In diesen Übungsaufgaben behandeln wir folgende Themen:

  • Vereinfachung von Bruchtermen
  • Addition von Bruchtermen
  • Subtraktion von Bruchtermen
  • Multiplikation von Bruchtermen
  • Division von Bruchtermen
  • Rechenoperationen mit Bruchtermen

 

Vereinfache folgende Bruchterme

 

 

1 \displaystyle \frac{x^2 - 3x}{x^2 + 3x}

 

2 \displaystyle \frac{x^2 - 3x}{3 - x}

 

3 \displaystyle \frac{x^2 + x -2}{x^3 -x^2 -x + 1}

 

4 \displaystyle \frac{x^2 -5x + 6}{x^2 - 7x + 12}

 

5 \displaystyle \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - x - 2}

 

6 \displaystyle \frac{x^3 - 19x -30}{x^3 - 3x^2 - 10x}

 

 

Bruchterme vereinfachen:

1 \displaystyle \frac{x^2 - 3x}{x^2 + 3x}

Wir klammern den gemeinsamen Faktor x jeweils im Nenner und Zähler aus und erhalten somit

 

\displaystyle \frac{x^2 - 3x}{x^2 + 3x}= \frac{x(x - 3)}{x(x+3)}

 

Nun kürzen wir den gemeinsamen Faktor und erhalten folgende Vereinfachung

 

\displaystyle \frac{x(x - 3)}{x(x+3)} = \frac{x - 3}{x+3}

 

2 \displaystyle \frac{x^2 - 3x}{3 - x}

Wir klammern den gemeinsamen Faktor x im Zähler aus

 

\displaystyle \frac{x^2 - 3x}{3 - x} = \frac{x(x - 3)}{3 - x}

 

Wir multiplizieren den Zähler und den Nenner mit -1 und erhalten so einen äquivalenten Bruchterm

 

\displaystyle \frac{x(x - 3)}{3 - x} = \frac{-x(x-3)}{-(3 - x)}

 

Wir lösen die Klammer im Nenner auf und erhalten

 

\displaystyle \frac{-x(x-3)}{-(3 - x)} = \frac{-x(x-3)}{-3 + x} = \frac{-x(x-3)}{x - 3}

 

Wir kürzen den gemeinsamen Faktor im Nenner und im Zähler und erhalten

 

\displaystyle \frac{-x(x-3)}{x - 3} = -x

 

3\displaystyle \frac{x^2 + x -2}{x^3 -x^2 -x + 1}

 

Wir wenden folgendes Schema an:

 

P(1) = 1^2 + 1 -2 = 0

Q(1) = 1^3 - 1^2 - 1 + 1 = 0

 

Wir dividieren Zähler und Nenner nach dem Horner Schema

 

Horner Schema

 

Horner Schema 2

 

Bei der Division bleibt kein Rest, deshalb gilt D = d \cdot c und wir erhalten

 

\displaystyle \frac{x^2 + x -2}{x^3 -x^2 -x + 1}= \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(x^2 - 1)}

 

Wir vereinfachen den Bruchterm, indem wir den gemeinsamen Faktor des Zählers und des Nenners kürzen

 

\displaystyle \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(x^2 - 1)} = \frac{x + 2}{x^2 - 1}

 

Wir stellen fest, dass der Nenner x^2 - 1 = (x-1)(x+1) ist, allerdings befindet sich keiner der Faktoren im Zähler. Deshalb können wir nicht weiter kürzen oder vereinfachen. Aber wir können den Ausdruck wie folgt schreiben

 

\displaystyle \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(x^2 - 1)} = \frac{x + 2}{(x - 1)(x + 1)}

 

beide Ausdrücke sind korrekt und gültig.

4\displaystyle \frac{x^2 -5x + 6}{x^2 - 7x + 12}

 

Wir wenden die abc-Formel an und erhalten so die Nullstellen des Polynoms des Zählers und des Polynoms des Nenners. Dies hilft uns, die Polynome als Produkt von Binomen auszudrücken, die durch ihre Nullstellen definiert sind

abc-Formel zum Lösen von quadratischen Gleichungen

 

abc-Formel zum Lösen von quadratischen Gleichungen 2

 

Wir faktorisieren: ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)

 

\displaystyle \frac{x^2 -5x + 6}{x^2 - 7x + 12} = \frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x-4)}

 

Wir vereinfachen

 

\displaystyle \frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x-4)} = \frac{x - 2}{x - 4}

 

5\displaystyle \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - x - 2}

 

Wir wenden die abc-Formel an und erhalten so die Nullstellen des Polynoms des Zählers und des Polynoms des Nenners. Dies hilft uns, die Polynome als Produkt von Binomen auszudrücken, die durch ihre Nullstellen definiert sind

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 3

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 4

 

Wir faktorisieren: ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)

 

\displaystyle \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - x - 2} = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)}

 

Wir vereinfachen

 

\displaystyle \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{x - 3}{ x - 2}

 

6\displaystyle \frac{x^3 - 19x -30}{x^3 - 3x^2 - 10x}

 

Im Zähler wenden wir den Restsatz und das Horner Schema an, um die Nullstellen zu bestimmen

 

Die Divisoren von 30 sind: {\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 10, \pm 15, \pm 30}

 

P(-2) = (-2)^3 - 19(-2) - 30 = 0

 

Wir dividieren nach dem Horner Schema

 

División de Ruffini. 3

 

Der Zähler entspricht

 

\displaystyle x^3 - 19x -30 = (x + 2)(x^2 - 2x - 15)

 

Das Trinom können wir weiter faktorisieren oder aber die abc-Formel anwenden

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 5

 

\displaystyle x^3 - 19x -30 = (x + 2)(x + 3)(x - 5)

 

Im Nenner klammern wir den gemeinsamen Faktor x aus

 

\displaystyle x^3 - 3x^2 - 10x = x(x^2 - 3x - 10)

 

Um das Trinom zu faktorisieren, wenden wir die abc-Formel an

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 6

 

\displaystyle x^3 - 3x^2 - 10x = x(x + 2)(x - 5)

 

Somit können wir unseren ursprünglichen Ausdruck wie folgt darstellen

 

\displaystyle \frac{x^3 - 19x -30}{x^3 - 3x^2 - 10x} = \frac{(x + 2)(x + 3)(x - 5)}{x(x + 2)(x - 5)}

 

Wir vereinfachen

 

\displaystyle \frac{(x + 2)(x + 3)(x - 5)}{x(x + 2)(x - 5)} = \frac{x + 3}{x}

 

 

Subtraktion von Bruchtermen

 

\displaystyle \frac{x + 2}{x^3 - 1} - \frac{1}{x - 1}

 

 

Subtraktion von Bruchtermen:

\displaystyle \frac{x + 2}{x^3 - 1} - \frac{1}{x - 1}

 

Wir müssen die Bruchterme auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Dazu müssen wir das kgV der Nenner bestimmen. Wir stellen fest, dass

\displaystyle x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)

 

Deshalb gilt

 

\displaystyle \text{MCM}(x^3 - 1, x - 1) = (x - 1)(x^2 + x + 1)

 

Wir dividieren den gemeinsamen Nenner durch die Nenner der Bruchterme und das Ergebnis multiplizieren wir mit dem entsprechenden Zähler.

 

     \begin{align*} \frac{x + 2}{x^3 - 1} - \frac{1}{x - 1} &= \frac{x + 2}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} - \frac{x^2 + x + 1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}\\ &= \frac{(x + 2) - (x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}\\ &= \frac{-x^2 + 1 }{(x - 1)(x^2 + x + 1)}\\ &= \frac{-(x^2 - 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} \end{align*}

 

Außerdem müssen wir umformen x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1) und erhalten somit

 

\displaystyle \frac{-(x^2 - 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{-(x- 1)(x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}

 

Wir vereinfachen

 

\displaystyle \frac{-(x- 1)(x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{-(x + 1)}{x^2 + x + 1}

 

 

Multiplikation von Bruchtermen

 

 

1 \frac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6} \cdot \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4}

 

2 \frac{9 - 6x + x^2}{9 - x^2} \cdot \frac{x^2 - 5x + 6}{3x^2 - 9x}

 

 

Multipliziere die Bruchterme:

 

1 \frac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6} \cdot \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4}

 

Das Produkt der zwei Bruchterme ist ein weiterer Bruchterm, dessen Zähler das Produkt aus den Zählern und dessen Nenner das Produkt aus den Nennern ist

 

\displaystyle \frac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6} \cdot \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4} = \frac{(x^2 - 2x)(x^2 + 4x + 4)}{(x^2 - 5x + 6)(x^2 - 4)}

 

Um zu vereinfachen, zerlegen wir in Faktoren

 

Wir klammern den gemeinsamen Faktor [latex][/latex] aus dem ersten Faktor des Zählers aus. Der zweite Faktor ist ein perfektes quadratisches Trinom, das wir in ein Binom zum Quadrat umwandeln könnnen. Wir erhalten somit

\displaystyle x^2 - 2x = x(x - 2)

 

und

 

\displaystyle x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2

 

Wir faktorisieren das Trinom des Nenners mithilfe der abc-Formel

 

Formel zum Lösen von quadratischen Gleichungen. 7

 

Somit gilt

 

\displaystyle x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

 

Wir formen weiter um

 

\displaystyle x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

 

Wir setzen alles in unsere Multiplikation ein und erhalten

 

\displaystyle \frac{(x^2 - 2x)(x^2 + 4x + 4)}{(x^2 - 5x + 6)(x^2 - 4)} = \frac{x(x-2)(x+2)^2}{(x-2)(x-3)(x-2)(x+2)}

 

Wir vereinfachen

 

\displaystyle \frac{x(x-2)(x+2)^2}{(x-2)(x-3)(x-2)(x+2)} = \frac{x(x+2)}{(x-2)(x-3)}

 

2 \frac{9 - 6x + x^2}{9 - x^2} \cdot \frac{x^2 - 5x + 6}{3x^2 - 9x}

 

Wir multiplizieren die Nenner und Zähler und erhalten dadurch

 

\displaystyle \frac{9 - 6x + x^2}{9 - x^2} \cdot \frac{x^2 - 5x + 6}{3x^2 - 9x} = \frac{(9 - 6x + x^2)(x^2 - 5x + 6)}{(9 - x^2)(3x^2 - 9x)}

 

Das erste Trinom des Zähler ist ein perfektes quadratisches Trinom. Es entspricht einem Binom zum Quadrat.

Das zweite Trinom faktorisieren wir mithilfe der abc-Formel.

Im ersten Binom des Nenners haben wir unterschiedliche Hochzahlen. Wir faktorisieren.

Wir klammern den gemeinsamen Faktor x aus dem zweiten Binom aus. Schließlich sieht unsere Multiplikation wie folgt aus

 

\displaystyle \frac{(9 - 6x + x^2)(x^2 - 5x + 6)}{(9 - x^2)(3x^2 - 9x)} = \frac{(3 - x)^2(x - 3)(x - 2)}{3x(x - 3)(3 + x)(3 - x)}

 

Wir vereinfachen

 

\displaystyle \frac{(3 - x)^2(x - 3)(x - 2)}{3x(x - 3)(3 + x)(3 - x)} = \frac{(3 - x)(x - 2)}{3x(3 + x)}

 

 

Division von Bruchtermen

 

 

1 \frac{x + 2}{x^2 + 4x + 4} : \frac{x^2 - 4}{x^3 + 8}

 

2 \frac{x^3 + 3x^2 - 4x - 12}{x^2 + 2x - 3} : \frac{4x - 2x^2}{x^3 - 2x^2 + x}

 

 

Dividiere die Bruchterme:

 

1 \frac{x + 2}{x^2 + 4x + 4} : \frac{x^2 - 4}{x^3 + 8}

 

Die Division von zwei Bruchtermen ist ein weiterer Bruchterm, dessen Zähler das Produkt aus dem Zähler des ersten Bruchterms und dem Nenner des zweiten Bruchterms ist. Der Nenner ist das Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchterms und dem Zähler des zweiten Bruchterms.

 

\displaystyle \frac{x + 2}{x^2 + 4x + 4} : \frac{x^2 - 4}{x^3 + 8} = \frac{(x + 2)(x^3 + 8)}{(x^2 + 4x + 4)(x^2 - 4)}

 

Das zweite Binom ist eine Summe hoch 3: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

 

Das Trinom des Nenners ist ein perfektes quadratisches Trinom. Das Binom hat unterschiedliche Hochzahlen und wir faktorisieren deshalb.

 

\displaystyle \frac{(x + 2)(x^3 + 8)}{(x^2 + 4x + 4)(x^2 - 4)} = \frac{(x + 2)(x + 2)(x^2 -2x + 4)}{(x+2)^2(x + 2)(x - 2)}

 

Wir vereinfachen

 

\displaystyle \frac{(x + 2)(x + 2)(x^2 -2x + 4)}{(x+2)^2(x + 2)(x - 2)} = \frac{x^2 -2x + 4}{(x + 2)(x - 2)}

 

oder auch

 

\displaystyle \frac{(x + 2)(x + 2)(x^2 -2x + 4)}{(x+2)^2(x + 2)(x - 2)} = \frac{x^2 -2x + 4}{x^2 - 4}

 

2 \frac{x^3 + 3x^2 - 4x - 12}{x^2 + 2x - 3} : \frac{4x - 2x^2}{x^3 - 2x^2 + x}

Durch die Divison erhalten wir

 

\displaystyle\frac{x^3 + 3x^2 - 4x - 12}{x^2 + 2x - 3} : \frac{4x - 2x^2}{x^3 - 2x^2 + x} = \frac{(x^3 + 3x^2 - 4x - 12)(x^3 - 2x^2 + x)}{(x^2 + 2x - 3)(4x - 2x^2)}

 

Der erste Faktor kann mithilfe des Restsatzes und des Horner Schemas zerlegt werden.

Wir klammern den gemeinsamen Faktor x aus und es bleibt ein perfektes quadratisches Trinom, das wir auch als Binom zum Quadrat schreiben können.

Der erste Faktor des Nenners ist ein Trinom zweiten Grades, das wir mithilfe der allgemeinen Formel faktorisieren können.

Wir klammern den gemeinsamen Faktor 2x aus. Unser ursprünglicher Ausdruck sieht nun wie folgt aus

 

\displaystyle \frac{(x^3 + 3x^2 - 4x - 12)(x^3 - 2x^2 + x)}{(x^2 + 2x - 3)(4x - 2x^2)} = \frac{(x - 2)(x + 2) (x + 3) x (x - 1)^2}{(x + 3)(x - 1)2x(2 - x)}

 

wir vereinfachen

 

\displaystyle \frac{(x - 2)(x + 2) (x + 3) x (x - 1)^2}{(x + 3)(x - 1)2x(2 - x)} = \frac{(x - 2)(x + 2)(x - 1)}{2(2 - x)}

 

Wir multiplizieren Nenner und Zähler mit -1 und erhalten somit einen äquivalenten Bruchterm

 

\displaystyle \frac{(x - 2)(x + 2)(x - 1)}{2(2 - x)} = \frac{-(x - 2)(x + 2)(x - 1)}{2(x - 2)}

 

Wir vereinfachen

 

\displaystyle \frac{-(x - 2)(x + 2)(x - 1)}{2(x - 2)} = -\frac{(x + 2)(x - 1)}{2}

 

 

Multiplikation von gemischten Bruchtermen

 

Löse:

 

\left(x + \frac{x}{x - 1} \right) \left( x - \frac{x}{x - 1}\right)

 

 

Löse:

\left(x + \frac{x}{x - 1} \right) \left( x - \frac{x}{x - 1}\right)

 

Wir haben das Produkt aus einer Summe und einer Differenz. Dies drücken wir als eine Differenz zum Quadrat aus. Wir erhalten

 

     \begin{align*} \left(x + \frac{x}{x - 1} \right) \left( x - \frac{x}{x - 1}\right) &= x^2 - \left( \frac{x}{(x - 1)^2}\right)^2\\ &= x^2 - \frac{x^2}{(x - 1)^2} \end{align*}

 

Wir bringen auf einen gemeinsamen Nenner

 

     \begin{align*} x^2 - \frac{x^2}{(x - 1)^2} &= \frac{x^2(x - 1)^2}{(x - 1)^2} - \frac{x^2}{(x - 1)^2}\\ &= \frac{x^2(x - 1)^2 - x^2}{(x - 1)^2} \end{align*}

 

Wir klammern den gemeinsamen Faktor x^2 aus und fahren fort

 

     \begin{align*} \frac{x^2(x - 1)^2 - x^2}{(x - 1)^2} &= \frac{x^2[(x-1)^2 - 1]}{(x - 1)^2}\\ &= \frac{x^2(x - 1 - 1)(x -1 + 1)}{(x - 1)^2}\\ &= \frac{x^2(x - 2)x}{(x - 1)^2}\\ \end{align*}

 

Wir multiplizieren

 

\displaystyle \frac{x^2(x - 2)x}{(x - 1)^2} = \frac{x^3(x - 2)}{(x - 1)^2}

 

 

Verhältnis von 2 Bruchtermen

 

Führe aus:

 

\left(x + \frac{x}{x - 1} \right) : \left( x - \frac{x}{x - 1}\right)

 

 

Führe aus:

\left(x + \frac{x}{x - 1} \right) : \left( x - \frac{x}{x - 1}\right)

 

Wir bringen auf einen gemeinsamen Nenner

 

     \begin{align*} \left(x + \frac{x}{x - 1} \right) : \left( x - \frac{x}{x - 1}\right) &= \frac{x(x - 1) + x}{x - 1} : \frac{x(x - 1) - x}{x - 1} \\ &= \frac{x^2 - x + x}{x - 1} : \frac{x^2 - x - x}{x - 1} \\ &= \frac{x^2}{x - 1} : \frac{x^2 - 2x}{x - 1} \\ &= \frac{x^2}{x - 1} : \frac{x(x - 2)}{x - 1} \\ \end{align*}

 

Die Division der zwei Bruchterme ergibt einen weiteren Bruchterm. Dessen Zähler ist das Produkt aus dem Zähler des ersten Bruchterms und dem Nenner des zweiten Bruchterms. Der Nenner ist das Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchterms und dem Zähler des zweiten Bruchterms.

 

\frac{x^2}{x - 1} : \frac{x(x - 2)}{x - 1} = \frac{x^2 (x - 1)}{x(x-2)(x - 1)}

 

Wir vereinfachen

 

\frac{x^2 (x - 1)}{x(x-2)(x - 1)} = \frac{x}{x-2}

 

 

Übungsaufgaben zu Bruchtermen

 

Führe aus:

 

 \displaystyle \frac{x}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}

 

 

Führe aus:

 \displaystyle \frac{x}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}

 

Als Erstes addieren wir \displaystyle 1 + \frac{1}{x} und nehmen den Kehrwert des Ergebnisses. Dies wiederholen wir so lange, bis wir unser Ergebnis erhalten.

 

     \begin{align*} \frac{x}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}} &= \frac{x}{1 + \frac{1}{\frac{x + 1}{x}}}\\ &= \frac{x}{1 + \frac{x}{x + 1}}\\ &= \frac{x}{\frac{x + 1 + x}{x + 1}}\\ &= \frac{x}{\frac{2x + 1}{x + 1}}\\ &= \frac{x(x + 1)}{2x + 1} \end{align*}

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Eva