Ein Monom ist ein eingliedriger algebraischer Term, der sich aus einem Produkt einer Zahl mit einer Variablen und einer Potenz x^n zusammensetzt

 

{2x^{2}y^{3}z}

 

Teile eines Monoms

 

Der Koeffizient

 

Der Koeffizient eines Monoms ist die Zahl, mit der die Variable multipliziert wird.

 

Beispiele:

1Der Koeffizient des Monoms {3x^{3}y^{2}z} ist {3}

 

2Der Koeffizient des Monoms {\displaystyle\frac{3}{4}xy^{2}z} ist {\displaystyle\frac{3}{4}}

 

3Der Koeffizient des Monoms {{x^{2}z} ist {1}

 

4Der Koeffizient des Monoms {\displaystyle\frac{5}{3}} ist {\displaystyle\frac{5}{3}}

 

5Der Koeffizient des Monoms {x} ist {1}

 

Das Variablenprodukt

 

Das Variablenprodukt eines Monoms setzt sich aus der Variablen und ihrem Exponenten zusammen.

 

Beispiele:

1Das Variablenprodukt des Monoms {3x^{3}y^{2}z} ist {x^{3}y^{2}z}

 

2Das Variablenprodukt des Monoms {y^{2}z} ist {y^{2}z}

 

3Das Variablenprodukt des Monoms {2abc} ist {abc}

 

4Im Monom {5} ist kein Variablenprodukt auszumachen

 

5Das Variablenprodukt des Monoms {x} ist {x}

 

Der Grad eines Monoms

 

Der Grad eines Monoms ergibt sich aus der Summe aller Exponenten der Variablen.

 

Beispiele:

1Der Grad des Monoms {2x^{2}y^{3}z} ist: {2+3+1=6}

 

2Der Grad des Monoms {{x^{2}z} ist: {2+1=3}

 

3Der Grad des Monoms {2abc} ist: {1+1+1=3}

 

4Der Grad des Monoms {5} ist: {0} (man könnte auch {5x^{0}} schreiben)

 

5Der Grad des Monoms {x} ist: {1}

 

Zwei Monome sind dann ähnlich, wenn sie dasselbe Variablenprodukt enthalten.

 

Beispiele:

1{2x^{2}y^{3}z} ist ähnlich wie {5x^{2}y^{3}z}

 

2{5xz} ist ähnlich wie {xz}

 

3{4a^{3}z^{2}} ist ähnlich wie {a^{3}z^{2}}

 

Homogene Monome

 

Zwei Monome sind dann homogen, wenn sie denselben totalen Grad aufweisen.

 

Heterogene Monome

 

Zwei Monome sind heterogen, wenn sie nicht denselben totalen Grad aufweisen.

 

Rechenaufgaben mit Monomen

 

Addition von Monomen

 

Um zwei oder mehrere Monome addieren zu können, müssen diese ähnlich sein, das heißt, dasselbe Variablenprodukt aufweisen.

 

Bei der Addition von Monomen erhält man ein neues Monom mit demselben Variablenprodukt als Ergebnis. Sein neuer Koeffizient ist die Summe der ursprünglichen Koeffizienten.

 

{ax^{n}+bx^{n}=(a+b)x^{n}}

 

Beispiele:

1{2x^{2}y^{3}z+3x^{2}y^{3}z=(2+3)x^{2}y^{3}z=5x^{2}y^{3}z}

 

2{4xy + 3xy - 5xy = 2xy}

 

3{4x - 5x - 3x + 2x = -2x}

 

Wenn zwei Monome nicht ähnlich sind, erhält man als Ergebnis bei der Addition stattdessen ein Polynom.

 

Beispiel:

1{2x^{2}y^{3}}+3x^{2}y^{3}z}

 

Produkt aus einem Monom und einer Zahl

 

Bei der Multiplikation von einer Zahl mit einem Monom erhält man ein ähnliches Monom als Ergebnis. Sein Koeffizient ist das Produkt aus dem ursprünglichen Koeffizienten und der Zahl.

 

Beispiele:

1{5\cdot (2x^{2}y^{3}z)=10x^{2}y^{3}z}

 

Üblicherweise wird kein Multiplikationszeichen zwischen die Zahl und die Klammer geschrieben, um die Multiplikation auszudrücken.

 

2{4(2x^{2}y^{3}z)=8x^{2}y^{3}z}

 

Multiplikation von Monomen

 

Bei der Multiplikation von Monomen erhält man ein neues Monom als Ergebnis. Sein Koeffizient ist das Produkt der Koeffizienten und sein Variablenprodukt erhält man, indem man die Potenzen miteinander multipliziert, das heißt, ihre Exponenten addiert.

 

{\left(ax^{n}\right)\left(bx^{m}\right)=(ab)x^{n+m}}

 

Beispiele:

1{\left(5x^{2}y^{3}z\right)\left(2y^{2}z^{2}\right)=(2\cdot 5)x^{2}y^{3+2}z^{1+2}=10x^{2}y^{5}z^{3}}

 

2{\left(4x\right)\left(3x^{2}y\right)=(4\cdot 3)x^{1+2}y^{1}=12x^{3}y}

 

Division von Monomen

 

Monome können nur dann dividiert werden, wenn der Grad des zu teilenden Monoms großer oder gleich dem Grad des Teilers ist.

 

Bei der Division von Monomen erhält man ein neues Monom als Ergebnis. Sein neuer Koeffizient ist der Quotient der ursprünglichen Koeffizienten und sein Variablenprodukt erhält man, indem man die Potenzen mit derselben Basis dividiert, das heißt, ihre Exponenten subtrahiert.

 

{\left(ax^{n}\right)\left(bx^{m}\right)=(a:b)x^{n-m}}

 

Beispiel:

1{\left(6x^{3}y^{4}z^{2}\right) : \left(3x^{2}y^{2}z^{2}\right)=(6: 3)x^{3-2}y^{4-2}z^{2-2}=2x^{1}y^{2}z^{0}=2xy^{2}}

 

Wenn der Grad des Teilers größer ist, erhält man einen algebraischen Bruch

 

Beispiel:

1{\left(6x^{3}y^{4}z^{2}\right) : \left(3x^{5}y^{2}z^{4}\right)=(6: 3)x^{3-5}y^{4-2}z^{2-4}=2x^{-2}y^{2}z^{-2}=\displaystyle\frac{2y^{2}}{x^{2}z^{2}}}

 

Potenzen von Monomen

 

Um ein Monom zu potenzieren, potenziert man jedes einzelne Element daraus mit dem in der Potenz angegebenen Exponenten

 

{\left( ax^{n} \right)^{m}=a^{m}\left(x^{n}\right)^{m}=a^{m}x^{(n\cdot m)}}

 

Beispiele:

1{\left( 2x^{3} \right)^{3}=2^{3}\left(x^{3}\right)^{3}=2^{3}x^{(3\cdot 3)}=8x^{9}}

 

2{\left( -3x^{2} \right)^{3}=(-3)^{3}\left(x^{2}\right)^{3}=(-3)^{3}x^{(2\cdot 3)}=-27x^{6}}

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Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan ist es meine Aufgabe Mathe-Artikel von wirklichen Mathe-Experten logisch und verständlich ins Deutsche zu übertragen, damit Mathelerner bei Superprof ihre Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden können. Mathematische Formeln sind für mich wie eine Sprache: um etwas ausdrücken zu können, verwendet man Formeln, die entsprechend ihrer Funktion einen bestimmten Aufbau haben und bestimmten Regeln folgen, sodass Komplexes strukturiert gelöst wird.