Ist das ein Monom?

Bestimme, ob es sich bei den folgenden Ausdrücken um Monome handelt oder nicht. Falls ja, gib den Grad und Koeffizienten des Monoms an.

 

1 {3x^{3}}

 

2 {5x^{-3}}

 

3 {3x+1}

 

4 {\sqrt{2}x}

 

5 {-\displaystyle\frac{3}{4}x^{4}}

 

6 {-\displaystyle\frac{3}{x^{4}}}

 

7 {2\sqrt{x}}

 

 

Bestimme, ob es sich bei den folgenden Ausdrücken um Monome handelt oder nicht. Falls ja, gib den Grad und Koeffizienten des Monoms an.

 

1 {3x^{3}}

 

Monom; Grad 3 und Koeffizient 3.

 

2 {5x^{-3}}

 

Kein Monom, da der Exponent keine natürliche Zahl ist.

 

3 {3x+1}

 

Kein Monom, da es sich um eine Summe handelt.

 

4 {\sqrt{2}x}

 

Monom; Grad 1 und Koeffizient {\sqrt{2}}.

 

5 {-\displaystyle\frac{3}{4}x^{4}}

 

Monom; Grad 4 und Koeffizient {-\displaystyle\frac{3}{4}}.

 

6 {-\displaystyle\frac{3}{x^{4}}}

 

Kein Monom, da es keinen natürlichen Exponenten hat.

 

7 {2\sqrt{x}}

 

Kein Monom, da die Variable unter einer Wurzel steht.

 

Polynome: ja oder nein?

Bestimme, ob es sich bei den folgenden algebraischen Ausdrücken um Polynome handelt oder nicht. Falls ja, gib den Grad und das konstante Glied an.

 

1 {x^{4}-3x^{5}+2x^{2}+5}

 

2 {\sqrt{x}+7x^{2}+2}

 

3 {1-x^{4}}

 

4 {\displaystyle\frac{2}{x^{2}}-x-7}

 

5 {x^{3}+x^{5}+x^{2}}

 

6 {x-2x^{-3}+8}

 

7 {x^{3}-x-\displaystyle\frac{7}{2}}

 

 

Bestimme, ob es sich bei den folgenden algebraischen Ausdrücken um Polynome handelt oder nicht. Falls ja, gib den Grad und das konstante Glied an.

 

1 {x^{4}-3x^{5}+2x^{2}+5}

 

Polynom; Grad 5 und konstantes Glied 5

 

2 {\sqrt{x}+7x^{2}+2}

 

Kein Polynom, da die Variable des ersten Monoms unter einer Wurzel steht.

 

3 {1-x^{4}}

 

Polynom; Grad 4 und konstantes Glied 1

 

4 {\displaystyle\frac{2}{x^{2}}-x-7}

 

Kein Polynom, da der Exponent des ersten Monoms keine natürliche Zahl ist.

 

5 {x^{3}+x^{5}+x^{2}}

 

Polynom; Grad 5 und konstantes Glied 0

 

6 {x-2x^{-3}+8}

 

Kein Polynom, da der Exponent des zweiten Monoms keine naürliche Zahl ist.

 

7 {x^{3}-x-\displaystyle\frac{7}{2}}

 

Polynom; Grad 3 und konstantes Glied {-\displaystyle\frac{7}{2}}

 

Mathematische Schreibweise

Schreibe:

 

1Ein geordnetes Polynom ohne konstantes Glied.

 

2Ein nicht geordnetes, vollständiges Polynom.

 

3Ein vollständiges Polynom ohne konstantes Glied.

 

4Ein vollständiges Polynom vom Grad 4 mit ungeraden Koeffizienten.

 

 

Schreibe:

 

1Ein geordnetes Polynom ohne konstantes Glied.

 

{3x^{4}-2x}

 

2Ein nicht geordnetes, vollständiges Polynom.

 

{3x-x^{2}+5-2x^{3}}

 

3Ein vollständiges Polynom ohne konstantes Glied.

 

Nicht möglich

 

4Ein vollständiges Polynom vom Grad 4 mit ungeraden Koeffizienten.

 

{x^{4}-x^{3}-x^{2}+3x+5}

 

Rechnen mit Polynomen

 

Folgende Polynome sind gegeben:

 

{P(x)=4x^{2}-1}

 

{Q(x)=x^{3}-3x^{2}+6x-2}

 

{R(x)=6x^{2}+x+1}

 

{S(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x^{2}+4}

 

{T(x)=\displaystyle\frac{3}{2}x^{2}+5}

 

{U(x)=x^{2}+2}

 

Berechne:

 

1{P(x)+Q(x)}

 

2{P(x)-U(x)}

 

3{P(x)+R(x)}

 

4{2P(x)-R(x)}

 

5{S(x)+T(x)+U(x)}

 

6{S(x)-T(x)+U(x)}

 

 

Folgende Polynome sind gegeben:

 

{P(x)=4x^{2}-1}

 

{Q(x)=x^{3}-3x^{2}+6x-2}

 

{R(x)=6x^{2}+x+1}

 

{S(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x^{2}+4}

 

{T(x)=\displaystyle\frac{3}{2}x^{2}+5}

 

{U(x)=x^{2}+2}

 

Berechnen:

 

1{\begin{array}{rcl} P(x)+Q(x)&=&(4x^{2}-1)+(x^{3}-3x^{2}+6x-2) \\ && \\ &=& 4x^{2}-1+x^{3}-3x^{2}+6x-2\\ && \\ &=& x^{3}+x^{2}+6x-3 \end{array}}

 

2 {\begin{array}{rcl} P(x)-U(x)&=&(4x^{2}-1)-(x^{2}+2) \\ && \\ &=& 4x^{2}-1-x^{2}-2\\ && \\ &=& 3x^{2}-3 \end{array}}

 

3 {\begin{array}{rcl} P(x)+R(x)&=&(4x^{2}-1)+(6x^{2}+x+1) \\ && \\ &=& 4x^{2}-1+6x^{2}+x+1\\ && \\ &=& 10x^{2}+x \end{array}}

 

4 {\begin{array}{rcl} 2P(x)-R(x)&=&2(4x^{2}-1)-(6x^{2}+x+1) \\ && \\ &=& 8x^{2}-2-6x^{2}-x-1\\ && \\ &=& 2x^{2}-x-3 \end{array}}

 

5 {\begin{array}{rcl} S(x)+T(x)+U(x)&=&\left(\displaystyle\frac{1}{2}x^{2}+4\right)+\left(\displaystyle\frac{3}{2}x^{2}+5\right)+(x^{2}+2) \\ && \\ &=& \displaystyle\frac{1}{2}x^{2}+4+\displaystyle\frac{3}{2}x^{2}+5+x^{2}+2\\ && \\ &=& 3x^{2}+11 \end{array}}

 

6 \begin{array}{rcl} S(x)-T(x)+U(x)&=&\left(\displaystyle\frac{1}{2}x^{2}+4\right)-\left(\displaystyle\frac{3}{2}x^{2}+5\right)+(x^{2}+2) \\ && \\ &=& \displaystyle\frac{1}{2}x^{2}+4-\displaystyle\frac{3}{2}x^{2}-5+x^{2}+2\\ && \\ &=& 1 \end{array}}

 

Multiplikation

Multiplizieren:

 

1{\left(x^{4}-2x^{2}+2\right)\left(x^{2}-2x+3\right)}

 

2{\left(3x^{2}-5x\right)\left(2x^{3}+4x^{2}-x+2\right)}

 

3{\left(2x^{2}-5x+6\right)\left(3x^{4}-5x^{3}-6x^{2}+4x-3\right)}

 

 

Multiplizieren:

 

1{\begin{array}{rcl} \left(x^{4}-2x^{2}+2\right)\left(x^{2}-2x+3\right) & = & x^{6}-2x^{5}+3x^{4}-2x^{4}+4x^{3}-6x^{2}+2x^{2}-4x+6 \\ && \\ & = & x^{6}-2x^{5}+x^{4}+4x^{3}-4x^{2}-4x+6 \end{array}}

 

2{\begin{array}{rcl} \left(3x^{2}-5x\right)\left(2x^{3}+4x^{2}-x+2\right) & = & 6x^{5}+12x^{4}-3x^{3}+6x^{2}-10x^{4}-20x^{3}+5x^{2}-10x \\ && \\ & = & 6x^{5}+2x^{4}-23x^{3}+11x^{2}-10x \end{array}}

 

3{\begin{array}{rcl} \left(2x^{2}-5x+6\right)\left(3x^{4}-5x^{3}-6x^{2}+4x-3\right) & = & 6x^{6}-10x^{5}-12x^{4}+8x^{3}-6x^{2}-15x^{5}+25x^{4}+30x^{3} \\ & & \\ & & -20x^{2}+15x+18x^{4}-30x^{3}-36x^{2}+24x-18 \\ &&\\ & = & 6x^{6}-25x^{5}+31x^{4}+8x^{3}-62x^{2}+39x-18 \end{array}}

 

Den Zahlenwert eines Polynoms bestimmen

Bestimme den Zahlenwert des Polynoms {x^{3}+3x^{2}-4x-12}, für: {x=1; \ \ x=-1; \ \ x=2}.

 

Bestimme den Zahlenwert des Polynoms {x^{3}+3x^{2}-4x-12}, für: {x=1; \ \ x=-1; \ \ x=2}.

 

1{P(1)=(1)^{3}+3(1)^{2}-4(1)-12=1+3-4-12=-12}

 

2{P(-1)=(-1)^{3}+3(-1)^{2}-4(-1)-12=-1+3+4-12=-6}

 

3{P(2)=(2)^{3}+3(2)^{2}-4(2)-12=8+12-8-12=0}

 

Berechnen

Berechne:

 

1{(x+5)^{2}}

 

2{(2x-5)^{2}}

 

3{(x+5)(x-5)}

 

4{(3x-2)(3x+2)}

 

 

Berechne:

 

1{\begin{array}{rcl} (x+5)^{2} & = & (x)^{2}+2(x)(5)+(5)^{2} \\ && \\ & = & x^{2}+10x+25 \end{array}}

 

2{\begin{array}{rcl} (2x-5)^{2} & = & (2x)^{2}-2(2x)(5)+(5)^{2} \\ && \\ & = & 4x^{2}-20x+25 \end{array}}

 

3{\begin{array}{rcl} (x+5)(x-5) & = & (x)^{2}-(5)^{2} \\ && \\ & = & x^{2}-25 \end{array}}

 

4{\begin{array}{rcl} (3x-2)(3x+2) & = & (3x)^{2}-(2)^{2} \\ && \\ & = & 9x^{2}-4 \end{array}}

 

Division von Polynomen

Dividieren:

 

1{\left(x^{4}-2x^{3}-11x^{2}+30x-20\right):\left(x^{2}+3x-2\right)}

 

2{\left(x^{6}+5x^{4}+3x^{2}-2x\right):\left(x^{2}-x+3\right)}

 

3{P(x)=x^{5}+2x^{3}-x-8; \ \ Q(x)=x^{2}-2x+1}

 

 

Dividieren:

 

1{\left(x^{4}-2x^{3}-11x^{2}+30x-20\right):\left(x^{2}+3x-2\right)}

 

Division von Polynomen 1

 

Quotient {C(x)=x^{2}-5x+6}; Rest {R(x)=2x-8}

 

2{\left(x^{6}+5x^{4}+3x^{2}-2x\right):\left(x^{2}-x+3\right)}

 

Division von Polynomen 2

 

Quotient {C(x)=x^{4}+x^{3}+3x^{2}-6}; Rest {R(x)=-8x+18}

 

3{P(x)=x^{5}+2x^{3}-x-8; \ \ Q(x)=x^{2}-2x+1}

 

Division von Polynomen 3

Quotient {C(x)=x^{3}+2x^{2}+5x+8}; Rest {R(x)=10x-16}

 

Horner-Schema

Anwendung des Horner-Schemas:

 

1{\left(x^{3}+2x+70 \right):(x+4)}

 

2{\left(x^{5}-32 \right):(x-2)}

 

3{\left(x^{4}-3x^{2}+2 \right):(x-3)}

 

 

Horner-Schema:

1{\left(x^{3}+2x+70 \right):(x+4)}

 

Division mit dem Horner-Schema 1

 

Quotient {C(x)=x^{2}-4x+18}; Rest {R(x)=-2}

 

2{\left(x^{5}-32 \right):(x-2)}

 

Division mit dem Horner-Schema 2

 

Quotient {C(x)=x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+8x+16}; Rest {R(x)=0}

 

3{\left(x^{4}-3x^{2}+2 \right):(x-3)}

 

Division mit dem Horner-Schema 3

 

Quotient {C(x)=x^{3}+3x^{2}+6x+18}; Rest {R(x)=56}

 

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.