Wenn es um die Faktorisierung von Polynomen geht, müssen wir dabei einige Dinge beachten.

Wenn es kein konstantes Glied gibt

Wenn es kein konstantes Glied gibt, muss ein gemeinsamer Faktor ausgeklammert werden. Um einen gemeinsamen Faktor bei einer Summe (oder Differenz) auszuklammern, muss in ein Produkt umgeformt werden.

 

Wir wenden das Distributivgesetz an:

 

a \cdot b + a \cdot c - a \cdot d  =  a (b + c -d)

 

 

Beispiel für die Faktorisierung eines Polynoms ohne konstantes Glied

Wir zerlegen in Faktoren, indem wir einen gemeinsamen Faktor ausklammern und bestimmen die Nullstellen.

 

1 x^{3} + x^{2} = x^{2} (x + 1)

 

Die Nullstellen sind: x = 0  und  x = -1

 

2  2x^{4} + 4x^{2} = 2x^{2} (x^{2} + 2)

 

Es gibt nur eine Nullstelle x = 0, da das Polynom x^{2} + 2 keinen Wert hat, für den es null wird. Da x zum Quadrat steht, ist das Ergebnis immer eine positive Zahl und somit irreduzibel.

 

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Los geht's

Zweifaches Ausklammern des gemeinsamen Faktors

 

1 x^{2} - ax - bx + ab = x (x - a) - b (x - a)

 

Wir klammern den gemeinsamen Faktor x und b aus.

 

Da (x-a) nun ein gemeinsamer Faktor ist, klammern wir den gemeinsamen Faktor (x-a) aus.

 

x (x - a) - b (x - a) = (x - a) \cdot (x - b)

 

Die Nullstellen sind x=a und x=b.

 

Wenn es sich um ein Binom handelt

Wenn wir ein Binom haben, kann einer der folgenden Fälle auftreten:

 

Differenz von Quadraten

 

Eine Differenz von Quadraten entspricht Summe mal Differenz.

 

a^{2} - b^{2} = (a + b) \cdot (a - b)

 

Beispielaufgaben zur Differenz von Quadraten:

 

In Faktoren zerlegen und Nullstellen bestimmen

 

1 x^{2} - 4 = (x + 2) \cdot (x - 2)

 

Die Nullstellen sind x=-2 und x=2

 

 

2 x^{4} - 16 = (x^{2} + 4) \cdot (x^{2} - 4) =

 

Der letzte Term ist ebenfalls eine Differenz von Quadraten. Somit gilt:

 

(x^{2} + 4) \cdot (x^{2} − 4) = (x + 2) \cdot (x − 2) \cdot (x^{2} + 4)

 

Die Nullstellen sind x=-2   und  x=2

Summe von Kubikzahlen

a^{3} + b^{3} = (a + b) \cdot (a+b)^{2} =(a+b) \cdot (a^{2} - ab + b^{2})

 

Beispielaufgabe zur Summe von Kubikzahlen:

 

8x^{3} + 27 = (2x + 3) \cdot (2x + 3)^{2} = (2x + 3) \cdot (4x^{2} - 6x + 9)

 

Differenz von Kubikzahlen

a^{3} - b^{3}= (a - b) \cdot (a^{2} + ab + b^{2})

 

Beispielaufgabe zur Differenz von Kubikzahlen:

 

8x^{3} - 27 = (2x - 3) (4x^{2} + 6x + 9)

 

Wenn es sich um ein Trinom handelt

Wenn wir ein Trinom haben, kann einer der folgenden Fälle auftreten

 

Ein vollständiges quadratisches Trinom

Ein vollständiges quadratisches Trinom entspricht einem Binom zum Quadrat.

 

a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}

 

Beispiele für vollständige quadratische Trinome

 

In Faktoren zerlegen und Nullstellen bestimmen

 

1 Struktur eines Binoms zum Quadrat

 

Wir müssen uns folgende Fragen stellen:

 

  • Welche Zahl zum Quadrat ergibt 9? Die Antwort ist 3.
  • Welche Zahl zum Quadrat ergibt x^{2}? Die Antwort ist x.

 

Wir überprüfen: 2 \cdot 3 \cdot x = 6x

 

Die Nullstelle ist x=-3, in diesem Fall eine doppelte Nullstelle

 

2 Struktur eines Binoms zum Quadrat

 

  • Welche Zahl zum Quadrat ergibt x^{2}? x
  • Welche Zahl zum Quadrat ergibt 4? 2

 

Wir überprüfen: 2 \cdot x \cdot 2 = 4x

 

Die doppelte Nullstelle ist x = 2.

Ein Trinom zweiten Grades

Um ein Trinom zweiten Grades P(x) = ax^{2} + bx + c in Faktoren zu zerlegen, setzt man es gleich null und löst die Gleichung zweiten Grades.

 

Wenn die Lösungen der Gleichung x_1 und x_2 sind, sieht das faktorisierte Polynom wie folgt aus:

ax^{2} + bx + c = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)

 

Beispiele zu Trinomen zweiten Grades

In Faktoren zerlegen und Nullstellen bestimmen

 

1 x^{2}-5x+6

 

Wir setzen das Trinom gleich null

 

x^{2}-5x+6=0

 

Wir wenden die Formel zur Lösung von Gleichungen zweiten Grades an:

 

x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

 

Formel zur Lösung von Gleichungen zweiten Grades

 

Wir faktorisieren

 

x^{2}-5x+6=(x-2)\cdot (x-3)

 

Die Nullstellen sind x=3 und x=2 .

 

 

2 x^{2}-x-6

 

Wir setzen das Trinom gleich null

 

x^{2}-x-6=0

 

Wir lösen die Gleichung

 

Formel zur Lösung von Gleichungen zweiten Grades

 

Wir faktorisieren

 

x^{2}-x-6=(x+2)\cdot (x-3)

 

Die Nullstellen sind x=3 und x=-2 .

 

Trinome vierten Grades mit geradzahligen Exponenten

Um die Nullstellen zu bestimmen, setzen wir gleich null und lösen die biquadratische Gleichung.

 

Beispiele zu Trinomen vierten Grades mit geradzahligen Exponenten

 

1 x^{4} - 10x^{2} + 9

 

Wir setzen das Polynom gleich null

 

x^{4} - 10x^{2} + 9 = 0

 

Wir substituieren die Variable

 

x^{2} = t

 

t^{2} - 10t + 9 = 0

 

Wir lösen die Gleichung zweiten Grades

 

Formel zur Lösung einer Gleichung mit substituierter Variablen

Wir führen die Rücksubstitution durch und erhalten die Nullstellen

 

x^{2}=9 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\pm \sqrt{9}=\pm 3

 

x^{2}=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\pm \sqrt{1}=\pm 1

 

x^{4} - 10x^{2} + 9 = (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)

 

 

2 x^{4} - 2x^{2} -3

Wir setzen das Polynom gleich null

 

x^{4} - 2x^{2} -3 = 0

 

Wir substituieren

 

x^{2} = t

 

t^{2} - 2t -3 = 0

 

Wir lösen die Gleichung zweiten Grades
Formel zur Lösung von Gleichungen zweiten Grades

 

Wir führen die Rücksubstitution durch und erhalten die Nullstellen

 

x^{2} =3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\pm \sqrt{3}

 

x^{2} = −-1, es gibt keine reellen Nullstellen, da keine Zahl existiert, die zum Quadrat negativ ist

 

Faktorisierte Form (x^{2} + 1)

 

x^{2} =- 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\pm \sqrt{-1}\notin \mathbb{R}

 

x^{4} - 2x^{2} + 3 = (x^{2} + 1) \cdot (x +\sqrt{3}) \cdot (x −\sqrt{3})

 

Faktorisierung eines Polynoms, das einen höheren Grad als zwei hat

Wir wenden den Restsatz und das Horner Schema an, um die Nullstellen zu bestimmen.

Sehen wir uns folgendes Polynom an:

 

P(x)=2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6

 

Wir nehmen die Teiler des konstanten Glieds:\pm 1, \pm 2, \pm 3.

 

Wir wenden den Restsatz an und wissen somit, dass bei der Division kein Rest bleibt.

 

P(1)=2 \cdot 1^{4}+1^{3}-8\cdot 1^{2}-1+6=2+1-8-1+6=0

 

Wir wenden das Horner Schema an.

 

Horner Schema

Da kein Rest bleibt, gilt D=d \cdot c

 

(x-1)\cdot(2x^{3}+3x^{2}-5x-6)

 

Eine Nullstelle ist x=1 .

 

Um den zweiten Faktor zu bestimmen, führen wir die gleichen Rechenschritte durch.

 

Wir probieren mit 1, da der erste Faktor zum Quadrat stehen könnte.

 

P(1)=2\cdot 1^{3}+3 \cdot 1^{2}-5 \cdot 1 -6\neq 0

 

P(-1)=2\cdot (-1)^{3}+3 \cdot (-1)^{2}-5 \cdot (-1) -6=-2+3+5-6=0

 

Division mithilfe des Horner Schemas

 

(x-1)\cdot (x+1)\cdot (2x^{2}+x+6)

 

Die andere Nullstelle ist x=-1 .

 

Den dritten Faktor können wir bestimmen, indem wir die Gleichung zweiten Grades anwenden.

 

Die 1 schließen wir aus und probieren weiter mit -1 .

 

P(-1)=2\cdot (-1)^{2}+(-1)-6\neq 0

 

P(2)=2 \cdot 2^{2}+2-6\neq 0

 

P(-2)=2 \cdot (-2)^{2}+(-2)-6=2 \cdot 4-2-6= 0

 

Horner Schema

 

(x-1)\cdot(x+1)\cdot (x+2)\cdot (2x-3)

 

Wir klammern den gemeinsamen Faktor 2 im letzten Binom aus und erhalten eine rationale Nullstelle.

 

\displaystyle (2x-3)=2(x-\frac{3}{2})

 

Die Faktorisierung des Polynoms sieht wie folgt aus:

 

\displaystyle P(x)=2x^{4}+x^{3}-8x-x+6=2(x-1)\cdot(x+1)\cdot (x+2)\cdot (x-\frac{3}{2})

 

\displaystyle x=1, x=-1, x=-2, x=\frac{3}{2}

 

Rationale Nullstellen

Es kann vorkommen, dass das Polynom keine ganzzahligen Nullstellen hat, sondern nur rationale Nullstellen. In diesem Fall nehmen wir die Divisoren des konstanten Glieds geteilt durch die Divisoren des Terms mit dem höheren Grad und wenden den Restsatz und das Horner Schema an.

 

P(x)=12x^{3}+8x^{2}-3x-2

 

Wir probieren mit:

 

\displaystyle \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{6}, \pm\frac{2}{3} .

 

\displaystyle P \left ( \frac{1}{2} \right )=12 \cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{3}+8\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}- 3\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )-2=0

 

Erste Division mit dem Horner Schema

 

Wir faktorisieren. D=d\cdot c

 

\left ( x-\frac{1}{2} \right )\cdot (12x^{2}+14x+4)

 

Wir probieren noch einmal mit \displaystyle \frac{1}{2}

 

\displaystyle 12 \cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}+14 \cdot \frac{1}{2}+4\neq 0

 

Wir probieren mit \displaystyle -\frac{1}{2}

 

\displaystyle 12 \cdot \left (- \frac{1}{2} \right )^{2}+14 \cdot \left ( -\frac{1}{2} \right )+4= 0

 

Zweite Division mit dem Horner Schema

 

Wir faktorisieren: D=d \cdot c

 

\displaystyle \left ( x-\frac{1}{2} \right )\cdot\left ( x+\frac{1}{2} \right )\cdot \left ( 12x+8 \right )

 

Wir klammern den gemeinsamen Faktor 12 im dritten Faktor aus.

 

\displaystyle \left ( x-\frac{1}{2} \right )\cdot\left ( x+\frac{1}{2} \right )\cdot \left ( x+\frac{2}{3} \right )

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Eva