_0 vom Grad n und mit reellen Koeffizienten a_n, \dots, a_0 \in \mathbb{R} hat genau n Nullstellen. Diese können reelle oder komplexe Zahlen sein.

Merke: Reelle Polynome haben n Nullstellen. Allerdings kann es vorkommen, dass keine Nullstelle reell ist. Wenn es keine reelle Nullstelle gibt, kann das Polynom P(x) nicht in Linearfaktoren zerlegt werden.

Merke: Wir denken daran, dass die Zerlegung eines Polynoms P(x) in Linearfaktoren bedeutet, dass man P(x) wie folgt schreiben muss

 

\displaystyle P(x) = (x - a_1)(x - a_2)\cdots(x - a_n)

 

wobei a_1, a_2, \dots, a_n die Nullstellen von P(x) sind.

 

Satz über rationale Nullstellen

Satz: Ein Polynom P(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0 mit den Koeffizienten a_0, a_1, \dots, a_n, welche ganze Zahlen sind. Wenn q eine rationale Nullstelle von P(x) ist, muss q folgende Form haben

\displaystyle q = \pm \frac{a}{b}

 

wobei a ein Faktor von a_1 und b ein Faktor von a_n ist.

 

Merke: Dieser Satz, zusammen mit dem Faktorsatz, helfen uns dabei, Nullstellen schnell zu bestimmen. Als Erstes schreiben wir alle möglichen rationalen Nullstellen q von P(x) auf. Danach überprüfen wir P(q). Wenn P(q) = 0, wissen wir, dass x - q ein Faktor von P(x) ist. Hierzu finden wir einige Beispiele im Beispielabschnitt.

 

Merke: Dieser Satz zeigt uns nur die Form der rationalen Nullstellen. Es kann vorkommen, dass ein Polynom keine rationale Nullstelle hat, wie im Fall von P(x) = x^2 - 2, dessen Nullstellen x = \sqrt{2} und x = -\sqrt{2} sind.

 

Merke: Wenn a_n = 1, dann ist das Polynom ein normiertes Polynom. In diesem Fall ist 1 der einzige Faktor von  a_n. Deshalb haben die Nullstellen folgende Form

 

\displaystyle q = \pm \frac{a}{1} = \pm a

 

a ist hierbei ein Faktor von a_0.

 

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Los geht's

Einige Regeln für Nullstellen und Faktoren eines Polynoms

 

1 Zu jeder Nullstelle x = a gehört ein Binom vom Typ x - a als Faktor.

 

2 Wir gehen davon aus, dass a eine Nullstelle von P(x) ist. Deshalb können wir P(x) wie folgt schreiben

 

\displaystyle P(x) = (x - a)Q_1(x)

 

wobei Q_1(x) ein Polynom vom Grad n - 1 ist. Wenn wir danach feststellen, dass  a auch eine Nullstelle von Q_1(x) ist, können wir Q_1(x) wie folgt schreiben

\displaystyle Q_1(x) = (x - a)Q_2(x)

 

Deshalb kann P(x) wie folgt geschrieben werden

 

\displaystyle P(x) = (x - a)(x - a)Q_2(x) = (x - a)^2 Q_2(x)

 

Wenn Q_2(a) \neq 0, nehmen wir an, dass a eine doppelte Nullstelle von P(x) ist. Dies bedeutet, dass die n Nullstellen des Polynoms P(x) nicht unbedingt unterschiedlich sind.

 

3 Wir können ein Polynom faktorisiert darstellen, indem wir es als Produkt aller Binome vom Typ x - a schreiben, zu denen die Nullstellen x = a des Polynoms gehören. Somit wird P(x) wie folgt faktorisiert

 

\displaystyle P(x) = (x - a_1)(x - a_2)\cdots(x - a_n)

 

Da zum Beispiel x = 2 und x = 3 Nullstellen des Polynoms P(x) = x^2 - 5x + 6 sind, können wir wie folgt schreiben

 

\displaystyle P(x) = x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

 

4 Jedes Polynom mit konstantem Glied hat die Nullstelle x = 0. Deshalb ist auch x ein Faktor (also x - 0).

 

Zum Beispiel kann man das Polynom x^2 + x als x^2 + x = x(x + 1) faktorisieren. Deshalb kommen wir zu dem Schluss, dass die Nullstellen x = 0 und x = -1 sind.

 

5 Ein Polynom ist irreduzibel, wenn es nicht in Faktoren zerlegt werden kann.

 

Zum Beispiel kann das Polynom P(x) = x^2 + x + 1 nicht faktorisiert werden und die Nullstellen sind komplex.

 

Methoden zur Faktorisierung eines Polynoms

Gemeinsamer Faktor

Einen gemeinsamen Faktor kann man durch Anwendung des Distributivgesetzes für reelle Zahleln ausklammern:

 

\displaystyle a \cdot b + a \cdot c = a(b + c)

 

Sehen wir uns zum Beispiel das Polynom 2x^4 + 4x^2 an. Wir stellen fest, dass jeder Term teilbar durch 2x^2 ist (also ist das der gemeinsame Faktor). Somit können wir das Polynom wie folgt faktorisieren

 

\displaystyle 2x^4 + 4x^2 = 2x^2(x^2 + 2)

 

Wir stellen fest, dass das Polynom x^2 + 2 nicht faktorisiert werden kann, es kann also nicht weiter zerlegt werden. Die einzige Nullstelle des Polynoms ist x = 0.

 

Binomische Formeln

Es gibt einige Polynome zweiten Grades, die man ganz einfach faktorisieren kann, da ihre Struktur auf den ersten Blick erkennbar ist. Die gängigsten sind:

 

1 3. binomische Formel: Ein Polynom der Form a^2 - b^2 kann wie folgt faktorisiert werden (a+b)(a-b).

 

Beispiel: die Polynome P_1(x) = x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2) oder P_2(x) = 4x^4 - 9 = (2x^2 + 3)(2x^2 - 3).

 

2 Vollständiges quadratisches Trinom: Ein Polynom hat die Form a^2 \pm 2ab + b^2, also können wir es wie folgt faktorisieren (a \pm b)^2.

 

Sehen wir uns zum Beispiel das Polynom P(x) = x^4 + 2x^2 + 1 an (hierbei gilt a = x^2 und b = 1). Es kann wie folgt faktorisiert werden P(x) = (x^2 + 1)^2.

 

Merke: Es gibt noch weitere binomische Formeln, wie zum Beispiel ein vollständiges Binom zum Kubik. Allerdings kommen diese nicht sehr häufig vor.

 

Mit dem Satz über rationale Nullstellen

Wenn es keinen gemeinsamen Faktor gibt oder das Polynom nicht mithilfe der binomischen Formeln faktorisiert werden kann, können wir es mit dem Satz über rationale Nullstellen versuchen (immer wenn all die Koeffizienten des Polynoms ganze Zahlen sind). Wir probieren für das Polynom P(x) alle möglichen rationalen Nullstellen q und suchen, bis die Bedingung P(q) = 0 erfüllt wird. In diesem Fall wenden wir das Horner Schema an, um folgende Faktorisierung durchzuführen:

 

\displaystyle P(x) = (x - q)Q(x)

 

Wir wiederholen mit Q(x) (aber verwerfen die Faktoren q, da wir wissen, dass sie keine Faktoren sind).

 

Die abc-Formel

Wenn es sich um ein Polynom vom Grad 2 (P(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0) handelt und die vorhergehenden Methoden kein Ergebnis liefern, können wir die abc-Formel anwenden:

 

\displaystyle x = \frac{-a_1 \pm \sqrt{a_1^2 - 4(a_2)(a_0)} }{2a_2}

 

So erhalten wir die zwei Nullstellen des Polynom x = r_1 und x = r_2 und wir können das Polynom wie folgt faktorisieren a_2(x - r_1)(x - r_2).

 

Merke: Sind die Nullstellen komplex, können wir das Polynom ohne Faktorisierung stehen lassen und sagen, dass das Polynom irreduzibel ist. Es ist auch möglich, mit den komplexen Nullstellen zu faktorisieren. Allerdings sind die Faktoren in diesem Fall Polynome mit komplexen Zahlen.

 

Merke: Wenn das Polynom einen höheren Grad als 2 hat, liefern die vorhergehenden Methoden kein Ergebnis. Dann ist es möglich, dass alle Nullstellen irrational oder komplex sind. Um das Polynom zu faktorisieren sollte man in diesem Fall ein numerisches Verfahren anwenden oder ein Computerprogramm nutzen.

 

Beispiele

1 Finde die Nullstellen des Polynoms P(x) = x^2 - x - 6 und faktorisiere es.

 

Durch den Satz über rationale Nullstellen wissen wir, dass die rationalen Nullstellen die Form \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 haben. Daher ist das Polynom normiert und das konstante Glied ist 6. Dessen Faktoren sind 1, 2, 3 und 6 (alle Faktoren, nicht nur die Primzahlen).

 

Wenn wir diese 8 möglichen Werte in das Polynom einsetzen, erhalten wir P(1) = -6, P(-1) = -4, P(2) = -4, P(-2) = 0 (daher wissen wir, dass x = -2 eine Nullstelle ist), P(3) = 0 (daher wissen wir, dass x = 3 auch eine Nullstelle ist und wir müssen keine weiteren Nullstellen suchen, da wir bereits zwei gefunden haben).

 

Deshalb können wir das Polynom P(x) wie folgt faktorisieren

 

\displaystyle P(x) = x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)

 

2 Faktorisiere die folgenden Polynome mithilfe der abc-Formel:

 

a x^2 - 5x + 6

 

b x^2 - x - 6

 

c x^4 - 10x^2 + 9

 

Hier wenden wir für jedes Polynom die abc-Formel an:

 

a Als Erstes haben wir x^2 - 5x + 6,

 

\displaystyle x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{25 - 4(6)}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}

 

deshalb ist eine Nullstelle x = (5 + 1)/2 = 3 und die andere Nullstelle ist x = (5 - 1)/2 = 2. Daher können wir das Polynom wie folgt faktorisieren

 

\displaystyle x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

 

b Für x^2 - x - 6 haben wir

 

\displaystyle x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{1 - 4(-6)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}

 

deshalb ist eine Nullstelle x = (1 + 5)/2 = 3 und die andere Nullstelle ist x = (1 - 5)/2 = -2. Daher können wir das Polynom wie folgt faktorisierien

 

\displaystyle x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)

 

c Als letztes Beispiel haben wir x^4 - 10x^2 + 9. Wir stellen fest, dass es kein Polynom zweiten Grades ist. Allerdings haben wir nur die Potenzen 2 und 4 und können somit die Substitution durchführen x^2 = t,

 

\displaystyle x^4 - 10x^2 + 9 = t^2 - 10t + 9

 

Wir erhalten ein Polynom zweiten Grades und können die abc-Formel anwenden

 

\displaystyle t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4(9)}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{10 \pm 8}{2} = 5 \pm 4

 

Wir erhalten die Nullstellen t = 5 + 4 = 9 und t = 5 - 1 = 1. Allerdings gilt t = x^2 und wir erhalten somit

 

    \begin{align*} x^2 & = 9 \qquad x = \pm \sqrt{3} = \pm 3\\x^2 & = 1 \qquad x = \pm \sqrt{1} = \pm 1\\\end{align*}

 

Somit hat das faktorisierte Polynom die folgende Form

 

\displaystyle x^4 - 10x^2 + 9 = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)

 

3 Faktorisiere das folgende Polynom vierten Grades:

 

\displaystyle P(x) = 2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6

 

Da es sich um ein Polynom vierten Grades mit geraden Koeffizienten handelt, wenden wir den Satz über rationale Nullstellen an, um alle möglichen rationalen Nullstellen zu bestimmen.

Der Leitkoeffizient ist 2, dessen Faktoren sind 1 und 2. Das Absolutglied ist 6 und hat die Faktoren 1, 2, 3 und 6. Somit sind die möglichen Nullstellen

 

\displaystyle \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}

 

Wir verwerfen \pm 2/2, da es \pm 1 entspricht; ebenso verwerfen wir \pm 6/2, da es \pm 3 entspricht.

 

Nun setzen wir diese Werte in das Polynom ein, um die Nullstellen zu bestimmen:

 

\displaystyle P(1) = 2(1) + 1 - 8(1) - 1 + 6 = 2 + 1 - 8 - 1 + 6 = 0

 

Wir stellen fest, dass x = 1 eine Nullstelle ist. Wir wenden das Horner Schema an:

 

\displaystyle \begin{array}{c|ccccc} & 2 & 1 & -8 & -1 & 6\\1 & & 2 & 3 & -5 & -6\\\hline& 2 & 3 & -5 & -6 & \vline 0\end{array}

 

Das heißt, x - 1 und Q_1(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x - 6 sind Faktoren.

 

Wir gehen wie bisher vor und suchen für Q_1(x) mögliche Nullstellen (wir versuchen es mit 1, für den Fall, dass die Nullstelle mehrfach ist):

 

    \begin{align*} Q_1(1) & = 2 + 3 - 5 - 6 = -6\\Q_2(-1) & = -2 + 3 + 5 - 6 = 0\end{align*}

 

deshalb ist x = -1 auch eine Nullstelle. Wir wenden nochmal das Horner Schema an:

 

\displaystyle \begin{array}{c|cccc} & 2 & 3 & -5 & -6\\-1 & & -2 & -1 & 6\\\hline& 2 & 1 & -6 & \vline 0\end{array}

 

Die Faktoren sind x + 1 und Q_2(x) = 2x^2 + x - 6.

 

Wir stellen fest, dass der letzte Faktor quadratisch ist und können deshalb die abc-Formel anwenden:

 

\displaystyle x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-6)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-1 \pm 7}{4}

 

Wir erhalten die Nullstellen x = (-1 - 7)/4 = -2 und x = (-1 + 7)/4 = 6/4 = 3/2.

 

Das heißt, es gibt vier Nullstellen

 

\displaystyle x = 1, \; x = -1, \; x = -2, \; x = \frac{3}{2}

 

Schließlich kann das Polynom wie folgt faktorisiert werden (den Leitkoeffizienten klammern wir immer aus den Linearfaktoren aus):

 

    \begin{align*} P(x) & = 2(x - 1)(x + 1)(x + 2)(x - 3/2)\\& = (x - 1)(x + 1)(x + 2)(2x - 3)\end{align*}

 

Wir multiplizieren den letzten Faktor mit 2, um den Bruch umzuwandeln.

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