Ein Bruchterm ist der Quotient zweier Polynome und sieht wie folgt aus:

{\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}}

 

Hierbei gilt:

 

{P(x)} ist der Zähler,

 

{Q(x)} ist der Nenner,

 

Es muss gelten {Q(x)\neq 0}

 

Beispiele:

 

1{\displaystyle\frac{x+1}{x^{2}+x+1}}

 

2{\displaystyle\frac{7x^{2}-7}{7x^{3}-7}}

 

3{\displaystyle\frac{x+3}{x-3}}

 

Äquivalente Bruchterme

 

Zwei Bruchterme

 

{\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)} \ \ \mbox{y} \ \ \displaystyle\frac{R(x)}{S(x)}}

 

sind äquivalent und können wie folgt dargestellt werden:

 

{\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{R(x)}{S(x)}}

 

wenn gilt

 

{P(x)\cdot S(x)=R(x)\cdot Q(x)}

 

Beispiel:

 

Überprüfen, ob die Bruchterme äquivalent sind

 

{\displaystyle\frac{x+2}{x^{2}-4} \ \ \mbox{y} \ \ \displaystyle\frac{1}{x-2}}

 

Wir überprüfen, ob wir auf beiden Seiten das gleiche Ergebnis erhalten

 

{\begin{array}{rcl} (x+2)\cdot (x-2) & = & (1)\cdot (x^{2}-4)\\ && \\ x^{2}-4 & = & x^{2}-4 \end{array}}

 

Beide Produkte sind gleich, deshalb sind die Bruchterme äquivalent

Wir haben einen Bruchterm. Wenn wir dessen Zähler und Nenner mit einem gleichen Polynom, das nicht null ist, multiplizieren, ist der resulitierende Bruchterm äquivalent zu dem gegebenen Bruchterm.

Beispiel:

 

Wenn wir den Zähler und den Nenner des Bruchterms

 

{\displaystyle\frac{x+3}{x-3}}

 

mit {x-1} multiplizieren, erhalten wir einen äquivalenten Bruchterm

 

{\displaystyle\frac{x+3}{x-3}=\frac{(x+3)(x-1)}{(x-3)(x-1)}}

 

Um zu überprüfen, ob sie äquivalent sind, multiplizieren wir wie folgt

{(x+3)(x-3)(x-1)=(x+3)(x-1)(x-3)}

 

Da auf beiden Seiten die gleichen Faktoren stehen, ist die Gleichung allgemein gültig. Das heißt, die beiden Bruchterme sind äquivalent.

Bruchterme vereinfachen

 

Um Bruchterme zu vereinfachen, teilt man den Zähler und den Nenner des Bruchs durch ein Polynom, das von beiden ein Faktor ist.

Beispiel:

 

Vereinfachen {\ \ \displaystyle\frac{x^{2}+4x+4}{x^{2}-4}}

 

1Wir faktorisieren den Zähler, der ein vollständiges quadratisches Trinom ist

 

{x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}}

 

2Wir faktorisieren den Nenner, der eine Differenz von Quadraten ist

{x^{2}-4=(x-2)(x+2)}

 

3Durch den gemeinsamen Faktor {x+2} vereinfachen wir und erhalten

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{x^{2}+4x+4}{x^{2}-4} & = & \displaystyle\frac{(x+2)^{\xcancel{2}}}{(x-2)\xcancel{(x+2)}}  \\ & & \\ & =& \displaystyle\frac{(x+2)}{(x-2)} \end{array}}

 

Beispiel:

 

Wir vereinfachen {\ \ \displaystyle\frac{7x^{2}-7}{7x^{3}-7}}

 

1Wir faktorisieren den Zähler, der einen gemeinsamen Faktor und eine Differenz von Quadraten enthält

 

{\begin{array}{rcl} 7x^{2}-7 & = & 7(x^{2}-1) \\ & & \\ & =& 7(x-1)(x+1) \end{array}}

 

2Wir faktorisieren den Nenner, der einen gemeinsamen Faktor und eine Differenz von Kubikzahlen enthält

 

{\begin{array}{rcl} 7x^{3}-7 & = & 7(x^{3}-1) \\ & & \\ & =& 7(x-1)(x^{2}+x+1) \end{array}}

 

3Mit dem gemeinsamen Faktor {7(x-1)} vereinfachen wir und erhalten

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{7x^{2}-7}{7x^{3}-7} & = & \displaystyle\frac{7(x-1)(x+1)}{7(x-1)(x^{2}+x+1)} \\ & & \\ & = & \displaystyle\frac{(x+1)}{(x^{2}+x+1)} \end{array}}

 

Bruchterme erweitern

 

Um einen Bruchterm zu erweitern, multipliziert man den Zähler und den Nenner mit einem gleichen Polynom.

Beispiel:

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{x+2}{x-2} \cdot \frac{x+2}{x+2} & = & \displaystyle\frac{(x+2)^{2}}{(x+2)(x-2)} \\ & & \\ & = & \displaystyle\frac{x^{2}+4x+4}{x^{2}-4} \end{array}}

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Eva