Übungsaufgaben mit Lösungen zu Polynomen mit konstantem Glied unterschiedlichen Grades, geordneten Polynomen, Summe und Differenz von Polynomen, Multiplikation von Polynomen, Division von Polynomen, das Horner Schema, Restsatz, Rest eines Polynoms und Faktorisierung.

Entscheide, ob die folgenden mathematischen Ausdrücke Polynome sind oder nicht

 

Entscheide, ob die folgenden mathematischen Ausdrücke Polynome sind oder nicht.

Falls ja, gib den Grad des Polynoms und das konstante Glied an.

 

1 x^{4}-3x^{5}+2x^{2}+5

2 \sqrt{x}+ 7x^{2} + 2

3 1-x^{4}

4 \displaystyle \frac{2}{x^{2}}-x-7

5 x^{3}+x^{5}+x^{2}

6 x-2x^{-3}+8

7 \displaystyle x^{3}-x- \frac{7}{2}}

 

Entscheide, ob folgende mathematische Ausdrücke Polynome sind oder nicht. Falls ja, gib den Grad des Polynoms und das konstante Glied an.

1x^{4}-3x^{5}+2x^{2}+5

Grad: 5, konstantes Glied: 5.

 

2 \sqrt{x}+ 7x^{2} + 2

Hierbei handelt es sich nicht um ein Polynom, da die Variable des ersten Monoms in einer Wurzel steht.

 

31-x^{4}

Grad: 4, konstantes Glied: 1.

 

4 \displaystyle \frac{2}{x^{2}}-x-7

Hierbei handelt es nicht nicht um ein Polynom, da der Exponent (x^{-2}) des ersten Monoms keine natürliche Zahl ist.

 

5 x^{3}+x^{5}+x^{2}

Grad: 5, konstantes Glied:0.

 

6 x-2x^{-3}+8

Hierbei handelt es sich nicht um ein Polynom, da der Exponent des zweiten Monoms keine natürliche Zahl ist.

 

7 \displaystyle x^{3}-x- \frac{7}{2}}

Grad: 3, konstantes Glied: \displaystyle -\frac{7}{2}.

 

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Los geht's

Schreibe in mathematischen Ausdrücken

 

1 Ein geordnetes Polynom ohne konstantes Glied.

2 Ein nicht geordnetes, vollständiges Polynom.

3 Ein vollständiges Polynom ohne konstantes Glied.

4 Ein Polynom vom Grad 4, vollständig und mit ungeraden Koeffizienten.

 

Schreibe:

1 Ein geordnetes Polynom ohne konstantes Glied.

3x^{4}-2x

 

2 Ein nicht geordnetes und vollständiges Polynom.

3x-x^{2}+5-2x^{3}

 

3 Ein vollständiges Polynom ohne konstantes Glied.

Nicht möglich

 

4 Ein Polynom vom Grad 4, vollständig und mit ungeraden Koeffizienten.

 

x^{4}-x^{3}-x^{2}+3x+5

 

Gegeben sind die Polynome P,Q,R,S,T,U:

 

P(x)=4x^{2}-1

Q(x)=x^{3}-3x^{2}+6x-2

R(x)=6x^{2}+x+1

\displaystyle S(x)=\frac{1}{2x^{2}}+4

\displaystyle T(x)=\frac{3}{2x^{2}}+5

\displaystyle U(x)=x^{2}+2

 

 

Wir berechnen:

1 P(x) + Q (x)

2 P(x) - U (x)

3 P(x) + R (x)

4 2P(x) - R (x)

5 S(x) + T(x) + U(x)

6 S(x) - T(x) + U(x)

 

Gegeben sind folgende Polynome:

P(x)=4x^{2}-1

Q(x)=x^{3}-3x^{2}+6x-2

R(x)=6x^{2}+x+1

\displaystyle S(x)=\frac{1}{2x^{2}}+4

\displaystyle T(x)=\frac{3}{2x^{2}}+5

\displaystyle U(x)=x^{2}+2

Wir berechnen:

1 P(x) + Q (x)=

 (4x^{2}-1) + (x^{3}-3x^{2} + 6x-2) =

= x^{3}-3x^{2} + 4x^{2} + 6x - 2 - 1 =

= x^{3} + x^{2} + 6x -3

 

2 P(x) - U (x) =

= (4x^{2} - 1) - (x^{2} + 2) =

= 4x^{2} - 1 - x^{2} - 2 =

= 3x^{2} - 3

 

3 P(x) + R (x) =

= (4x^{2} - 1) + (6x^{2} + x + 1) =

= 4x^{2} + 6x^{2} + x - 1 + 1 =

= 10x^{2} + x

 

4 2P(x) - R (x) =

= 2 \cdot (4x^{2} - 1) - (6x^{2} + x + 1) =

= 8x^{2} - 2 - 6x^{2} - x - 1 =

=2x^{2} - x - 3

 

5 S(x) + T(x) + U(x) =

= \displaystyle (\frac{1}{2x^{2}} + 4) + (\frac{3}{2x^{2}} + 5) + (x^{2} + 2) =

= \displaystyle \frac{1}{2x^{2}} + \frac{3}{2x^{2}} + x^{2} + 4 + 5 + 2 =

= x^{2}+\frac{2}{x^{2}}+11

 

6 S(x) - T(x) + U(x) =

= \displaystyle (\frac{1}{2x^{2}} + 4) - (\frac{3}{2x^{2}} + 5) + (x^{2} + 2) =

= \displaystyle \frac{1}{2x^{2}} + 4 - \frac{3}{2x^{2}} -  5 + x^{2} + 2 =

= x^{2}-\frac{1}{x^{2}}+1

Gegeben sind die Polynome P,Q,R:

P(x) = x^{4} - 2x^{2} - 6x - 1

Q(x) = x^{3} - 6x^{2} + 4

R(x) = 2x^{4} - 2x - 2

 

Wir berechnen:

1 P(x) + Q(x) - R(x)

2 P(x) + 2 Q(x) - R(x)

3 Q(x) + R(x) - P(x)

 

Gegeben sind folgende Polynome:

P(x) = x^{4} - 2x^{2} - 6x - 1

Q(x) = x^{3} - 6x^{2} + 4

R(x) = 2x^{4} - 2 x - 2

Wir berechnen:

 

1 P(x) + Q(x) - R(x) =

= (x^{4} - 2x^{2} - 6x - 1) + (x^{3}- 6x^{2} + 4) - (2x^{4} - 2x - 2) =

= x^{4} - 2x^{2} - 6x - 1 + x^{3} - 6x^{2} + 4 - 2x^{4} + 2x + 2 =

= x^{4} - 2x^{4} + x^{3} - 2x^{2} - 6x^{2} - 6x + 2x - 1 + 4 + 2 =

= -x^{4} + x^{3} - 8x^{2} - 4x + 5

 

2 P(x) + 2 Q(x) - R(x) =

= (x^{4} - 2x^{2} - 6x - 1) + 2 \cdot (x^{3} - 6x^{2} + 4) - (2x^{4} - 2x - 2) =

= x^{4} - 2x^{2} - 6x - 1 + 2x^{3} - 12x^{2} + 8 - 2x^{4} + 2x + 2 =

= x^{4} - 2x^{4} + 2x^{3} - 2x^{2} - 12x^{2} - 6x + 2x - 1 + 8 + 2 =

= -x^{4} + 2x^{3} - 14x^{2} - 4x + 9

 

3 Q(x) + R(x) - P(x)=

= (x^{3} - 6x^{2} + 4) + (2x^{4} - 2x - 2) - (x^{4} - 2x^{2} - 6x - 1) =

= x^{3} - 6x^{2} + 4 + 2x^{4} -2x - 2 - x^{4} + 2x^{2} + 6x + 1=

= 2x^{4} - x^{4} + x^{3} - 6x^{2} + 2x^{2} - 2x + 6x + 4 - 2 + 1=

= x^{4} + x^{3} - 4x^{2} + 4x + 3

Multipliziere folgende Ausdrücke

 

1 (x^{4} - 2x^{2} + 2) \cdot (x^{2} - 2x + 3)

2 (3x^{2} - 5x) \cdot (2x^{3} + 4x^{2} - x + 2)

3 (2x^{2} - 5x + 6) \cdot (3x^{4} - 5x^{3} - 6x^{2} + 4x - 3)

 

Multipliziere folgende Ausdrücke

1 (x^{4} - 2x^{2} + 2) \cdot (x^{2} - 2x + 3) =

= x^{6} - 2x^{5} + 3x^{4} - 2x^{4} + 4x^{3} - 6x^{2} + 2x^{2} - 4x + 6=

= x^{6} - 2x^{5} - 2x^{4} + 3x^{4} + 4x^{3} + 2x^{2} - 6x^{2} - 4x + 6 =

= x^{6} -2x^{5} + x^{4} + 4x^{3} - 4x^{2} - 4x + 6

 

2 (3x^{2} - 5x) \cdot (2x^{3} + 4x^{2} - x + 2) =

= 6x^{5} + 12x^{4} - 3x^{3} + 6x^{2}- 10x^{4} - 20x^{3} + 5x^{2} - 10x =

= 6x^{5} + 12x^{4} - 10x^{4} - 3x^{3} - 20x^{3} + 6x^{2} + 5x^{2} - 10x =

= 6x^{5} + 2x^{4} - 23x^{3} + 11x^{2} - 10x

 

3 (2x^{2} - 5x + 6) \cdot (3x^{4}- 5x^{3} - 6x^{2} + 4x - 3) =

= 6x^{6} - 10x^{5} - 12x^{4} + 8x^{3} - 6x^{2} -

- 15x^{5} + 25x^{4} + 30x^{3} - 20x^{2} + 15x +

+18x^{4} - 30x^{3} - 36x^{2} + 24x - 18 =

= 6x^{6} - 10x^{5} - 15x^{5} - 12x^{4} + 25x^{4} + 18x^{4} +

+8x^{3} - 30x^{3} + 30x^{3} - 6x^{2}- 20x^{2} - 36x^{2} + 15x + 24x - 18 =

= 6x^{6} - 25x^{5} + 31x^{4} + 8x^{3} - 62x^{2} + 39x - 18

Dividiere folgende Ausdrücke

 

1 \displaystyle \frac{x^{4} - 2x^{3} - 11x^{2} + 30x - 20}{x^{2} + 3x - 2}

2 \displaystyle \frac{x^{6} +5x^{4} +3x^{2} - 2x}{x^{2} -x +3}

3 Gegeben sind folgende Polynome:

P(x) = x^{5} + 2x^{3} - x - 8 Q(x) = x^{2} - 2x + 1

Wir lösen

\displaystyle \frac{P}{Q}

 

Dividiere folgende Ausdrücke

 

1 \displaystyle \frac{x^{4} - 2x^{3} - 11x^{2} + 30x - 20}{x^{2} + 3x - 2}

 

Polynomdivision

 

2 \displaystyle \frac{x^{6} +5x^{4} +3x^{2} - 2x}{x^{2} -x +3}

 

Polynomdivision

 

3 Gegeben sind folgende Polynome:

P(x) = x^{5} + 2x^{3} - x - 8  Q(x) = x^{2} - 2x + 1

Wir lösen

\displaystyle \frac{P}{Q}:

 

Polynomdivision

Dividiere mithilfe des Horner Schemas

 

1 \displaystyle \frac{x^{3} +2x+70}{x+4}

2 \displaystyle \frac{x^{5} -32}{x-2}

3 \displaystyle \frac{x^{4} -3x^{2} +2}{x-3}

 

Horner Schema:

1 \displaystyle \frac{x^{3} +2x+70}{x+4}

Division von Polynomen mit dem Horner Schema

Residuo

 

2 \displaystyle \frac{x^{5} -32}{x-2}

Division von Polynomen mit dem Horner Schema

C(x) = x^{4} + 2x^{3} + 4x^{2} + 8x + 16

 

3 \displaystyle \frac{x^{4} -3x^{2} +2}{x-3}

Division von Polynomen mit dem Horner Schema

C(x) = x^{3} + 3x^{2} + 6x +18

Bestimme den Rest der folgenden Rechenoperationen, ohne die Divisionen durchzuführen

 

1 \displaystyle \frac{x^{5} -2x^{2} -3}{x-1}

2 \displaystyle \frac{2x^{4} -2x^{3}+3x^{2} +5x+10}{x+2}

3 \displaystyle \frac{x^{4} -3x^{2} +2}{x-3}

 

Bestimme bei den folgenden Rechenoperationen, ohne dabei die Divisionen durchzuführen, welcher Rest bleibt:

Um den Rest zu bestimmen, wenden wir den Restsatz an. Dieser besagt, dass der Rest der Division eines Polynoms P(x) durch ein Polynom der Form (x - a) der numerische Wert des besagten Polynoms für den Wert von x = a ist

1 \displaystyle \frac{x^{5} -2x^{2} -3}{x-1}

R(1) = 1^{5} - 2 \cdot 1² - 3 = -4

 

2 \displaystyle \frac{2x^{4} -2x^{3}+3x^{2} +5x+10}{x+2}

R(-2) = 2 \cdot (-2)^{4} - 2 \cdot (-2)³ + 3 \cdot (-2)^{2} + 5 \cdot (-2) +10 =

= 32 + 16 + 12 - 10 + 10 = 60

 

3 \displaystyle \frac{x^{4} -3x^{2} +2}{x-3}

P(3) = 3^{4} - 3 \cdot 3² + 2 = 81 - 27 + 2 = 56

Zeige, welche Divisionen vollständig aufgehen

Zeige, bei welchen der Divisionen kein Rest bleibt:

1 \displaystyle \frac{x^{3} -5x-1}{x-3}

2 \displaystyle \frac{x^{6} -1}{x+1}

3 \displaystyle \frac{x^{4} -2x^{3}+x^{2}+x-1}{x-1}

4 \displaystyle \frac{x^{10}-1024}{x+2}

 

Zeige, bei welchen der Divisionen kein Rest bleibt:

1Wir wenden den Restsatz an. Falls der Rest 0 ist, geht die Division exakt auf.

\displaystyle \frac{x^{3} -5x-1}{x-3}

P(3) = 3^{3} - 5 \cdot 3 - 1 = 27 - 15 - 1 ≠ 0

Bei dieser Division bleibt ein Rest.

 

2 \displaystyle \frac{x^{6} -1}{x+1}

P(-1)= (-1)^{6} - 1 = 0

Division geht ohne Rest auf.

 

3 \displaystyle \frac{x^{4} -2x^{3}+x^{2}+x-1}{x-1}

P(1) = 1^{4} - 2 \cdot 1^{3} + 1^{2} + 1 - 1 = 1 - 2 +1 + 1 - 1 = 0

Division geht ohne Rest auf.

 

4 \displaystyle \frac{x^{10}-1024}{x+2}

P(-2) = (-2)^{10} - 1024 = 1024 - 1024 = 0

Division geht ohne Rest auf.

Überprüfe, ob folgende Polynome die angegebenen Faktoren haben

 

1 (x^{3}-5x-1) hat als Faktor (x-3)

2 (x^{6}-1) hat als Faktor (x + 1)

3 (x^{4}-2x^{3} + x^{2} + x-1) hat als Faktor (x-1)

4 (x^{10}-1024) hat als Faktor (x + 2)

 

Überprüfe, ob folgende Polynome die angegebenen Faktoren haben:

1 (x^{3} - 5x -1) hat als Faktor (x - 3)

(x^{3} - 5x -1) ist teilbar durch (x - 3), aber nur dann, wenn gilt P(x = 3) = 0.

P(3) = 3^{3} - 5 \cdot 3 - 1 = 27 - 15 - 1 ≠ 0

(x - 3) ist kein Faktor.

 

2 (x^{6} - 1) hat als Faktor (x + 1)

(x^{6}- 1) ist teilbar durch (x + 1), aber nur dann, wenn gilt P(x = - 1) = 0.

P(-1) = (-1)^{6} - 1 = 0

(x + 1) ist kein Faktor.

 

3 (x^{4} - 2x^{3} + x^{2} + x - 1) hat als Faktor (x - 1)

P(x = 1) = 0.

vP(1) = 1^{4}- 2 \cdot 1^{3} + 1^{2} + 1 - 1 = 1 - 2 +1 + 1 - 1 = 0

(x - 1) ist kein Faktor.

 

4 (x^{10} - 1024) hat als Faktor (x + 2)

(x^{10} - 1024) ist teilbar durch (x + 2), aber nur dann, wenn gilt P(x = -2) = 0.

P(-2) = (-2)^{10} - 1024 = 1024 - 1024 = 0

(x + 2) ist ein Faktor.

Berechne die angegebenen Werte

Bestimme a und b, sodass das Polynom x^{5}-ax+b teilbar durch x^{2}-4 ist.

 

Bestimme a und b, sodass das Polynom x^{5} - ax + b teilbar durch x^{2} - 4 ist.

Wir zerlegen in Faktoren

x^{2} - 4 = (x +2) \cdot (x - 2)

(x^{5} - ax + b) ist teilbar durch (x^{2} - 4), aber nur dann, wenn gilt P(x = -2) = 0 und P(x = 2) = 0

Durch den Restsatz wissen wir, dass der Rest 0 ist

P(-2) = (-2)^{5} - a \cdot (-2) + b = 0

Wir führen aus

-32 + 2a + b = 0 2a + b = 32

Durch den Restsatz wissen wir, dass der Rest 0 ist

 P(2) = 2^{5} - a \cdot 2 + b = 0

Wir berechnen

32 - 2a + b = 0  - 2a + b = -32

Wir erhalten zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Wir lösen das Gleichungssystem mithilfe des Additionsverfahrens

Método de eliminación Ergebnis

Berechne die angegebenen Koeffizienten

Bestimme die Koeffizienten a und b, sodass das Polynom x^{3} + ax^{2} + bx + 5

teilbar durch x^{2} + x + 1 ist.

 

Bestimme die Koeffizienten a und b, sodass das Polynom x^{3} + ax^{2} + bx + 5

teilbar durch x^{2} + x + 1 ist.

 

Wir dividieren

 

Polynomdivision

 

Damit die Division teilbar ist, muss sie vollständig aufgehen. Das heißt,

es darf kein Rest bleiben.

Damit der Rest null ist, muss der Koeffizient von x und der Koeffizient

des konstanten Glieds null sein

b - a = 0 -a + 6 = 0

a = 6 b = 6

Berechne den Wert für k

Den Wert für k bestimmen, damit beim Dividieren von 2x^{2} - kx + 2 durch (x - 2) als Rest 4 bleibt.

 

Den Wert für k finden, damit beim Dividieren von 2x^{2} - kx + 2 durch (x - 2) als Rest 4 bleibt.

Wir wenden den Restsatz an und finden heraus, dass Rest 4 bleibt

P(2) = 2 \cdot 2^{2} - k \cdot 2 + 2 = 4

Wir führen durch

10 - 2k = 4 - 2k = - 6 k = 3

Berechne den Wert für m

Den Wert für m bestimmen, sodass bei 3x^{2} + mx + 4 x = 1 eine der Nullstellen ist.

 

Den Wert für m bestimmen, sodass bei 3x^{2} + mx + 4 x = 1 eine der Nullstellen ist.

Wenn x = 1 eine Nullstelle des Polynoms ist, muss der numerische Wert des Polynoms für diesen Wert null sein

P(1) = 3 \cdot 1^{2} + m \cdot 1 + 4 = 0

Wir führen aus

3 + m + 4 = 0  m = - 7

Finde das Polynom, das folgende Bedinungen erfüllt

Bestimme ein Polynom vierten Grades, das teilbar durch  x^{2} - 4  ist

und für x = 3 und x= 5 null wird.

 

Ein Polynom vierten Grades bestimmen, das teilbar durch x^{2} - 4 ist

und für x = 3 und x= 5 null wird.

Wenn es für x = 3 und x= 5 null wird, sind (x - 3) und (x - 5) somit Faktoren des

des gesuchten Polynoms

x^{2} - 4 ist ein weiterer Faktor, da das Polynom teilbar durch x^{2} - 4 ist

Wir multiplizieren die Faktoren:

(x - 3) \cdot (x - 5) \cdot (x^{2} - 4) =

Wir multiplizieren als Erstes die ersten beiden

(x^{2} - 8x + 15)  (x^{2} - 4) =

= x^{4} - 4x^{2} - 8x^{3} + 32x + 15x^{2} - 60 =

 x^{4} - 8x^{3} + 11x^{2} + 32x - 60

Berechne den Wert für a

Den Wert für a berechnen, sodass das Polynom x^{3} - ax + 8 die Nullstelle x = -2 hat

und die weiteren Nullstellen berechnen.

 

Den Wert für a berechnen, sodass das Polynom x^{3} - ax + 8 die Nullstelle x = -2 hat

und die weiteren Nullstellen berechnen

Wir berechnen den Wert für a. Wir wissen, dass der numerischen Wert des Polynoms

für

x = -2 null sein muss

P(-2) = (-2)^{3} - a \cdot (-2) +8 = 0 -8 + 2a +8 = 0 a = 0

Wir faktorisieren mit dem Horner Schema

 

División de polinomios por Ruffini

(x + 2) · (x^{2} - 2x + 4)

 

Wir setzen den zweiten Faktor gleich null und lösen die Gleichung zweiten Grades

x^{2} - 2x + 4 = 0

Allgemeine Formel zum Lösen von Gleichungen zweiten Grades

 

Es gibt keine weiteren reellen Nullstellen.

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Eva