Grundlegende Eigenschaften ganzer Exponenten

 

1Jede beliebige Zahl a hoch 1 ist gleich a:

 

\displaystyle a^1 = a

 

2 Jede beliebige Zahl a \neq 0 hoch 0 ist gleich 1:

 

\displaystyle a^0 = 1

 

Nota: Der Ausdruck 0^0 ist unbestimmt, d.h. nicht als Wert definiert

 

3 Das Ergebnis jeder beliebigen Zahl a mit einer geraden Potenz n \in \mathbb{N} ist positiv. Das heißt,

 

\displaystyle a^n > 0

 

wenn n = 2m für m \in \mathbb{N} ist.

 

Beispiel

 

\displaystyle (+)^{\text{par}} = + \qquad \qquad (-)^{\text{par}} = +

 

Jede (positive oder negative) Zahl mit einer geraden Potenz hat eine positive Zahl als Ergebnis.

 

4 Das Ergebnis jeder beliebigen Zahl a mit einer ungeraden Potenz n \in \mathbb{N} hat dasselbe Vorzeichen wie a. Das heißt,

 

\displaystyle a > 0 \quad \Longrightarrow \quad a^n > 0

 

und

 

\displaystyle a < 0 \quad \Longrightarrow \quad a^n < 0

 

wenn n = 2m + 1 für m \in \mathbb{N} ist.

 

Beispiel

 

\displaystyle (+)^{\text{impar}} = + \qquad \qquad (-)^{\text{impar}} = -

 

5 Negative Exponenten haben folgende Eigenschaften (für a \neq 0):

 

\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n} = \left( \frac{1}{a} \right)^n

 

das heißt, sie sind gleich dem Kehrwert der Basis hoch positive Potenz.

 

Beispiele

 

1 5^1 = 5, -4^1 = 0, 0^1 = 0

 

2 5^0 = 1, -45^0 = 1

 

3 2^6 = 64 > 0 , da 6 eine natürliche gerade Zahl ist. Sowie

 

\displaystyle (-2)^6 = 64 > 0

 

4 2^3 = 8 > 0, da 2 > 0 und 3 eine ungerade Zahl ist. Ebenso ist

 

\displaystyle (-2)^3 = -8 < 0

 

da -2 < 0

 

5 \displaystyle 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}

 

Unsere besten verfügbaren Mathe-Nachhilfelehrer
Viktor
5
5 (144 Bewertungen)
Viktor
70€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Elisabeth
5
5 (28 Bewertungen)
Elisabeth
32€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Andrea
5
5 (62 Bewertungen)
Andrea
75€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Rafael
5
5 (66 Bewertungen)
Rafael
50€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Boris
5
5 (30 Bewertungen)
Boris
30€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Thomas
5
5 (36 Bewertungen)
Thomas
114€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Jonas
5
5 (12 Bewertungen)
Jonas
40€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Julien
5
5 (18 Bewertungen)
Julien
25€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Viktor
5
5 (144 Bewertungen)
Viktor
70€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Elisabeth
5
5 (28 Bewertungen)
Elisabeth
32€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Andrea
5
5 (62 Bewertungen)
Andrea
75€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Rafael
5
5 (66 Bewertungen)
Rafael
50€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Boris
5
5 (30 Bewertungen)
Boris
30€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Thomas
5
5 (36 Bewertungen)
Thomas
114€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Jonas
5
5 (12 Bewertungen)
Jonas
40€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Julien
5
5 (18 Bewertungen)
Julien
25€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Los geht's

Rationale Exponenten

 

Die Wurzeln reeller Zahlen werden wie folgt definiert:

 

Definition: die n-te Wurzel von b einer Zahl b \in \mathbb{R} ist die Zahl a, für die gilt

 

\displaystyle a^n = b

 

Man schreibt a = b^{1/n} oder a = \sqrt[n]{b}.

 

Für die Berechnung rationaler Potenzfunktionen werden die Radikalen beachtet. Folgende Eigenschaften sind dabei relevant:

 

1 Per Definition ist

 

\displaystyle a^{\tfrac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

 

2 Ebenso ist

 

\displaystyle a^{\tfrac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}

 

3 Des Weiteren ist

 

\displaystyle a^{-\tfrac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}

 

Anmerkung: für negative reelle Zahlen gibt es laut Definition keine Wurzel. Man kann sagen, die Wurzel ist nicht definiert.

 

Beispiele

 

1 2^{1/2} = \sqrt{2}

 

2 \displaystyle 2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8}

 

3 \displaystyle 2^{-5/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^5}} = \frac{1}{\sqrt[3]{32}}

 

Regeln für Exponenten mit gleicher Basis

 

Folgende Regeln gelten für beliebige Variablen n, m \in \mathbb{R} und beliebige a \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}. Beachte, dass in einigen Fällen die Verwendung von a = 0 nicht bestimmt sein kann.

 

1 Das Produkt von zwei Potenzen mit derselben Basis kann auch als Basis hoch Summe der Exponenten geschrieben werden:

 

\displaystyle a^m \cdot a^n = a^{m + n}

 

2 Die Division von zwei Potenzen mit derselben Basis kann auch als Basis hoch Differenz der Exponenten geschrieben werden:

 

\displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}

 

3 Eine Potenz hoch eine andere Potenz kann auch als Basis hoch Produkt der beiden Potenzen geschrieben werden:

 

\displaystyle \left( a^n \right)^m = a^{n \cdot m}

 

Anmerkung: sieh dir die Klammern des vorherigen Ausdrucks genau an. Zuerst wird a^n angewandt und im Anschluss wird hoch m gerechnet. Anders wird hier vorgegangen:

 

\displaystyle a^{n^m}

 

beide Wege führen fast immer zu anderen Ergebnissen, das heißt

 

\displaystyle \left( a^n \right)^m = a^{n^m}

 

Beispiele

 

Sieh dir die folgenden Beispiele im Vergleich an

 

1 2^5 \cdot 2^2 = 2^{5 + 2} = 2^7 = 128

 

2 \displaystyle \frac{2^5}{2^2} = 2^{5 - 2} = 2^3 = 8

 

3 \displaystyle \left( 2^5 \right)^3 = 2^{5 \cdot 3} = 2^{15}

 

Potenzen mit gleichen Exponenten

 

Folgende Regeln gelten für beliebige Variablen n \in \mathbb{R} und beliebige a, b \in \mathbb{R} y b \neq 0.

 

1 Das Produkt von zwei Potenzen mit demselben Exponenten ist gleich dem Produkt der Basen hoch Exponenten. Das heißt,

 

\displaystyle a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^{n}

 

2 Die Division von zwei Potenzen mit demselben Exponenten ist gleich der Division der Basen hoch Exponent:

 

\displaystyle \frac{a^n}{b^n} = \left( \frac{a}{b} \right)^{n}

 

Beispiele

 

Sieh dir folgende Beispiele an:

 

1 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216

 

2 \displaystyle \frac{6^4}{3^4} = \left( \frac{6}{3}\right)^4 = 2^4 = 16

 

Aufgaben

 

1 Vereinheitliche die Potenzen der folgenden Aufgaben und schreibe sie in die Form a^b um:

 

a 3^3 \cdot 3^4 \cdot 3

 

b \displaystyle \frac{5^7}{5^3}

 

c \displaystyle \left( 5^3 \right)^4

 

d 5^4 \cdot 2^4 \cdot 3^4

 

a Hier liegt eine Multiplikation von Exponenten mit derselben Basis vor, daher werden die Exponenten addiert:

 

\displaystyle 3^3 \cdot 3^4 \cdot 3 = 3^{3 + 4 + 1} = 3^8

 

b Hier soll eine Division von zwei Potenzen mit derselben Basis durchgeführt werden, daher werden die Exponenten subtrahiert:

 

\displaystyle \frac{5^7}{5^3} = 5^{7 - 3} = 5^4

 

c Hier soll die Potenz einer Potenz berechnet werden, daher werden die Exponenten multipliziert:

 

\displaystyle \left( 5^3 \right)^4 = 5^{3 \cdot 4} = 5^{12}

 

d Hier liegen drei Potenzen mit demselben Exponent vor, daher werden die Basen miteinander multipliziert:

 

\displaystyle 5^4 \cdot 2^4 \cdot 3^4 = \left( 5 \cdot 2 \cdot 3 \right)^4 = 30^4

 

2 Vereinheitliche die Potenzen der folgenden Aufgaben und schreibe sie in die Form a^b um:

 

a \left( 3^4 \right)^4

 

b \displaystyle \left[ \left( 5^3 \right)^4 \right]^2

 

c \displaystyle \left( 8^2 \right)^3

 

d \displaystyle \left( 9^3 \right)^2

 

a Hier soll die Potenz einer Potenz berechnet werden, daher werden die Exponenten multipliziert:

 

\displaystyle \left( 3^4 \right)^4 = 3^{4 \cdot 4} = 3^{16}

 

b Dieser Fall ist ähnlich wie der erste. Hier sollen drei aufeinanderfolgende Potenzen berechnet werden, daher werden die Exponenten multipliziert:

 

\displaystyle \left[ \left( 5^3 \right)^4 \right]^2 = 5^{3 \cdot 4 \cdot 2} = 5^{24}

 

c Hier liegt wieder die Potenz einer Potenz vor:

 

\displaystyle \left( 8^2 \right)^3 = 8^{2 \cdot 3} = 8^{6}

 

Beachte aber, dass 8 = 2^3, das heißt man kann noch etwas vereinfachen:

 

\displaystyle \left( 8^2 \right)^3 = 8^{6} = \left( 2^3 \right)^6 = 2^{3 \cdot 6} = 2^{18}

 

d Hier liegt wieder die Potenz einer Potenz vor. Außerdem sehen wir, dass 9 = 3^2 ist, das heißt

 

\displaystyle \left( 9^3 \right)^2 = 9^{3 \cdot 2} = 9^{6} = \left( 3^2 \right)^6 = 3^{2 \cdot 6} = 3^{12}

 

3 Vereinheitliche die Potenzen der folgenden Aufgaben und schreibe sie in die Form a^b um:

 

a 2^5 \cdot 2^4 \cdot 2

 

b \displaystyle \frac{2^7}{2^6}

 

c \displaystyle \left( 2^2 \right)^4

 

d 4^4 \cdot 2^4 \cdot 3^4

 

a Hier liegt eine Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis vor, das heißt die Exponenten werden addiert

 

\displaystyle 2^5 \cdot 2^4 \cdot 2 = 2^{5 + 4 + 1} = 2^{10}

 

b Hier liegt eine Division zweier Potenzen mit derselben Basis vor, das heißt die Exponenten werden subtrahiert:

 

\displaystyle \frac{2^7}{2^6} = 2^{7 - 6} = 2^1 = 2

 

c Hier liegt die Potenz einer Potenz vor, das heißt die Exponenten werden multipliziert

 

\displaystyle \left( 2^2 \right)^4 = 2^{2 \cdot 4} = 2^8

 

d Um zwei Potenzen mit demselben Exponent zu multiplizieren, werden die Basen miteinander multipliziert

 

\displaystyle 4^4 \cdot 2^4 \cdot 3^4 = (4 \cdot 2 \cdot 3)^4 = 24^4

 

4 Vereinheitliche die Potenzen der folgenden Aufgaben und schreibe sie in die Form a^b:

 

a \left( 2^5 \right)^4

 

b \displaystyle \left[ \left( 2^3 \right)^4 \right]^0

 

c \displaystyle \left( 27^2 \right)^5

 

d \displaystyle \left( 4^3 \right)^2

 

aHier liegt die Potenz einer Potenz vor, das heißt die Exponenten werden multipliziert

 

\displaystyle \left( 2^5 \right)^4 = 2^{5 \cdot 4} = 2^{20}

 

b Hier liegt eine Potenz mit Exponent Null vor. Da

 

\displaystyle \left( 2^3 \right)^4 \neq 0 ist

 

kann man schlussfolgern, dass

 

\displaystyle \left[ \left( 2^3 \right)^4 \right]^0 = 1 ist.

 

c Hier liegt die Potenz einer Potenz vor, das heißt 27 = 3^3

 

\displaystyle \left( 27^2 \right)^5 = 27^{2 \cdot 5} = 27^{10} = \left( 3^3 \right)^{10} = 3^{3 \cdot 10} = 3^{30}

 

d Erneut liegt die Potenz einer Potenz vor. Zudem ist 4 = 2^2:

 

\displaystyle \left( 4^3 \right)^2 = 4^{3 \cdot 2} = 4^6 = \left( 2^2 \right)^6 = 2^{2 \cdot 6} = 2^{12}

 

5 Führe die folgenden Rechenoperationen mit Potenzen vollständig durch:

 

a \left( - 2 \right)^2 \cdot \left( -2 \right)^3 \cdot \left( -2 \right)^4

 

b \left( -2 \right)^{-2} \cdot \left( -2\right)^3 \cdot \left( -2 \right)^4

 

c 2^{-2} \cdot 2^{-3} \cdot 2^4

 

d \displaystyle \frac{2^2}{2^3}

 

a Hier sollen Potenzen mit derselben Basis multipliziert werden, das heißt, die Exponenten werden miteinander multipliziert:

 

\displaystyle \left( - 2 \right)^2 \cdot \left( -2 \right)^3 \cdot \left( -2 \right)^4 = \left( -2 \right)^{2 + 3 + 4} = \left( -2 \right)^{9} = -2^9 = -512

 

Das Vorzeichen wird beibehalten, da die Potenz ungerade ist.

 

b Wie im vorhergehenden Beispiel liegt auch hier eine Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis vor

 

\displaystyle \left( -2 \right)^{-2} \cdot \left( -2\right)^3 \cdot \left( -2 \right)^4 = \left( -2 \right)^{-2 + 3 + 4} = \left( -2 \right)^5 = -2^5 = -32

 

Das Vorzeichen wird wieder beibehalten, da die Potenz ungerade ist.

 

c Auch hier liegt eine Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis vor

 

\displaystyle 2^{-2} \cdot 2^{-3} \cdot 2^4 = 2^{-2 -3 + 4} = 2^{-1} = \frac{1}{2}

 

d Hier soll eine Division von Potenzen mit derselben Basis durchgeführt werden, das heißt die Exponenten müssen subtrahiert werden:

 

\displaystyle \frac{2^2}{2^3} = 2^{2 - 3} = 2^{-1} = \frac{1}{2}

 

6 Führe die folgenden Rechenoperationen mit Potenzen vollständig durch:

 

a \displaystyle \frac{2^{-2}}{2^3}

 

b \displaystyle \frac{2^2}{2^{-3}}

 

c \displaystyle \frac{2^{-2}}{2^{-3}}

 

a Hier sollen Potenzen mit derselben Basis dividiert werden:

 

\displaystyle \frac{2^{-2}}{2^3} = 2^{-2 - 3} = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}

 

b Hier sollen ebenso Potenzen mit derselben Basis dividiert werden:

 

\displaystyle \frac{2^2}{2^{-3}} = 2^{2 - (-3)} = 2^{2 + 3} = 2^5 = 32

 

c Hier eine weiter Übung zur Division von Potenzen mit derselben Basis:

 

\displaystyle \frac{2^{-2}}{2^{-3}} = 2^{-2 - (-3)} = 2^{-2 + 3} = 2^1 = 2

 

7 Berechne die folgenden Potenzen:

 

a \displaystyle 16^{\tfrac{3}{2}}

 

b \displaystyle 8^{\tfrac{2}{3}}

 

c \displaystyle 81^{0.75}

 

d \displaystyle 8^{0.333\dots}

 

Beachte, dass bei gebrochenen Exponenten mit Wurzeln gerechnet wird.

 

a Dieser Ausdruck kann auch als

 

\displaystyle 16^{\tfrac{3}{2}} = 16^{\tfrac{1}{2} \cdot 3} geschrieben werden

 

Verwende die Rechenregel zur Multiplikation von Exponenten:

 

\displaystyle 16^{\tfrac{3}{2}} = 16^{\tfrac{1}{2} \cdot 3} = \left( 16^{\tfrac{1}{2}} \right)^3 = \sqrt{16}^3 = 4^3 = 64

 

b Dieser Ausdruck kann auch als

 

\displaystyle 8^{\tfrac{2}{3}} = 8^{\tfrac{1}{3} \cdot 2} geschrieben werden

 

Verwende die Rechenregel zur Multiplikation von Exponenten:

 

\displaystyle 8^{\tfrac{2}{3}} = 8^{\tfrac{1}{3} \cdot 2} = \left( 8^{\tfrac{1}{3}} \right)^2 = \left(\sqrt[3]{8} \right)^2 = 2^2 = 4

 

c Beachte, dass 0.75 = 3/4 ist. Das heißt,

 

\displaystyle 81^{0.75} = 81^{\tfrac{3}{4}}

 

Schreibe um:

 

\displaystyle 81^{0.75} = 81^{\tfrac{3}{4}} = \left( \sqrt[4]{81} \right)^3 = 3^3 = 27

 

d Jetzt ist der Exponent 0.333\dots = 1/3. Folglich ist

 

\displaystyle 8^{0.333\dots} = 8^{\tfrac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2

 

8 Vereinfache den folgenden Ausdruck:

 

\displaystyle \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^5 \left( \frac{2}{3} \right)^0 \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^5 \right]^2 \left( \frac{8}{27} \right)^3 }

 

Zur Vereinfachung benennen wir den Ausdruck mit A:

 

\displaystyle A = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^5 \left( \frac{2}{3} \right)^0 \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^5 \right]^2 \left( \frac{8}{27} \right)^3 }

 

Im Zähler können alle Zahlen hoch 0 als 1 geschrieben werden. Im Nenner kann die Regel zur Multiplikation von Exponenten angewendet werden:

 

\displaystyle A = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^5 \cdot 1 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{5 \cdot 2} \left( \frac{8}{27} \right)^3 }

 

Nun können die Exponenten mit derselben Basis addiert werden:

 

\displaystyle A = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^{5-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{10} \left( \frac{8}{27} \right)^3 }

 

das heißt,

 

\displaystyle A = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{10} \left( \frac{8}{27} \right)^3 }

 

Alle Brüche mit negativem Exponenten können in den Kehrwert der Basis mit entsprechendem positivem Exponent umgeschrieben werden:

 

\displaystyle A = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{16}{81} \right)^{2} }{\left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{10} \left( \frac{8}{27} \right)^3 }

 

Erneut können die Exponenten mit derselben Basis addiert/subtrahiert werden:

 

\displaystyle A = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^{2 - 5 - 1 - 10} \left( \frac{16}{81} \right)^{2} }{ \left( \frac{8}{27} \right)^3 } = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^{- 14} \left( \frac{16}{81} \right)^{2} }{ \left( \frac{8}{27} \right)^3 }

 

Es wird ersichtlich, dass

 

\displaystyle \frac{16}{81} = \left( \frac{2}{3} \right)^4

 

und

 

\displaystyle \frac{8}{27} = \left( \frac{2}{3} \right)^3 ist

 

Das heißt, der Ausdruck kann wie folgt umgeschrieben werden:

 

\displaystyle A = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^{- 14} \left[\left( \frac{2}{3} \right)^4 \right]^{2} }{ \left[\left( \frac{2}{3} \right)^3 \right]^3 }

 

Wende noch einmal die Regel zur Multiplikation von Potenzen an:

 

\displaystyle A = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^{- 14} \left( \frac{2}{3} \right)^{4 \cdot 2} }{ \left( \frac{2}{3} \right)^{3 \cdot 3} } = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^{- 14} \left( \frac{2}{3} \right)^{8} }{ \left( \frac{2}{3} \right)^{9} }

 

Addiere/subtrahiere die Exponenten:

 

\displaystyle A = \left( \frac{2}{3} \right)^{- 14 + 8 - 9} = \left( \frac{2}{3} \right)^{- 15}

 

Als Ergebnis erhält man

 

\displaystyle A = \left( \frac{3}{2} \right)^{15}

 

>

Die Plattform, die Lehrer/innen und Schüler/innen miteinander verbindet

Du findest diesen Artikel toll? Vergib eine Note!

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars 5,00 (1 Note(n))
Loading...

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan, ist es meine Aufgabe Mathe-Artikel von wirklichen Mathe-Experten logisch und verständlich ins Deutsche zu übertragen, damit Mathelerner bei Superprof ihre Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden können. Mathematische Formeln sind für mich wie eine Sprache: um etwas ausdrücken zu können (den Verlauf einer Kurve, die Richtung eines Vektors, etc.) verwendet man Formeln, die entsprechend ihrer Funktion einen bestimmten Aufbau haben und bestimmten Regeln folgen. Jedes Element einer Formel ist definiert und anhand der Definitionen lassen sich komplexe Rechenaufgaben strukturiert lösen.