Folgende Regeln gelten für beliebige Variablen $n, m \in \mathbb{R}$ und beliebige $a \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$ . Beachte, dass in einigen Fällen die Verwendung von $a = 0$ nicht bestimmt sein kann.

1 Das Produkt von zwei Potenzen mit derselben Basis kann auch als Basis hoch Summe der Exponenten geschrieben werden:

$\displaystyle a^m \cdot a^n = a^{m + n}$

2 Die Division von zwei Potenzen mit derselben Basis kann auch als Basis hoch Differenz der Exponenten geschrieben werden:

$\displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$

3 Eine Potenz hoch eine andere Potenz kann auch als Basis hoch Produkt der beiden Potenzen geschrieben werden:

$\displaystyle \left( a^n \right)^m = a^{n \cdot m}$

Anmerkung: sieh dir die Klammern des vorherigen Ausdrucks genau an. Zuerst wird $a^n$ angewandt und im Anschluss wird hoch $m$ gerechnet. Anders wird hier vorgegangen:

$\displaystyle a^{n^m}$

beide Wege führen fast immer zu anderen Ergebnissen, das heißt

$\displaystyle \left( a^n \right)^m = a^{n^m}$

Beispiele

Sieh dir die folgenden Beispiele im Vergleich an

1 $2^5 \cdot 2^2 = 2^{5 + 2} = 2^7 = 128$

2 $\displaystyle \frac{2^5}{2^2} = 2^{5 - 2} = 2^3 = 8$

3 $\displaystyle \left( 2^5 \right)^3 = 2^{5 \cdot 3} = 2^{15}$

Potenzen mit gleichen Exponenten

Folgende Regeln gelten für beliebige Variablen $n \in \mathbb{R}$ und beliebige $a, b \in \mathbb{R}$ y $b \neq 0$ .

1 Das Produkt von zwei Potenzen mit demselben Exponenten ist gleich dem Produkt der Basen hoch Exponenten. Das heißt,

$\displaystyle a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^{n}$

2 Die Division von zwei Potenzen mit demselben Exponenten ist gleich der Division der Basen hoch Exponent:

$\displaystyle \frac{a^n}{b^n} = \left( \frac{a}{b} \right)^{n}$

Beispiele

Sieh dir folgende Beispiele an:

1 $2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216$

2 $\displaystyle \frac{6^4}{3^4} = \left( \frac{6}{3}\right)^4 = 2^4 = 16$

Aufgaben

1 Vereinheitliche die Potenzen der folgenden Aufgaben und schreibe sie in die Form $a^b$ um:

a $3^3 \cdot 3^4 \cdot 3$

b $\displaystyle \frac{5^7}{5^3}$

c $\displaystyle \left( 5^3 \right)^4$

d $5^4 \cdot 2^4 \cdot 3^4$

a Hier liegt eine Multiplikation von Exponenten mit derselben Basis vor, daher werden die Exponenten addiert:

$\displaystyle 3^3 \cdot 3^4 \cdot 3 = 3^{3 + 4 + 1} = 3^8$

b Hier soll eine Division von zwei Potenzen mit derselben Basis durchgeführt werden, daher werden die Exponenten subtrahiert:

$\displaystyle \frac{5^7}{5^3} = 5^{7 - 3} = 5^4$

c Hier soll die Potenz einer Potenz berechnet werden, daher werden die Exponenten multipliziert:

$\displaystyle \left( 5^3 \right)^4 = 5^{3 \cdot 4} = 5^{12}$

d Hier liegen drei Potenzen mit demselben Exponent vor, daher werden die Basen miteinander multipliziert:

$\displaystyle 5^4 \cdot 2^4 \cdot 3^4 = \left( 5 \cdot 2 \cdot 3 \right)^4 = 30^4$

2 Vereinheitliche die Potenzen der folgenden Aufgaben und schreibe sie in die Form $a^b$ um:

a $\left( 3^4 \right)^4$

b $\displaystyle \left[ \left( 5^3 \right)^4 \right]^2$

c $\displaystyle \left( 8^2 \right)^3$

d $\displaystyle \left( 9^3 \right)^2$

a Hier soll die Potenz einer Potenz berechnet werden, daher werden die Exponenten multipliziert:

$\displaystyle \left( 3^4 \right)^4 = 3^{4 \cdot 4} = 3^{16}$

b Dieser Fall ist ähnlich wie der erste. Hier sollen drei aufeinanderfolgende Potenzen berechnet werden, daher werden die Exponenten multipliziert:

$\displaystyle \left[ \left( 5^3 \right)^4 \right]^2 = 5^{3 \cdot 4 \cdot 2} = 5^{24}$

c Hier liegt wieder die Potenz einer Potenz vor:

$\displaystyle \left( 8^2 \right)^3 = 8^{2 \cdot 3} = 8^{6}$

Beachte aber, dass $8 = 2^3$ , das heißt man kann noch etwas vereinfachen:

$\displaystyle \left( 8^2 \right)^3 = 8^{6} = \left( 2^3 \right)^6 = 2^{3 \cdot 6} = 2^{18}$

d Hier liegt wieder die Potenz einer Potenz vor. Außerdem sehen wir, dass $9 = 3^2$ ist, das heißt

$\displaystyle \left( 9^3 \right)^2 = 9^{3 \cdot 2} = 9^{6} = \left( 3^2 \right)^6 = 3^{2 \cdot 6} = 3^{12}$

3 Vereinheitliche die Potenzen der folgenden Aufgaben und schreibe sie in die Form $a^b$ um:

a $2^5 \cdot 2^4 \cdot 2$

b $\displaystyle \frac{2^7}{2^6}$

c $\displaystyle \left( 2^2 \right)^4$

d $4^4 \cdot 2^4 \cdot 3^4$

a Hier liegt eine Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis vor, das heißt die Exponenten werden addiert

$\displaystyle 2^5 \cdot 2^4 \cdot 2 = 2^{5 + 4 + 1} = 2^{10}$

b Hier liegt eine Division zweier Potenzen mit derselben Basis vor, das heißt die Exponenten werden subtrahiert:

$\displaystyle \frac{2^7}{2^6} = 2^{7 - 6} = 2^1 = 2$

c Hier liegt die Potenz einer Potenz vor, das heißt die Exponenten werden multipliziert

$\displaystyle \left( 2^2 \right)^4 = 2^{2 \cdot 4} = 2^8$

d Um zwei Potenzen mit demselben Exponent zu multiplizieren, werden die Basen miteinander multipliziert

$\displaystyle 4^4 \cdot 2^4 \cdot 3^4 = (4 \cdot 2 \cdot 3)^4 = 24^4$

4 Vereinheitliche die Potenzen der folgenden Aufgaben und schreibe sie in die Form $a^b$ :

a $\left( 2^5 \right)^4$

b $\displaystyle \left[ \left( 2^3 \right)^4 \right]^0$

c $\displaystyle \left( 27^2 \right)^5$

d $\displaystyle \left( 4^3 \right)^2$

aHier liegt die Potenz einer Potenz vor, das heißt die Exponenten werden multipliziert

$\displaystyle \left( 2^5 \right)^4 = 2^{5 \cdot 4} = 2^{20}$

b Hier liegt eine Potenz mit Exponent Null vor. Da

$\displaystyle \left( 2^3 \right)^4 \neq 0$ ist

kann man schlussfolgern, dass

$\displaystyle \left[ \left( 2^3 \right)^4 \right]^0 = 1$ ist.

c Hier liegt die Potenz einer Potenz vor, das heißt $27 = 3^3$

$\displaystyle \left( 27^2 \right)^5 = 27^{2 \cdot 5} = 27^{10} = \left( 3^3 \right)^{10} = 3^{3 \cdot 10} = 3^{30}$

d Erneut liegt die Potenz einer Potenz vor. Zudem ist $4 = 2^2$ :

$\displaystyle \left( 4^3 \right)^2 = 4^{3 \cdot 2} = 4^6 = \left( 2^2 \right)^6 = 2^{2 \cdot 6} = 2^{12}$

5 Führe die folgenden Rechenoperationen mit Potenzen vollständig durch:

a $\left( - 2 \right)^2 \cdot \left( -2 \right)^3 \cdot \left( -2 \right)^4$

b $\left( -2 \right)^{-2} \cdot \left( -2\right)^3 \cdot \left( -2 \right)^4$

c $2^{-2} \cdot 2^{-3} \cdot 2^4$

d $\displaystyle \frac{2^2}{2^3}$

a Hier sollen Potenzen mit derselben Basis multipliziert werden, das heißt, die Exponenten werden miteinander multipliziert:

$\displaystyle \left( - 2 \right)^2 \cdot \left( -2 \right)^3 \cdot \left( -2 \right)^4 = \left( -2 \right)^{2 + 3 + 4} = \left( -2 \right)^{9} = -2^9 = -512$

Das Vorzeichen wird beibehalten, da die Potenz ungerade ist.

b Wie im vorhergehenden Beispiel liegt auch hier eine Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis vor

$\displaystyle \left( -2 \right)^{-2} \cdot \left( -2\right)^3 \cdot \left( -2 \right)^4 = \left( -2 \right)^{-2 + 3 + 4} = \left( -2 \right)^5 = -2^5 = -32$

Das Vorzeichen wird wieder beibehalten, da die Potenz ungerade ist.

c Auch hier liegt eine Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis vor

$\displaystyle 2^{-2} \cdot 2^{-3} \cdot 2^4 = 2^{-2 -3 + 4} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

d Hier soll eine Division von Potenzen mit derselben Basis durchgeführt werden, das heißt die Exponenten müssen subtrahiert werden:

$\displaystyle \frac{2^2}{2^3} = 2^{2 - 3} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

6 Führe die folgenden Rechenoperationen mit Potenzen vollständig durch:

a $\displaystyle \frac{2^{-2}}{2^3}$

b $\displaystyle \frac{2^2}{2^{-3}}$

c $\displaystyle \frac{2^{-2}}{2^{-3}}$

a Hier sollen Potenzen mit derselben Basis dividiert werden:

$\displaystyle \frac{2^{-2}}{2^3} = 2^{-2 - 3} = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$

b Hier sollen ebenso Potenzen mit derselben Basis dividiert werden:

$\displaystyle \frac{2^2}{2^{-3}} = 2^{2 - (-3)} = 2^{2 + 3} = 2^5 = 32$

c Hier eine weiter Übung zur Division von Potenzen mit derselben Basis:

$\displaystyle \frac{2^{-2}}{2^{-3}} = 2^{-2 - (-3)} = 2^{-2 + 3} = 2^1 = 2$

7 Berechne die folgenden Potenzen:

a $\displaystyle 16^{\tfrac{3}{2}}$

b $\displaystyle 8^{\tfrac{2}{3}}$

c $\displaystyle 81^{0.75}$

d $\displaystyle 8^{0.333\dots}$

Beachte, dass bei gebrochenen Exponenten mit Wurzeln gerechnet wird.

a Dieser Ausdruck kann auch als

$\displaystyle 16^{\tfrac{3}{2}} = 16^{\tfrac{1}{2} \cdot 3}$ geschrieben werden

Verwende die Rechenregel zur Multiplikation von Exponenten:

$\displaystyle 16^{\tfrac{3}{2}} = 16^{\tfrac{1}{2} \cdot 3} = \left( 16^{\tfrac{1}{2}} \right)^3 = \sqrt{16}^3 = 4^3 = 64$

b Dieser Ausdruck kann auch als

$\displaystyle 8^{\tfrac{2}{3}} = 8^{\tfrac{1}{3} \cdot 2}$ geschrieben werden

Verwende die Rechenregel zur Multiplikation von Exponenten:

$\displaystyle 8^{\tfrac{2}{3}} = 8^{\tfrac{1}{3} \cdot 2} = \left( 8^{\tfrac{1}{3}} \right)^2 = \left(\sqrt[3]{8} \right)^2 = 2^2 = 4$

c Beachte, dass $0.75 = 3/4$ ist. Das heißt,

$\displaystyle 81^{0.75} = 81^{\tfrac{3}{4}}$

Schreibe um:

$\displaystyle 81^{0.75} = 81^{\tfrac{3}{4}} = \left( \sqrt[4]{81} \right)^3 = 3^3 = 27$

d Jetzt ist der Exponent $0.333\dots = 1/3$ . Folglich ist

$\displaystyle 8^{0.333\dots} = 8^{\tfrac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$

8 Vereinfache den folgenden Ausdruck:

$\displaystyle \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^5 \left( \frac{2}{3} \right)^0 \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^5 \right]^2 \left( \frac{8}{27} \right)^3 }$

Zur Vereinfachung benennen wir den Ausdruck mit $A$ :

$\displaystyle A = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^5 \left( \frac{2}{3} \right)^0 \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^5 \right]^2 \left( \frac{8}{27} \right)^3 }$

Im Zähler können alle Zahlen hoch 0 als 1 geschrieben werden. Im Nenner kann die Regel zur Multiplikation von Exponenten angewendet werden:

$\displaystyle A = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^5 \cdot 1 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{5 \cdot 2} \left( \frac{8}{27} \right)^3 }$

Nun können die Exponenten mit derselben Basis addiert werden:

$\displaystyle A = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^{5-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{10} \left( \frac{8}{27} \right)^3 }$

das heißt,

$\displaystyle A = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{10} \left( \frac{8}{27} \right)^3 }$

Alle Brüche mit negativem Exponenten können in den Kehrwert der Basis mit entsprechendem positivem Exponent umgeschrieben werden:

$\displaystyle A = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{16}{81} \right)^{2} }{\left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{10} \left( \frac{8}{27} \right)^3 }$

Erneut können die Exponenten mit derselben Basis addiert/subtrahiert werden:

$\displaystyle A = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^{2 - 5 - 1 - 10} \left( \frac{16}{81} \right)^{2} }{ \left( \frac{8}{27} \right)^3 } = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^{- 14} \left( \frac{16}{81} \right)^{2} }{ \left( \frac{8}{27} \right)^3 }$

Es wird ersichtlich, dass

$\displaystyle \frac{16}{81} = \left( \frac{2}{3} \right)^4$

und

$\displaystyle \frac{8}{27} = \left( \frac{2}{3} \right)^3$ ist

Das heißt, der Ausdruck kann wie folgt umgeschrieben werden:

$\displaystyle A = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^{- 14} \left[\left( \frac{2}{3} \right)^4 \right]^{2} }{ \left[\left( \frac{2}{3} \right)^3 \right]^3 }$

Wende noch einmal die Regel zur Multiplikation von Potenzen an:

$\displaystyle A = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^{- 14} \left( \frac{2}{3} \right)^{4 \cdot 2} }{ \left( \frac{2}{3} \right)^{3 \cdot 3} } = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^{- 14} \left( \frac{2}{3} \right)^{8} }{ \left( \frac{2}{3} \right)^{9} }$

Addiere/subtrahiere die Exponenten:

$\displaystyle A = \left( \frac{2}{3} \right)^{- 14 + 8 - 9} = \left( \frac{2}{3} \right)^{- 15}$

Als Ergebnis erhält man

$\displaystyle A = \left( \frac{3}{2} \right)^{15}$

Die Plattform, die Lehrer/innen und Schüler/innen miteinander verbindet

Du findest diesen Artikel toll? Vergib eine Note!

5,00 (1 Note(n))

Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan bringe ich die Lernartikel von echten Mathe-Profis logisch und verständlich ins Deutsche, damit du als Mathelerner bei Superprof deine Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden kannst.

Eigenschaften der Potenzen von Zahlen

Grundlegende Eigenschaften ganzer Exponenten

Beispiele

Rationale Exponenten

Beispiele

Regeln für Exponenten mit gleicher Basis

Beispiele

Potenzen mit gleichen Exponenten

Beispiele

Aufgaben

Übungsaufgaben

Übungsaufgaben zu Monomen

Übungsaufgaben zu Bruchtermen

Polynome: Übungsaufgaben und Problemstellungen

Rechnen mit Polynomen: Übungen

Faktorisierung eines Polynoms

Polynomfaktorisierung und Ermittlung von Nullstellen: Aufgaben

Monome und Polynome unterscheiden: Übungsaufgaben

Rechenaufgaben zu Polynomen für Mittelstufenschüler

Problemstellungen bei Identitätsgleichungen

Übersicht

Polynomfaktorisierung nach dem Horner-Schema

Was ist ein Polynom?

Monome und Polynome – eine Zusammenfassung

Theorie

Einordnung von Polynomen

Lösung algebraischer Brüche: Aufgaben

Polynomdivision

Faktorisierung eines Polynoms

Was sind Bruchterme?

Algebraische Ausdrücke und Monome

Faktorisierung von Polynomen

Polynom- und Monomprodukte

Was ist ein Polynom?

Rechnen mit Potenzen: Aufgaben

Rechnen mit Polynomen

Was ist ein Monom?

Polynomrestsatz

Die verschiedenen Arten Polynome

Gleiche Polynome, gleichartige Polynome und Zahlenwert

Das Horner-Schema

Binomische Produkte

Nullstellen von Polynomfunktionen

Rechnen mit Polynomen

Antworten abbrechen