Rechenoperationen mit Monomen

Führe die folgenden Rechenoperationen mit Monomen durch:

 

1 2a^2 b c^3 - 5a^2 b c^3 + 3a^2 b c^3 - 2a^2 b c^3

1 Die Monome, aus denen sich der mathematische Ausdruck zusammensetzt, sind äquivalent. Das heißt, sie haben die selben Variablen mit den jeweiligen Exponenten. Deshalb erhält man das Ergebnis, indem man die Koeffizienten zusammenfasst und die Variablen mit den jeweiligen Exponenten beibehält

\begin{array}{rcl} 2a^2 b c^3 - 5a^2 b c^3 + 3a^2 b c^3 - 2a^2 b c^3 & = & (2 - 5 + 3 - 2)a^2 b c^3 \\\\ & = & -2a^2 b c^3 \end{array}

 

2  \left (18x^6 y^2 z^5 \right ) : \left (6x^3 y z^2 \right )

1 Um zwei Monome durcheinander zu dividieren, dividieren wir deren Koeffizenten und wenden die Regeln für die Exponenten bei den Variablen an: Um zwei Elemente mit der gleichen Basis zu dividieren, behält man die Basis bei und subtrahiert die Exponenten

 

\begin{array}{rcl} \left (18x^6 y^2 z^5 \right ) : \left (6x^3 y z^2 \right ) & = &\cfrac{18}{6} x^{(6 - 3)} y^{(2 - 1)} z^{(5 - 2)} \\\\ & = & 3x^3 y z^3 \end{array}

 

3  \left (-2x^3 \right ) \cdot (-5x)\cdot \left (-3x^2 \right )

1 Um  Monome miteinander zu multiplizieren, multiplizieren wir deren Koeffizienten und wenden die Regeln für die Exponenten der Variablen an: Um Elemente mit der gleichen Basis zu multiplizieren, behält man die Basis bei und addiert die Exponenten

 

\begin{array}{rcl} \left (-2x^3 \right ) \cdot (-5x)\cdot \left (-3x^2 \right ) & = & (-2)(-5)(-3) x^{(3 + 1 + 2)} \\\\ & = & -30 x^6 \end{array}

 

4  \left (36x^3 y^7 z^4 \right ) : \left (12x^2 y^2 \right )

1 Um zwei Monome zu dividieren, dividieren wir deren Koeffizienten und wenden die Regel für die Exponenten der Variablen an: Um zwei Elemente mit der gleichen Basis zu dividieren, behält man die Basis bei und subtrahiert die Exponenten

 

\begin{array}{rcl} \left (36x^3 y^7 z^4 \right ) : \left (12x^2 y^2 \right ) & = &\cfrac{36}{12} x^{(3 - 2)} y^{(7 - 2)} z^{4} \\\\ & = & 3x y^5 z^4 \end{array}

 

5  \cfrac{24x^5 y^4 + 18x^4 y^5 - 48x^{10} y^3}{6x^2 y^3}

1 Wir dividieren jeden Term des Zählers durch den gemeinsamen Nenner

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{24x^5 y^4 + 18x^4 y^5 - 48x^{10} y^3}{6x^2 y^3} & = & \cfrac{24x^5 y^4}{6x^2 y^3} + \cfrac{18x^4 y^5}{6x^2 y^3} - \cfrac{48x^{10} y^3}{6x^2 y^3} \end{array}

 

2 Wir wenden die Regeln für die Exponenten der Variablen an: Um zwei Elemente mit der gleichen Basis zu dividieren, behält man die Basis bei und subtrahiert die Exponenten

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{24x^5 y^4}{6x^2 y^3} + \cfrac{18x^4 y^5}{6x^2 y^3} - \cfrac{48x^{10} y^3}{6x^2 y^3} & = & 4x^3y + 3x^2 y^2 - 8x^8 \end{array}

Addition und Subtraktion von Polynomen

Folgende Polynome sind gegeben:

P(x) = x^4 - 2x^2 - 6x - 1

Q(x) = x^3 - 6x^2 + 4

R(x) = 2x^4 - 2x - 2

Wir berechnen:

 

6 P(x) + Q(x) - R(x)

1 Wir setzen die Polynome ein

 

\begin{array}{rcl} P(x) + Q(x) - R(x) & = & (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) + (x^3 - 6x^2 + 4) - (2x^4 - 2x - 2) \end{array}

 

2 Wir lösen die Klammern auf

 

\begin{array}{rcl} P(x) + Q(x) - R(x) & = & (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) + (x^3 - 6x^2 + 4) - (2x^4 - 2x - 2) \\\\ & = & x^4 - 2x^2 - 6x - 1 + x^3 - 6x^2 + 4 - 2x^4 + 2x + 2 \end{array}

 

3 Wir fassen zusammen und erhalten

 

\begin{array}{rcl} P(x) + Q(x) - R(x) & = & (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) + (x^3 - 6x^2 + 4) - (2x^4 - 2x - 2) \\\\ & = & x^4 - 2x^2 - 6x - 1 + x^3 - 6x^2 + 4 - 2x^4 + 2x + 2 \\\\ & = & -x^4 + x^3 - 8x^2 - 4x + 5 \end{array}

 

7 P(x) + 2Q(x) - R(x)

1 Wir setzen die Polynome ein

 

\begin{array}{rcl} P(x) + 2Q(x) - R(x) & = & (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) + 2(x^3 - 6x^2 + 4) - (2x^4 - 2x - 2) \end{array}

 

2 Wir multiplizieren 2Q(x) aus

 

\begin{array}{rcl} P(x) + 2Q(x) - R(x) & = & (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) + 2(x^3 - 6x^2 + 4) - (2x^4 - 2x - 2) \\\\ & = & (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) + (2x^3 - 12x^2 + 8) - (2x^4 - 2x - 2) \end{array}

 

3 Wir lösen die Klammern auf

 

\begin{array}{rcl} P(x) + 2Q(x) - R(x) & = & (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) + 2(x^3 - 6x^2 + 4) - (2x^4 - 2x - 2) \\\\ & = & (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) + (2x^3 - 12x^2 + 8) - (2x^4 - 2x - 2) \\\\ & = & x^4 - 2x^2 - 6x - 1 + 2x^3 - 12x^2 + 8 - 2x^4 + 2x + 2) \end{array}

 

4 Wir fassen zusammen und erhalten

 

\begin{array}{rcl}P(x) + 2Q(x) - R(x) & = & (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) + 2(x^3 - 6x^2 + 4) - (2x^4 - 2x - 2) \\\\ & = & (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) + (2x^3 - 12x^2 + 8) - (2x^4 - 2x - 2) \\\\ & = & x^4 - 2x^2 - 6x - 1 + 2x^3 - 12x^2 + 8 - 2x^4 + 2x + 2) \\\\ & = & -x^4 + 2x^3 - 14x^2 - 4x + 9 \end{array}

 

8 Q(x) + R(x) - P(x)

1 Wir setzen die Polynome ein

 

\begin{array}{rcl} Q(x) + R(x) - P(x) & = & (x^3 - 6x^2 + 4) + (2x^4 - 2x - 2) - (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) \end{array}

 

2 Wir lösen die Klammern auf

 

\begin{array}{rcl} Q(x) + R(x) - P(x) & = & (x^3 - 6x^2 + 4) + (2x^4 - 2x - 2) - (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) \\\\ & = & x^3 - 6x^2 + 4 + 2x^4 - 2x - 2 - x^4 + 2x^2 + 6x + 1 \end{array}

 

3 Wir fassen zusammen und erhalten

 

\begin{array}{rcl} Q(x) + R(x) - P(x) & = & (x^3 - 6x^2 + 4) + (2x^4 - 2x - 2) - (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) \\\\ & = & x^3 - 6x^2 + 4 + 2x^4 - 2x - 2 - x^4 + 2x^2 + 6x + 1 \\\\ & = & x^4 + x^3 - 4x^2 + 4x + 3 \end{array}

 

9 Berechne den Wert für a, damit die Gleichung stimmt:

(ax^3 - 5x + 3) + (-4x^3 - 6x + 2) = x^3 - 11x + 5

1 Wir lösen die Klammern auf der linken Seite auf und fassen gleiche Terme zusammen

 

\begin{array}{rcl} (ax^3 - 5x + 3) + (-4x^3 - 6x + 2) & = & x^3 - 11x + 5 \end{array}

 

2 Wir lösen die Klammern auf

 

\begin{array}{rcl} (ax^3 - 5x + 3) + (-4x^3 - 6x + 2) & = & x^3 - 11x + 5 \\\\ ax^3 - 5x + 3 - 4x^3 - 6x + 2) & = & x^3 - 11x + 5 \\\\ (a - 4)x^3 - 11x + 5 & = & x^3 - 11x + 5 \end{array}

 

3 Wir setzen die Koeffizienten von x^3 gleich und erhalten

 

a - 4 = 1, a = 5

Multiplikation von Polynomen

 

10 Multiplikation (2x^2 - 5x + 6) \cdot (3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3)

1 Wir multiplizieren jeden Term des ersten Polynoms mit dem zweiten Polynom

\begin{array}{rcl} (2x^2 - 5x + 6) \cdot (3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3) & = & (2x^2) \cdot (3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3) \\ & & -(5x) \cdot (3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3) \\ & & +(6) \cdot (3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3) \\\\ & = & 6x^6 - 10x^5 - 12x^4 + 8x^3 - 6x^2 \\ & & - 15x^5 + 25x^4 + 30x^3 - 20x^2 + 15x \\ & & + 18x^4 - 30x^3 - 36x^2 + 24x - 18 \end{array}

 

2 Wir fassen gleiche Terme zusammen

 

\begin{array}{rcl} (2x^2 - 5x + 6) \cdot (3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3) & = & (2x^2) \cdot (3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3) \\ & & -(5x) \cdot (3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3) \\ & & +(6) \cdot (3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3) \\\\ & = & 6x^6 - 10x^5 - 12x^4 + 8x^3 - 6x^2 \\ & & - 15x^5 + 25x^4 + 30x^3 - 20x^2 + 15x \\ & & + 18x^4 - 30x^3 - 36x^2 + 24x - 18 \\\\ & = & 6x^6 - 25x^5 + 31x^4 + 8x^3 - 62x^2 + 39x - 18 \end{array}

Berechnung von Polynomen

 

11 Den numerischen Wert des Polynoms P(x) = 6x^3 + 7x^2 - 9x + 2 finden, für: x = 1, -1, 2, -2

1 Wir rechnen mit x = 1

 

\begin{array}{rcl} P(1) & = & 6(1)^3 + 7(1)^2 - 9(1) + 2 \\\\ & = & 6 + 7 - 9 + 2 \\\\ & = & 6 \end{array}

 

2 Wir rechnen mit x = -1

 

\begin{array}{rcl} P(-1) & = & 6(-1)^3 + 7(-1)^2 - 9(-1) + 2 \\\\ & = & -6 + 7 + 9 + 2 \\\\ & = & 12 \end{array}

 

3 Wir rechnen mit x = 2

 

\begin{array}{rcl} P(2) & = & 6(2)^3 + 7(2)^2 - 9(2) + 2 \\\\ & = & 48 + 28 - 18 + 2 \\\\ & = & 60 \end{array}

 

4 Wir rechnen mit x = -2

 

\begin{array}{rcl} P(-2) & = & 6(-2)^3 + 7(-2)^2 - 9(-2) + 2 \\\\ & = & -48 + 28 + 18 + 2 \\\\ & = & 0 \end{array}

Produkt von Binomen

Berechne:

 

12 (3x + 2)^2

1 Wir wenden die binomische Formel für ein Produkt zum Quadrat an

 

(3x + 2)^2 = (3x)^2 + 2(3x)(2) + (2)^2

 

2 Wir führen die nötigen Rechenschritte durch

 

\begin{array}{rcl} (3x + 2)^2 & = & (3x)^2 + 2(3x)(2) + (2)^2 \\\\ & = & 9x^2 + 12x + 4 \end{array}

 

13 (3x + 5)(3x - 5)

1 Wir fassen das Binom wie folgt zusammen

 

(3x + 5)(3x - 5) = (3x)^3 - (5)^2

 

2 Wir führen die nötigen Rechenschritte durch

 

\begin{array}{rcl} (3x + 5)(3x - 5) & = & (3x)^3 - (5)^2 \\\\ & = & 9x^2 - 25 \end{array}

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Eva