Lösung von Gleichungen nach Horner-Schema und Divisionssatz

Finde die Teiler des konstanten Glieds:

Wende den Divisionssatz an und du erhältst die Werte, für welche die Division exakt ist. Beginne mit 

Da das Ergebnis Null ist, ist die Division von durch exakt, das heißt man kann nun das Horner-Schema anwenden.

Anwendung des Horner-Schemas.

Da die Division exakt ist, ist D = d · c, das heißt

Daraus lässt sich schließen, dass eine Nullstelle des Polynoms ist.

Führe nun dieselben Schritte für den zweiten Faktor durch.

Prüfe erneut mit 1, da der erste Faktor eine Quadratzahl sein könnte. Verwende dafür den Quotienten, der sich aus dem Horner-Schema ergibt

Da das Ergebnis nicht Null ist, prüfe mit einem anderen Teiler, z.B. mit -1

Da das Ergebnis gleich Null ist, berechne die Division von durch nach dem Horner-Schema.

Man kommt zu folgendem Schluss:

Eine weitere Nullstelle ist .

Da nun nur noch die Nullstellen von verbleiben und es sich um ein Polynom zweiten Grades handelt, kann die allgemeine Formel angewendet werden. Man könnte auch die vorhergehenden Schritte wiederholen, jedoch hätte diese Vorgehensweise zur Folge, dass nur ganze Nullstellen gefunden werden können und von Nachteil, wenn das Polynom nicht ganze Nullstellen hätte.

Anhand der allgemeinen Formel ergibt sich

Das heißt

Die Lösungen sind: , , y

Daraus lässt sich schlussfolgern, dass das Polynom wie folgt faktorisiert wird

Finde die Teiler des konstanten Glieds:

Wende den Divisionssatz an und du erhältst die Werte, für welche die Division exakt ist. Beginne mit 1.

Da das Ergebnis Null ist, ist die Division von durch exakt, das heißt man kann nun das Horner-Schema anwenden.

Folglich ist

Daraus lässt sich schließen, dass eine Nullstelle des Polynoms ist.

Führe nun dieselben Schritte für den zweiten Faktor durch.

Prüfe erneut mit 1, da sich diese Nullstelle wiederholen könnte, das heißt, der erste Faktor könnte eine Quadratzahl sein. Verwende dafür den Quotienten, der sich aus dem Horner-Schema ergibt

Da das Ergebnis gleich Null ist, berechne die Division von durch nach dem Horner-Schema.

Die Lösungen sind folglich: y

Daraus lässt sich schlussfolgern, dass das Polynom wie folgt faktorisiert wird

Finde die Teiler des konstanten Glieds:

Wende den Divisionssatz an und du erhältst die Werte, für welche die Division exakt ist

Da das Ergebnis gleich Null ist, ist die Division von durch exakt, das heißt man kann nun das Horner-Schema anwenden.

Folglich ist

Da nun nur noch die Nullstellen von ermittelt werden müssen und es sich hier um eine Gleichung zweiten Grades handelt, verwendet man die allgemeine Formel

Da sich keine reelle Zahl ergibt, kann das Polynom zweiten Grades nicht weiter zerlegt werden, das heißt, das Polynom wird wie folgt faktorisiert

und besitzt als einzige Nullstelle:

Finde die Teiler des konstanten Glieds: Wende den Divisionssatz an und du erhältst die Werte, für welche die Division exakt ist.

Da das Ergebnis im letzten Fall Null ist, ist die Division von durch exakt, das heißt man kann nun das Horner-Schema anwenden.

Folglich ist

Da nun nur noch die Nullstellen von ermittelt werden müssen und es sich hier um eine Gleichung zweiten Grades handelt, verwendet man die allgemeine Formel

Folglich ist

Las soluciones son: , y  

Daraus lässt sich schlussfolgern, dass das Polynom wie folgt faktorisiert wird

Finde die Teiler des konstanten Glieds: Wende den Divisionssatz an und du erhältst die Werte, für welche die Division exakt ist.

Da das Ergebnis gleich Null ist, ist die Division von durch exakt, das heißt, man kann nun das Horner-Schema anwenden.

Folglich ist

Da nun nur noch die Nullstellen des zweiten Faktors ermittelt werden müssen und dieser ein Polynom zweiten Grades ist, kann die allgemeine Formel angewendet werden

Folglich ist

Die Lösungen sind: , , .

Daraus lässt sich schlussfolgern, dass das Polynom wie folgt faktorisiert wird