Algebraische Ausdrücke

In der Algebra geht es um den Umgang mit numerischen Beziehungen, bei denen eine oder mehrere Größen unbekannt sind. Diese Größen heißen Variablen oder Unbekannte und werden als Buchstaben dargestellt.

Ein algebraischer Ausdruck ist eine Kombination aus Buchstaben und Zahlen, mit denen bestimmte Rechenoperationen durchgeführt werden müssen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung.

Mit algebraischen Ausdrücken lassen sich zum Beispiel Flächen oder Volumen berechnen.

Umfang eines Kreises: 2πr, wobei r der Radius des Kreises ist.

Fläche zum Quadrat: S = l², wobei l die Seite des Quadrats ist.

Volumen eines Quaders: V = a³, wobei a die Kante des Quaders ist.

 

Allgemeine algebraische Ausdrücke

Das Doppelte einer Zahl: 2x

Das Dreifache einer Zahl: 3x

Das Vierfache einer Zahl: 4x

Die Hälfte einer Zahl: x/2

Ein Drittel einer Zahl: x/3

Ein Viertel einer Zahl: x/4

Eine Zahl ist proportional zu 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x...

Eine Zahl zum Quadrat:

Eine Zahl zum Kubik:

Eine gerade Zahl: 2x

Eine ungerade Zahl: 2x + 1

Zwei aufeinanderfolgende Zahlen: x y x + 1

Zwei aufeinanderfolgende gerade Zahlen: 2x y 2x + 2

Zwei aufeinanderfolgende ungerade Zahlen: 2x + 1 y 2x + 3

Die Zahl 24 in zwei Teile zerlegen: x y 24 − x

Die Summe zweier Zahlen ist 24: x y 24 − x

Die Differenz zweier Zahlen ist 24: x y 24 + x

Das Produkt zweier Zahlen ist 24: x y 24/x

Der Quotient zweier Zahlen ist 24: x y 24 · x

Beispiele:

Das Dreifache einer Zahl minus 2: 3x − 2

Das Doppelte der Summe einer Zahl plus 2: 2 · (x + 2)

Der fünfte Teil einer Zahl zum Kubik:

Die Hälfte einer Zahl minus fünf hoch drei:

Die Summe einer Zahl plus drei zum Quadrat: (x + 3)²

Das Doppelte einer Zahl plus deren Hälfte:

Sieben minus das Vierfache einer Zahl: 7 − 4x

Eine Zahl plus das Dreifache der darauffolgenden Zahl: x + 3 · (x + 1)

Das Dreifache einer Zahl zum Quadrat minus vier: (3x)² − 4

 

 

Ein Monom ist ein algebraischer Ausdruck, bei der die einzigen Rechenoperationen zwischen den Variablen das Produkt und die Potenz des natürlichen Exponenten sind.

Teile eines Monoms

1Koeffizient

Der Koeffizient des Monoms ist die Zahl, mit der die Variablen multipliziert werden.

Beispiele:

Der Koeffizient des Monoms 3x³y²z ist 3

Der Koeffizient des Monoms ¾xy²z ist ¾

Der Koeffizient des Monoms x²z ist 1

Der Koeffizient des Monoms 5/3 ist 5/3

Der Koeffizient des Monoms x ist 1

2Unbekannte

Unbekannte werden als Buchstaben und deren Exponenten dargestellt.

Die Unbekannte des Monoms 3x³y²z ist x³y²z

Die Unbekannte des Monoms y²z ist y²z

Die Unbekannte des Monoms 2abc ist abc

Das Monom 5 hat keine Unbekannte

Die Unbekannte des Monoms x ist x

3Grad

Der Grad eines Monoms ist die Summe aller Exponenten der Buchstaben oder Variablen.

Der Grad des Monoms 2x²y³z ist: 2 + 3 + 1 = 6

Der Grad des Monoms x²z ist: 2 + 1 = 3

Der Grad des Monoms 2abc ist: 1 + 1 + 1 = 3

Der Grad des Monoms 5 ist: 0 (man kann auch 5x0 schreiben)

Der Grad des Monoms x ist: 1

Gleichartige Monome

Zwei Monome sind gleichartig, wenn die Unbekannte gleich ist.

2x²y³z ist gleichartig zu 5x²y³z

5xz ist gleichartig zu xz

4a³z² ist gleichartig zu a³z²

 

Rechenoperationen mit Monomen

1. Summe von Monomen

Um zwei oder mehrere Monome zu addieren, müssen diese gleichartig sein. Das heißt, die Variablen der Monome müssen gleich sein.

Die Summe der Monome ist ein weiteres Monom, das die gleiche Variable hat und dessen Koeffizient die Summe der Koeffizienten ist.

axn + bxn= (a + b)xn

Beispiele:

2x²y³z + 3x²y³z = (2+3)x²y³z = 5x²y³z

4xy + 3xy − 5xy = 2xy

4x − 5x − 3x + 2x = −2x

Wenn die Monome nicht gleichartig sein, erhält man bei deren Zusammenfassung ein Polynom.

Beispiel:

2x²y³ + 3x²y³z

 

2. Produkt aus einer Zahl und eines Monoms

Das Produkt aus einer Zahl und einem Monom ergibt ein weiteres gleichartiges Monom, dessen Koeffizient das Produkt aus dem Koeffizienten des Monoms und der Zahl ist.

Beispiele:

5 · (2x²y³z) = 10x²y³z

Üblicherweise lässt man das Malzeichen zwischen der Zahl und der Klammer weg

4(2x²y³z) = 8x²y³z

3. Multiplikation von Monomen

Die Multiplikation von Monomen ergibt ein weiteres Monom, dessen Koeffizient das Produkt aus den Koeffizienten ist. Die Variable des Monoms ist die Multiplikation der Potenzen, die die gleiche Basis haben. Man addiert also die Exponenten.

axn · bxm = (a · b)xn + m

Beispiel:

(5x²y³z) · (2y²z²) = (2 · 5) x²y3+2z1+2 = 10x²y5

4x · (3x²y) = 12x³y

4. Division von Monomen

Monome können nur dividiert werden, wenn der Grad des Dividenden größer als der des Divisors ist oder gleich

Die Division von Monomen ergibt ein weiteres Monom, dessen Koeffizient der Quotient der Koeffizienten ist. Die Unbekannte erhält man, indem man die Potenzen, die die gleiche Basis haben dividiert. Man subtrahiert also die Exponenten.

axn : bxm = (a : b)xn − m

Beispiel:

Wenn der Grad des Divisors größer ist, erhalten wir einen Bruchterm.

Beispiel:

5. Potenz eines Monoms

Um ein Monom zu potenzieren, muss jeder Faktor separat potenziert werden und die Exponenten der Variablen werden mit dem Exponenten multipliziert.

(axn)m = am · xn · m

Beispiel:

(2x³)³ = 2³ · (x³)³ = 8x9

 

(−3x²)³ = (−3)³· (x²)³ = −27x6

Beispiele:

(2x³)³ = 2³ · (x³)³ = 8x9

 

(−3x²)³ = (−3)³· (x²)³ = −27x6

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