Addition von Polynomen

Um zwei oder mehrere Polynome zu addieren, muss man die Koeffizienten der Terme, die die gleichen Variablen haben, addieren. Das heißt, die Variablen und Exponenenten (oder der Grad) müssen bei den Termen, die addiert werden sollen, gleich sein.

Methode 1 zur Addition von Polynomen

Schritte:

1 Die Polynome nach absteigendem Grad der Terme sortieren.

2 Die Monome vom gleichem Grad zusammenfassen.

3 Gleichartige Monome addieren.

 

Beispiel:

Polynome addieren: P(x) = 2x³ + 5x − 3,      Q(x) = 4x − 3x² + 2x³.

 

1Polynome ordnen, falls sie noch nicht geordnet sind.

 

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

 

2Monome vom gleichen Grad zusammenfassen.

 

P(x) + Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) + Q(x) = (2x³ + 2x³) + (− 3 x²) + (5x + 4x) + (− 3)

 

3Gleichartige Monome addieren.

 

P(x) + Q(x) = 4x³ − 3x² + 9x − 3

 

Methode 2 zur Addition von Polynomen

Polynome können auch addiert werden, indem man sie untereinander schreibt. So können gleichartige Monome, die untereinander stehen, direkt addiert werden.

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Beispiel:

Polynome addieren: P(x) = 7x4 + 4x² + 7x + 2, Q(x) = 6x³ + 8x +3.

 

1Terme nach absteigendem Grad untereinander anordnen und addieren.

Beispiel für die Addition von Polynomen

 

Somit erhalten wir

2P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x³ + 4x² + 15x + 5

 

Bei der Subtraktion von Polynomen wird der Subtrahend vom Minuenden abgezogen.

 

Beispiel:

1 Polynome subtrahieren: P(x) = 2x3 + 5x - 3, Q(x) = 2x³ - 3x² + 4x.

 

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

 

2 Die Vorzeichen des Subtrahenden Q(x) werden umgedreht.

 

P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

 

3 Wir fassen zusammen.

 

P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x − 4x − 3

 

4 Ergebnis der Subtraktion.

 

P(x) − Q(x) = 3x² + x − 3

 

 

Multiplikation von Polynomen

1. Eine Zahl mit einem Polynom multiplizieren

Die Multiplikation einer Zahl mit einem Polynom ergibt ein weiteres Polynom. Das Polynom, das man erhält, ist vom gleichen Grad wie das ursprüngliche Polynom. Die Koeffizienten des Polynoms, das man erhält, sind das Produkt aus den Koeffizienten des ursprünglichen Polynoms und der Zahl. Die Variablen bleiben dabei gleich.

 

Beispiele:

1 3 · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6

 

2 2(3x³ + 4x² + 2x − 1) = 6x³ + 8x² + 4x − 2

 

2. Ein Monom mit einem Polynom multiplizieren

Bei der Multiplikation eines Monoms mit einem Polynom wird das Monom mit jedem einzelnen Monom des Polynoms multipliziert. Dabei muss zunächst auf die Vorzeichen geachtet werden. Die jeweiligen Monome werden multipliziert, indem man die Koeffizienten multipliziert. Danach werden die Variablen multipliziert, indem man die Exponenten gleicher Variablen addiert.

Beispiel: 

3x² · (2x³− 3x²+ 4x − 2) = (3x² · 2x³) - (3x² · 3x²) + (3x² · 4x) - (3x² · 2) = 6x5− 9x4 + 12x³ − 6x²

 

3. Multiplikation von Polynomen

Die Multiplikation kann auf zwei unterschiedliche Arten durchgeführt werden.

 

Methode 1 zur Multiplikation von Polynomen

 

Schritte:

1 Jedes Monom des ersten Polynoms wird mit jedem Element des zweiten Polynoms multipliziert.

2 Die Monome vom gleichen Grad werden zusammengefasst und man erhält ein weiteres Polynom, dessen Grad die Summe der Grade der Polynome ist, die multipliziert werden.

 

Beispiel:

Folgende Polynome multiplizieren: P(x) = 2x²− 3,      Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x.

 

1Jedes Monom des ersten Polynoms mit jedem Element des zweiten Polynoms multiplizieren.

P(x) · Q(x) = (2x² − 3) · (2x³− 3x² + 4x) = 4x5 − 6x4 + 8x³− 6x³+ 9x²− 12x

 

2Monome vom gleichen Grad zusammenfassen.

P(x) · Q(x) = 4x5 − 6x4 + 8x³− 6x³+ 9x²− 12x = 4x5 − 6x4 + 2x³ + 9x² − 12x

 

3 Das Ergebnis ist ein weiteres Polynom, dessen Grad die Summe der Grade der Polynome ist, die multipliziert werden.

Grad des Polynoms = Grad von P(x) + Grad von Q(x) = 2 + 3 = 5

und

P(x) · Q(x) = 4x5 − 6x4 + 2x³ + 9x² − 12x

 

Methode 2 zur Multiplikation von Polynomen

Polynome können auch zusammengefasst werden, indem man ein Polynom unter das andere schreibt.

In jeder Zeile wird jedes einzelne Monom des zweiten Polynoms mit jedem einzelnen Monom des ersten Polynoms multipliziert. Gleichartige Monome werden in die gleiche Spalte geschrieben und danach werden die gleichartigen Monome zusammengefasst.

 

Beispiel:

Folgende Polynome multiplizieren: P(x) = 2x²− 3,      Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x.

 

Da bei der Multiplikation von Polynomem das Kommutativgesetz gilt, wird das einfachere Polynom als Multiplikator genommen.

 

Beispiel für die Multiplikation von Polynomen in Tabellenform

 

Division von Polynomen

Beispiel:Folgende Polynome sollen dividiert werden: P(x) = x5 + 2x3 − x − 8,        Q(x) = x2 − 2x + 1.

 

P(x) :  Q(x)

 

1 Wir stellen den Dividenden auf die linke Seite. Sollte das Polynom nicht vollständig sein, lassen wir an den entsprechenden Stelle eine Lücke.

 

Beispiel für die Division von Polynomen

 

2 Wir stellen den Divisor in Klammern auf die rechte Seite.

 

3 Wir dividieren das erste Monom des Dividenden durch das erste Monom des Divisors.

x5 : x2 = x3

 

4 Wir multiplizieren jeden Term des Divisor-Polynoms durch das vorher erhaltene Ergebnis und subtrahieren es vom Dividenden-Polynom:

 

Beispiel für die Division, Schritt 3

 

5 Wir dividieren noch einmal das erste Polynom des Dividenden durch das erste Monom des Divisors. Das Ergebnis multiplizieren wir mit dem Divisor und subtrahieren es vom Dividenden.

 

2x4 : x2 = 2 x2

 

Beispiel für die Division, Schritt 4

 

6 Wir führen die gleichen Rechenschritte wie vorher durch.

5x3 : x2 = 5 x

 

Beispiel für die Division, Wiederholung des vorherigen Schrittes

7 Wie bei den vorherigen Rechenschritten, dividieren wir 8x^2 durch x^2 und erhalten 8.

Wir multiplizieren jeden Term des Divisor mit 8 und erhalten:

 

8x^2 - 16x + 8

Mit dem Rest verfahren wir wie folgt:

 

(8x^2 - 6x - 8)-(8x^2 - 16x +8)= 8x^2 - 6x - 8 + 8x^2 + 16x - 8 = 10x - 16

 

10x − 16 ist der Rest, da sein Grad niedriger als der des Divisors ist. Deshalb kann nicht weiter dividiert werden.

 

x3+2x2 +5x+8 ist der Quotient.

 

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.