Zahlenwert eines Polynoms

Der Zahlenwert eines Polynoms ist das Ergebnis, das wir erhalten, wenn wir die Variable x durch eine gegebene Zahl ersetzen. Dies bedeutet, dass der Zahlenwert von der Zahl, die wir für unsere Variable einsetzen, abhängt. Sehen wir uns folgende Beispiele an:

 

1Berechne den Zahlenwert des Polynoms \displaystyle P(x) = 2x^3 + 5x - 3

für folgende Werte

 

a x = -1

 

b x = 0

 

c x = 1

 

Berechne den Zahlenwert des Polynoms \displaystyle P(x) = 2x^3 + 5x - 3

für folgende Werte

 

a x = -1

 

Laut Definition müssen wir das Polynom für x = -1 berechnen und erhalten somit

 

    \begin{align*} P(-1) &= 2(-1)^3 + 5(-1) -3\\&= 2(-1) - 5 - 3\\&= -2 - 8\\&= - 10\end{align*}

 

b x = 0

 

Wir berechnen für x = 0

 

    \begin{align*} P(0) &= 2(0)^3 + 5(0) -3\\&= 2(0) + 0 - 3\\&= 0 + 0 - 3\\&= - 3\end{align*}

 

c x = 1

 

Schließlich berechnen wir für x = 1

 

    \begin{align*} P(1) &= 2(1)^3 + 5(1) -3\\&= 2(1) + 5 - 3\\&= 2 + 5 - 3\\&= 4\end{align*}

 

So erhalten wir drei Werte für unser Polynom P(x): Der Wert von P(x) für x = -1 ist -10, der Wert von P(x) für x = 0 ist -3 und schließlich der Wert von P(x) für x = 1 ist 4.

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Los geht's

Gleiche Polynome

Damit zwei Polynome gleich sind, müssen sie folgende Bedingungen erfüllen:

 

    • Die beiden Polynome haben den gleichen Grad.

 

  • Die Monome mit dem gleichen Grad müssen die gleichen Koeffizienten bei beiden Polynomen haben (sowie das gleiche Vorzeichen).

 

Zum besseren Verständnis sehen wir uns einige Beispiele an:

Bestimme, ob die folgenden Polynome gleich sind oder nicht und erkläre, warum.

1

    \begin{align*} P(x) &= 2x^3 + 5x - 3\\Q(x) &= 5x - 3 + 2x^3\end{align*}

2

    \begin{align*} P(x) &= 2x + 5x^3 - 3x^2\\Q(x) &= 5x - 3 + 2x^3\end{align*}

3

    \begin{align*} P(x) &= 2x^3 + 8x^2 + 5x - 3\\Q(x) &= 5x - 3 + 2x^3\end{align*}

4

    \begin{align*} P(x) &= 2x^3y + 5y - 3xy^2\\Q(x) &= 5xy - 3 + 2x^3y^2\end{align*}

Laut Definition müssen beide Bedingungen erfüllt sein, damit die Polynome als gleich gelten. Allerdings reicht es aus, herauszufinden, dass eine Bedingung nicht erfüllt ist, um zu beweisen, dass die Polynome nicht gleich sind.

 

1 Die Polynome

 

    \begin{align*} P(x) &= 2x^3 + 5x - 3\\Q(x) &= 5x - 3 + 2x^3\end{align*}

 

Wir stellen fest, dass der Grad der Polynome gleich ist (Grad 3). Außerdem taucht jedes Monom von P(x) auch in Q(x) auf und die Koeffizienten stimmen überein. Deshalb sind die beiden Polynome gleich.

 

2 Die Polynome

 

    \begin{align*} P(x) &= 2x + 5x^3 - 3x^2\\Q(x) &= 5x - 3 + 2x^3\end{align*}

 

Sie sind nicht gleich, da das Monom vom Grad 1 in P(x) 2x ist, während das Monom vom Grad 1 in Q(x) 5x ist. Somit stimmen die Koeffizienten nicht überein, nämlich 2 \neq 5.

 

3 Die Polynome

 

    \begin{align*} P(x) &= 2x^3 + 8x^2 + 5x - 3\\Q(x) &= 5x - 3 + 2x^3\end{align*}

 

Sie sind nicht gleich, da das Monom vom Grad 2 in P(x) 8x^2 ist, während in Q(x) das Monom vom Grad 2 nicht auftaucht. Das heißt, es entspricht 0x^2. Somit stimmen die Koeffizienten nicht überein.

 

4 Die Polynome

 

    \begin{align*} P(x) &= 2x^3y + 5y - 3xy^2\\Q(x) &= 5xy - 3 + 2x^3y^2\end{align*}

 

Bei diesem Beispiel haben wir Monome, in denen mehr als eine Variable vorkommt. Damit die Polynome gleich sind, müssen die Variablen in jedem Monom mit Unbekannten die gleiche Hochzahl haben. Wir stellen fest, dass das Monom 2x^3y in P(x) vorkommt, jedoch nicht in Q(x). Wir sehen, dass in Q(x) dieses Monom 0x^3y ist und somit die Koeffizienten nicht übereinstimmen. Die Polynome sind also nicht gleich.

Gleichartige Polynome

Die Polynome P(x) und Q(x) sind gleichartig, wenn sich für jedes Monom in P(x) ein Monom mit den gleichen Unbekannten in Q(x) findet, dessen Koeffizient ungleich 0 ist. Hierbei müssen die Monome nicht die gleichen Koeffizienten haben, aber die Koeffizienten dürfen nicht null sein (ungleich null).

Um diese Definition besser zu verstehen, sehen wir uns ein paar Beispiele an:

Bestimme, ob folgende Polynome gleichartig sind oder nicht und erkläre, warum.

1

    \begin{align*} P(x) &= 2x^3 + 5x - 3\\Q(x) &= 5x - 3 + 2x^3\end{align*}

2

    \begin{align*} P(x) &= 2x + 5x^3 - 3x^2\\Q(x) &= 5x - 3 + 2x^3\end{align*}

3

    \begin{align*} P(x) &= 2x^3 + 8x^2 + 5x - 3\\Q(x) &= 5x - 3 + 2x^3\end{align*}

4

    \begin{align*} P(x) &= 2x^3y + 5y - 3xy^2\\Q(x) &= 5xy - 3 + 2x^3y^2\end{align*}

Damit die Polynome gleichartig sind, muss gelten: Wenn ein Monom in einem der Polynome vorkommt, muss ein weiteres Monom mit den gleichen Unbekannten und dem Koeffizienten ungleich null in dem anderen Polynom vorkommen.

 

1 Die Polynome

    \begin{align*} P(x) &= 2x^3 + 5x - 3\\Q(x) &= 5x - 3 + 2x^3\end{align*}

 

Da diese Polynome gleich sind, kommt jedes Monom des ersten Polynoms auch im zweiten Polynom vor und deswegen sind die Polynome gleichartig. Polynome, die gleich sind, sind somit immer gleichartig.

 

2 Die Polynome

    \begin{align*} P(x) &= 2x + 5x^3 - 3x^2\\Q(x) &= 5x - 3x^2 + 2x^3\end{align*}

 

Diese Polynome sind gleichartig, da beide aus Monomen vom Grad 1, 2 und 3 bestehen. Die Unbekannte ist x und die Koeffizienten ungleich null.

 

3

    \begin{align*} P(x) &= 2x^3 + 8x^2 + 5x - 3\\Q(x) &= 5x - 3 + 2x^3\end{align*}

 

Die Polynome sind nicht gleichartig, das das Monom vom Grad 2 in P(x)  8x^2 ist. In Q(x) kommt das Monom vom Grad 2 allerdings nicht vor. Somit entspricht das Monom 0x^2 und die Definition von gleichartigen Polynomen ist nicht erfüllt.

 

4 Die Polynome

    \begin{align*} P(x) &= 2x^3y + 5y - 3xy^2\\Q(x) &= 5xy - 3 + 2x^3y^2\end{align*}

 

In diesem Beispiel haben wir Monome, in denen die Unbekannten aus mehreren Variablen bestehen. Wir sehen fast auf den ersten Blick, dass die Polynome nicht gleichartig sind, da wir in P(x) ein Monom vom Grad 1 mit der Unbekannten y haben, nämlich 5y. Allerding kommt in Q(x) kein Monom vom Grad 1 mit der Unbekannten y vor und die Definition von gleichartigen Polynomen ist somit nicht erfüllt.

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.