Was besagt der Satz?

Wie wir wissen, erhalten wir bei der Division eines Polynoms P(x) durch F(x) einen Quotienten Q(x) und einen Rest R(x)

 

\displaystyle P(x) = F(x)Q(x) + R(x)

 

wobei der Grad von R(x) niedriger als der Grad von F(x) sein muss. Die Division kann auch wie folgt dargestellt werden:

 

\displaystyle \frac{P(x)}{F(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{F(x)}

 

Der Polynomrestsatz hilft uns dabei, den Rest R(x) zu bestimmen, der bleibt, wenn man P(x) durch ein Polynom der Form F(x) = x - a teilt. Der Satz besagt Folgendes:

 

Satz: Gegeben ist ein Polynom P(x). Somit entspricht der Rest, der bei der Division von P(x) durch F(x) = x - a bleibt, dem Ergebnis, das man erhält, wenn man das Polynom P(x) von a berechnet. Das heißt:

 

\displaystyle R(x) = P(a)

 

Beispiel: Gegeben sind die Polynome P(x) = x^4 - 3x^2 + 2 und F(x) = x - 3. Wir setzen ein

 

\displaystyle P(3) = 3^4 - 3\cdot 3^2 + 2 = 56

 

Deshalb muss der Rest, der bei der Division von P(x) durch F(x) bleibt, 56 sein. Um dies zu überprüfen, wenden wir das Horner-Schema an. Wir schreiben alle Koeffizienten des Polynoms P(x) in die erste Zeile unserer Übersicht und stellen die 3 etwas weiter nach links:

 

\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & & & & \\\hline& & & & &\end{array}

 

Danach schreiben wir die 1 (der erste Koeffizient von P(x)) unter die horizontale Linie:

 

\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & & & & \\\hline& 1 & & & &\end{array}

 

Wir multiplizieren die 1 unter der Linie mit 3 (das Ergebnis ist 3) und schreiben das Ergebnis unter den nächsten Koeffizienten von P(x):

 

\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & & & \\\hline& 1 & & & &\end{array}

 

Dann subtrahieren wir die Zahlen, die in der Spalte des zweiten Koeffizienten (0 + 3 = 3) stehen und notieren das Ergebnis unterhalb der Linie:

\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & & & \\\hline& 1 & 3 & & &\end{array}

 

Wir wiederholen die vorhergehenden Schritte. Wir multiplizieren die Zahl, die unterhalb der Linie steht mit 3 (das Ergebnis ist 9) und schreiben das Ergebnis unter den zweiten Koeffizienten von P(x). Schließlich addieren wir die Zahlen:

 

\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & 9 & & \\\hline& 1 & 3 & 6 & &\end{array}

 

Wir wiederholen die Schritte, dieses Mal mit der Zahl 6:

 

\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & 9 & 18 & \\\hline& 1 & 3 & 6 & 18 &\end{array}

 

Wir wiederholen die Schritte noch einmal, dieses Mal mit der Zahl 18:

 

\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & 9 & 18 & 54\\\hline& 1 & 3 & 6 & 18 & \vline \; 56\end{array}

 

Nun sehen wir, dass R(x) = 56 und somit unser gewünschtes Ergebnis ist.

 

Bemerkung: Wie wir am vorhergehenden Beispiel sehen, ermittlen wir mit dem Restsatz nur den Rest, der bei der Division eines Polynoms bleibt. Wenn wir den Quotienten Q(x) herausfinden möchten, müssen wir die vollständige Division durchführen.

 

Bemerkung: Der Satz besagt, dass wir durch ein Polynom der Form F(x) = x - a dividieren. Wenn wir ein Polynom der Form F(x) = x + a haben, schreiben wir

 

\displaystyle F(x) = x + a = x - (-a)

 

Um also den Rest herauszufinden, werten wir einfach P(-a) aus. Mit anderen Worten, wir nehmen das konstante Glied von F(x), aber mit umgedrehtem Vorzeichen.

 

Bemerkung: Dieser Satz ist sehr wichtig, doch er besagt uns nicht, ob ein Polynom ein Faktor von P(x) ist. Wir wissen, dass x - a ein Faktor von P(x) ist, wenn P(a) = 0. Dieser Satz ist bekannt als Faktorsatz.

 

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Los geht's

Übungsaufgaben

 

1 Berechne mit dem Restsatz den Rest der Division von P(x) = x^5 - 32 geteilt durch x - 2. Überprüfe später mithilfe des Horner-Schemas.

 

1 Wir wenden zunächst den Restsatz an. Wir werten das Polynomy für x = 2 aus:

 

\displaystyle P(2) = 2^5 - 32 = 32 - 32 = 0

 

Da der Rest 0 ist, stellen wir fest, dass x - 2 ein Faktor von P(x) ist.

 

2 Nun überprüfen wir mithilfe des Horner-Schemas. Zuerst schreiben wir die Koeffizienten des Polynoms in die erste Zeile (wir denken daran, alle Koeffizienten aufzuschreiben, auch die der Terme x^4, x^3 usw.); danach schreiben wir die 2 leicht nach links versetzt und ziehen den ersten Koeffizienten des Polynoms nach unten:

 

\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32\\2 & & & & & & \\\hline& 1 & & & & &\end{array}}

 

Wir multiplizieren die Zahl, die unter der horizontalen Linie steht, mit 2 und schreiben sie unter den Koeffizienten des zweiten Terms. Danach addieren wir die Terme dieser Spalte:

 

\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32\\2 & & 2 & & & & \\\hline& 1 & 2 & & & &\end{array}}

 

Wir wiederholen den Vorgang für die folgende Zahl, die unterhalb der horizontalen Linie steht:

 

\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32\\2 & & 2 & 4 & & & \\\hline& 1 & 2 & 4 & & &\end{array}}

 

Wir wiederholen:

 

\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32\\2 & & 2 & 4 & 8 & & \\\hline& 1 & 2 & 4 & 8 & &\end{array}}

 

\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32\\2 & & 2 & 4 & 8 & 16 & \\\hline& 1 & 2 & 4 & 8 & 16 &\end{array}}

 

und erhalten schließlich:

 

\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32\\2 & & 2 & 4 & 8 & 16 & 32\\\hline& 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & \vline \; 0\end{array}}

 

Wir sehen wir nun, dass der Rest der Division 0 ist.

 

2 Gegeben ist das Polynom P(x) = 2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6. Bestimme den Rest, der bei der Division bleibt. Geteilt durch:

 

a x + 1

 

b x - 1

 

c x + 2

 

d x - 2

 

Wir wenden bei allen Fällen den Restsatz an:

 

a x + 1

 

Um den Rest zu bestimmen, reicht es, P(x) für x = -1 zu berechnen. Nämlich

 

\displaystyle P(-1) = 2(-1)^4 + (-1)^3 - 8(-1)^2 - (-1) + 6 = 0

 

Somit ist der Rest 0.

 

b x - 1

 

In diesem Fall berechnen wir für x = 1 wie folgt:

 

\displaystyle P(1) = 2 + 1 - 8 - 1 + 6 = 0

 

Somit ist der Rest hier auch 0.

 

c x + 2

 

Nun berechnen wir für x = -2. Das heißt,

 

\displaystyle P(-2) = 2(-2)^4 + (-2)^3 - 8(-2)^2 - (-2) + 6 = 0

 

Deshalb ist der Rest 0.

 

d x - 2

 

Schließlich berechnen wir für x = 2, um den Rest zu bestimmen. Somit gilt

 

\displaystyle P(2) = 2(2)^4 + 2^3 - 8(2)^2 - 2 + 6 = 12

 

Hier ist der Rest 12.

 

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.