Kapitel
- Entscheide, ob die folgenden mathematischen Ausdrücke Polynome sind oder nicht
- Schreibe in mathematischen Ausdrücken
- Gegeben sind die Polynome P,Q,R,S,T,U:
- Gegeben sind die Polynome P,Q,R:
- Multipliziere folgende Ausdrücke
- Dividiere folgende Ausdrücke
- Dividiere mithilfe des Horner Schemas
- Bestimme den Rest der folgenden Rechenoperationen, ohne die Divisionen durchzuführen
- Zeige, welche Divisionen vollständig aufgehen
- Überprüfe, ob folgende Polynome die angegebenen Faktoren haben
- Berechne die angegebenen Werte
- Berechne die angegebenen Koeffizienten
- Berechne den Wert für k
- Berechne den Wert für m
- Finde das Polynom, das folgende Bedinungen erfüllt
- Berechne den Wert für a
Übungsaufgaben mit Lösungen zu Polynomen mit konstantem Glied unterschiedlichen Grades, geordneten Polynomen, Summe und Differenz von Polynomen, Multiplikation von Polynomen, Division von Polynomen, das Horner Schema, Restsatz, Rest eines Polynoms und Faktorisierung.
Entscheide, ob die folgenden mathematischen Ausdrücke Polynome sind oder nicht
Entscheide, ob die folgenden mathematischen Ausdrücke Polynome sind oder nicht.
Falls ja, gib den Grad des Polynoms und das konstante Glied an.
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
1
Grad: 
, konstantes Glied: .
2
Hierbei handelt es sich nicht um ein Polynom, da die Variable des ersten Monoms in einer Wurzel steht.
3
Grad: 
, konstantes Glied: 
.
4
Hierbei handelt es nicht nicht um ein Polynom, da der Exponent 
des ersten Monoms keine natürliche Zahl ist.
5
Grad: , konstantes Glied:
.
6
Hierbei handelt es sich nicht um ein Polynom, da der Exponent des zweiten Monoms keine natürliche Zahl ist.
7
Grad: 
, konstantes Glied: 
.
Schreibe in mathematischen Ausdrücken
1 Ein geordnetes Polynom ohne konstantes Glied.
2 Ein nicht geordnetes, vollständiges Polynom.
3 Ein vollständiges Polynom ohne konstantes Glied.
4 Ein Polynom vom Grad , vollständig und mit ungeraden Koeffizienten.
Schreibe:
1 Ein geordnetes Polynom ohne konstantes Glied.
2 Ein nicht geordnetes und vollständiges Polynom.
3 Ein vollständiges Polynom ohne konstantes Glied.
Nicht möglich
4 Ein Polynom vom Grad , vollständig und mit ungeraden Koeffizienten.
Gegeben sind die Polynome P,Q,R,S,T,U:
Wir berechnen:
1 
2 
3 
4 
5 
6 
Gegeben sind folgende Polynome:
Wir berechnen:
1 
2
3 
= 
= 
= 
4 
5 
= 
= 
= 
6 
= 
= 
= 
Gegeben sind die Polynome P,Q,R:
Wir berechnen:
1 
2 
3 
Gegeben sind folgende Polynome:
Wir berechnen:
1 
2 
3 
Multipliziere folgende Ausdrücke
1 
2 
3 
Multipliziere folgende Ausdrücke
1 
2 
3 
Dividiere folgende Ausdrücke
1 
2 
3 Gegeben sind folgende Polynome:
Wir lösen
Dividiere folgende Ausdrücke
1
2
3 Gegeben sind folgende Polynome:
Wir lösen
:
Dividiere mithilfe des Horner Schemas
1 
2 
3 
Horner Schema:
1
2
3
Bestimme den Rest der folgenden Rechenoperationen, ohne die Divisionen durchzuführen
1 
2 
3
Bestimme bei den folgenden Rechenoperationen, ohne dabei die Divisionen durchzuführen, welcher Rest bleibt:
Um den Rest zu bestimmen, wenden wir den Restsatz an. Dieser besagt, dass der Rest der Division eines Polynoms 
durch ein Polynom der Form 
der numerische Wert des besagten Polynoms für den Wert von 
ist
1
2
3
Zeige, welche Divisionen vollständig aufgehen
Zeige, bei welchen der Divisionen kein Rest bleibt:
1 
2 
3 
4 
Zeige, bei welchen der Divisionen kein Rest bleibt:
1Wir wenden den Restsatz an. Falls der Rest 0 ist, geht die Division exakt auf.
Bei dieser Division bleibt ein Rest.
2
Division geht ohne Rest auf.
3
Division geht ohne Rest auf.
4
Division geht ohne Rest auf.
Überprüfe, ob folgende Polynome die angegebenen Faktoren haben
1 
hat als Faktor 
2 
hat als Faktor 
3 
hat als Faktor 
4 
hat als Faktor 
Überprüfe, ob folgende Polynome die angegebenen Faktoren haben:
1 
hat als Faktor 
ist teilbar durch , aber nur dann, wenn gilt 
.
ist kein Faktor.
2 
hat als Faktor
ist teilbar durch , aber nur dann, wenn gilt 
.
ist kein Faktor.
3 
hat als Faktor 
.
ist kein Faktor.
4 
hat als Faktor
ist teilbar durch , aber nur dann, wenn gilt 
.
ist ein Faktor.
Berechne die angegebenen Werte
Bestimme 
und 
, sodass das Polynom 
teilbar durch 
ist.
Bestimme und , sodass das Polynom 
teilbar durch 
ist.
Wir zerlegen in Faktoren
ist teilbar durch 
, aber nur dann, wenn gilt und 
Durch den Restsatz wissen wir, dass der Rest 0 ist
Wir führen aus
Durch den Restsatz wissen wir, dass der Rest 0 ist
Wir berechnen
Wir erhalten zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Wir lösen das Gleichungssystem mithilfe des Additionsverfahrens
Berechne die angegebenen Koeffizienten
Bestimme die Koeffizienten und , sodass das Polynom 
teilbar durch 
ist.
Bestimme die Koeffizienten und , sodass das Polynom
teilbar durch ist.
Wir dividieren
Damit die Division teilbar ist, muss sie vollständig aufgehen. Das heißt,
es darf kein Rest bleiben.
Damit der Rest null ist, muss der Koeffizient von 
und der Koeffizient
des konstanten Glieds null sein
Berechne den Wert für k
Den Wert für 
bestimmen, damit beim Dividieren von 
durch 
als Rest bleibt.
Den Wert für finden, damit beim Dividieren von durch als Rest bleibt.
Wir wenden den Restsatz an und finden heraus, dass Rest bleibt
Wir führen durch
Berechne den Wert für m
Den Wert für m bestimmen, sodass bei 
eine der Nullstellen ist.
Den Wert für 
bestimmen, sodass bei eine der Nullstellen ist.
Wenn eine Nullstelle des Polynoms ist, muss der numerische Wert des Polynoms für diesen Wert null sein
Wir führen aus
Finde das Polynom, das folgende Bedinungen erfüllt
Bestimme ein Polynom vierten Grades, das teilbar durch ist
und für 
und 
null wird.
Ein Polynom vierten Grades bestimmen, das teilbar durch ist
und für und null wird.
Wenn es für und null wird, sind und 
somit Faktoren des
des gesuchten Polynoms
ist ein weiterer Faktor, da das Polynom teilbar durch ist
Wir multiplizieren die Faktoren:
Wir multiplizieren als Erstes die ersten beiden
Berechne den Wert für a
Den Wert für a berechnen, sodass das Polynom 
die Nullstelle 
hat
und die weiteren Nullstellen berechnen.
Den Wert für a berechnen, sodass das Polynom die Nullstelle hat
und die weiteren Nullstellen berechnen
Wir berechnen den Wert für . Wir wissen, dass der numerischen Wert des Polynoms
für
null sein muss
Wir faktorisieren mit dem Horner Schema
Wir setzen den zweiten Faktor gleich null und lösen die Gleichung zweiten Grades
Es gibt keine weiteren reellen Nullstellen.
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